РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 8, с. 805-812
СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА
УДК 621.391
ОЦЕНКА ПЛОЩАДИ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРАХ ИЗОБРАЖЕНИЯ И ФОНА © 2015 г. А. П. Трифонов1, Ю. Н. Прибытков1, О. В. Чернояров2, Б. Б. Михайлов3
1Воронежский государственный университет Российская Федерация, 394007, Воронеж, Университетская пл., 1
2Национальный исследовательский университет "МЭИ" Российская Федерация, 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14 3Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Российская Федерация, 105005, Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, стр. 1 E-mail: trifonov@phys.vsu.ru Поступила в редакцию 18.02.2015 г.
Получены характеристики квазиправдоподобной и максимально-правдоподобной оценок площади изображения при неизвестных регулярных составляющих и интенсивностях изображения и ап-пликативного фона. Выполнен анализ влияния степени априорной неопределенности относительно этих параметров на точность оценки площади.
DOI: 10.7868/S0033849415080185
Как известно, одна из основных задач, которые решают системы машинного зрения, состоит в оценке параметров пространственно протяженных объектов по их изображениям [1, 2]. Так, одним из параметров, точная оценка которого необходима в задачах анализа неоднородностей изображений со стохастической структурой, является площадь изображения неоднородностей. При разработке практически реализуемых алгоритмов необходимо располагать прогнозируемыми характеристиками алгоритмов оценки площади, а также проанализировать влияние априорной неопределенности относительно параметров изображений объекта и подстилающей поверхности на качество выносимой оценки. Такой анализ может быть проведен при использовании соответствующих моделей изображения и фона. В качестве одной из таких моделей, пригодной для описания изображений со стохастической текстурой, может быть использована модель в виде реализации гауссовского случайного поля [3—5], которая широко применяется для синтеза оптимальных алгоритмов обнаружения и фильтрации изображений [4]. Эта модель позволяет описать текстуры изображения и фона путем задания функций их пространственных корреляций. Кроме того, эта модель является частным случаем обобщенной гауссовской модели [6], описывающей широкий класс реальных изображений.
Задача оценки площади гауссовского изображения пространственно протяженного объекта, наблюдаемого на гауссовском фоне, рассматривалась в работе [7] для случая известных параметров
изображения и фона. Цель данной работы — синтез и анализ эффективности алгоритмов оценки площади при неизвестных регулярных составляющих и интенсивностях изображения и фона.
Полагаем, что наблюдаемые данные х(г) представляют собой реализацию случайного поля и занимают двумерную область О, площадь которой равна хО. Здесь ? = (гь г2) — радиус-вектор точки на плоскости, принадлежащей О. Поле х(г) содержит полезное изображение объекта s(r), пространственный шум п(г) и фоновое излучение v(r). Это излучение обусловлено рассеянием зондирующего сигнала подстилающей поверхностью, на которой находится обнаруживаемый объект. Для учета проявляющихся на практике эффектов затенения фона воспользуемся аппли-кативной моделью взаимодействия изображения и фона [5], согласно которой наблюдаемая реализация может быть представлена в виде
х (?) = Л (?, Хо) s (?) + ¡V (?, Хо ) V (?) + п (?). (1)
Здесь ls (?, х) = I (?, Оs (х)), ¡V (?, х) = ¡(?, ^ х
х (хи - х)) — индикаторы областей, занимаемых изображением 0.!, (х) и фоном (%в - х); I(?,О(х)) = 1, если ? е ^(х), и I(?,О(х)) = 0, если ? ёО.(х), — индикатор области О(х), имеющей площадь х; Хо — истинное значение неизвестной площади, которое может принимать значение из
интервала [Хмин, Xмакс].
Далее будем полагать, что изображение 5 (Р) и фон V (г) представляют собой однородные статистически взаимно независимые гауссовские поля с регулярными составляющими (математическими ожиданиями) а, ау и корреляционными функциями В, (Р), Ву (Р). Будем также считать, что спектральные плотности изображения О,(ю) =
ГЭ /Ю
В, (Р)ехр(-./ю Р) йР и фона Су(ю) = I ВУ(Р) х
30 «—ГО
х ехр(-ую Р) йР постоянны в пределах областей пространственных частот и соответственно. Вне этих областей спектральные плотности изображения и фона равны нулю, т.е. О, (ю) = = gsI (ю, ю,), (ю) = gvI (ю, юу), где I (ю, ю) = 1 при ю е ю и I (ю, ю) = 0 при ю £ ю, gs = в, (0), gv = (0). Полагаем, что пространственный шум п (Р) взаимно независим с изображением и фоном и представляет собой реализацию центрированного белого гауссовского шума с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью
Таким образом, задача состоит в оценке неизвестной площади х0 изображения при неизвестных регулярных составляющих а, ау и относительных интенсивностях изображения да = 2gs|N0 и фона ду = 2 gv/ N0.
Для оценки неизвестной площади в соответствии с теорией статистических решений [8] найдем явный вид функционала отношения правдоподобия (ФОП) при проверке гипотезы (1) против альтернативы х (Р) = п (Р). При этом будем полагать, что площади изображения и фона существенно превышают площади областей их пространственной корреляции, т.е. выполняются следующие неравенства:
И, = ХминЗ»,/(2п)2 > 1, Иь = Хмин^/(2п)2 > 1,
ИV = (Хо - Xмакс (2п)2 > 1,
где Sюs и Sюv — площади областей и соответственно. Тогда, обобщая результаты [9] на случай неизвестной площади, для искомого логарифма ФОП получим следующую аппроксимацию:
Ь(а,,д,,а„,д„, х) = Ь, (а,,д,, х) + Ц (ау,д„, х), (3)
где
Ц (а ,, д,, х) = -1 7(х) -ТТ7Г~\х
N0 N0 (1 + д,)
х [7, (х) - 2а,Х, (х) + а-х] -1п(1 + д,),
2Х мин
Ь (д» х)=ЖУ-(х) - N0(T1+д:)7 (х) -
- 2а,X, (х) + а2 (хе - х)] - 2( 1х°-х)) 1п(1 + д.)
2 (Хб Хмакс )
(2)
(4)
— логарифмы ФОП, записанные для областей, предположительно занимаемых изображением и фоном. В выражениях (4), (5) введены следующие обозначения:
X,
(х) = | х ХV (х) = | х (Ю^
О (х)
^(Хе -X)
(5)
7 (X) = | У- (?)&, У (X) = | У2 (Р)йР,
П,(х) ^(хе-х)
У, (Р), УУ(Р) — сигналы на выходах пространственных фильтров, передаточные функции которых
должны удовлетворять условиям \И, (об)2 = I (ю, (О,),
|#у(ю)|2 = Дю, со у) соответственно. Выражения (3)— (5) показывают, что для формирования логарифма ФОП необходимо получить линейную комбинацию четырех функций: У,, (х), Уу (х), X, (х), Xу (х), зависящих от неизвестного значения площади. При этом для формирования У, (х), Уу (х) необходимо применить два линейных фильтра, частотная характеристика одного определяется спектральной плотностью изображения, а другого — спектральной плотностью фона. Сигналы на выходе этих фильтров необходимо возвести в квадрат и проинтегрировать по области, занимаемой изображением. Дополнительно необходимо сформировать интегралы X , (х) и Xу (х) от принятой реализации наблюдаемых данных по областям, занимаемым изображением и фоном.
Рассмотрим вначале квазиправдоподобный подход к оценке неизвестной площади при априори неизвестных математических ожиданиях и интенсивностях изображения и фона. Для этого заменим неизвестные значения параметров а, д, ач, ду в (3) некоторыми прогнозируемыми значениями а**, д*, а**, д*, в общем случае отличными от истинных значений а0, дм, ау0, ду0. Тогда оценка неизвестной площади определяется как положение абсолютного максимума Ь(а*, д*, а*, д*, х):
X кпо = а^шах Да*,д *, а*, д*,х).
х
Согласно [9, 10] при ^ да, ^ да распределение функционалов (4) и (5) при фиксированном неизвестном параметре х сходится к гауссовскому. В дальнейшем будем полагать, что минимальная площадь изображения хмин и минимальная площадь
фона хО - Хмакс велики настолько, что > 1,
> 1. Тогда, как показано в [7], в окрестности истинного значения параметра х0 логарифм ФОП
Ь(а*, д*, а*, д*, х) (3) как функцию неизвестной площади х можно приближенно считать гауссов-ским марковским процессом. Используя методику расчета характеристик гауссовского марковского
процесса [9], найдем следующие выражения для коэффициентов сноса:
К1кпо(а*, Я* , а*, Я*, х) = 1 I ^(а*, Я*,а*,Я*), хМИн < X < Хо,
(6)
Хмин [-^(а*, Я*, а*, Я*^ Хо < X ^ Xмакс и диффузии:
к2кпо(а*, Я*, а*, Я*, х) =
1 I^(а*,Я*, а*,Я*), Xмин ^ X ^ Хо,
(7)
Хмин [^(а*,Я*,а*,Я*), Хо < X ^ Xма
процесса Да*, я*, а*, Я*, X). Здесь
И sЯ* (1 + Яs0 ) ИуЯ.
л1(а , Яs , и\ , ЯУ ) —
X м
X е - X макс
2 (1 + я* ) 2 (1 + я* )
^о - а*)2 (8)
1 + ФЯ^|^ ) + Хми
Иь У Nо
1 + Я*
(а* - аsо)2
1 *
1 + Я* .
- ^ 1п(1 + я*) +-^мин-
2 2 (хе -xмакс)
1п(1 + я*),
к2(а*, я*, а*, я*) = -
2(1 + Я*)
1 + фЯ*ь I" 1 +
+ ■
ИуХмин Я* (1 + Яу0 ) Xм
(ауо - а*)2 (9)
2 (Хе - Xмакс) 1 + Я* мо
мин
1 + я
(а* - аУо)2
1 + Я*
+ И 1п(1 + я*) -
1 / % % % ^(а*,Я*,а*,Я*) =
2 (хе Хмакс )
1 х
2(1 + Я*)2
И sЯ*2 (1 + Яо )2 + (1 + Яsо)(asоЯ* + а*)2 Nо
+
1
*\2
2(1 + Я*)
2
ЦуХ миняу
+
Х е - Х макс
4х
(10)
1 + ФЯs0 (2 + Яs0))— 1 +
Nо
'-¡Ч
(1 + Яsо)(asоЯ* + а*)2
4г(а*, Я*, а*, Я*) = ■
1
*ч2
2(1 + Я*)
2
X (1 + яУо)2 + (1 + Я^)ОоЯ* + а*)2
ЦуХминЯ' Хе - X макс
N
2(1 + Я*)2
(11)
*2
1 + ФЯуо (2 + Я^о)) — 1 +
)
+ ^ (1 + я )(аУоЯ* + а*)2 Nо
ф = — коэффициент, определяющий
степень перекрытия областей, занимаемых спектральными плотностями полезного изображения и фона, Sasv — площадь области перекрытия этих областей. Тогда, следуя [9, 11], для условного рассеяния оценки площади получим
Vкпо(a*, Я*, a*, Я*, X Хо)
2
Хмин
6* + 5*2 + * (5 + 6* + 2*2)
2^4 (1 + 2^1 (1 +
(12)
где
Я = &2(а*, Я*, а*, Я*М(а*, Я*, а*, Я*)/^(а*, Я*,а*, Я*М2(а*, Я*,а*, Я*), ¿1 = ^(а*, я*, а*, Я*)/А(а*, Я*, а*, Я*),
^2 = ^(а*, я*, а*, я*)/д/^(а*, Я*, а*, Я*).
Выражение (12) позволяет оценить влияние неточности задания прогнозируемых значений
а*, я*, а*, я* неизвестных параметров на точность
оценки площади. Для примера на рис. 1 приведены зависимости проигрыша ¥кпо/¥о в точности
оценки площади от отношения б ^ = (я* — Яо)1 Ям
при Я* = Ям, а* = asо = а* = а^, Иs = ИV = 100, ф = 0,
Хмакс/Хмин 10, Хе! Хмин 12, Хо/ X мин 5 гs г V
= 10. Здесь ГКПо = ККПо(а*, Я*,а*, Я*,х1 Хо), = 1п(1 + Я,), = Яsо, ауо, Яуо, Х Хо) - рассеяние оценки
площади при
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.