ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2014, том 50, № 1, с. 55-60
математический анализ экономических моделей
оценка погрешности метода анализа иерархий
© 2014 г. и.л. томашевский
(Архангельск)
Рассмотрен некоторый е-деформированный измерительный процесс, эквивалентный процедуре вычисления приоритетов в методе анализа иерархий (МАИ). Методами теории измерений проведен анализ этого процесса. В результате получены простые оценки для погрешности вычислительной процедуры МАИ.
Ключевые слова: метод анализа иерархий, МАИ, погрешность. Классификация JEL: С43, С44.
1. ОБЩИЙ ПОДХОД К ИЗМЕРЕНИЯМ, е-ДЕФОРМИРОВАННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т. Саати около тридцати лет назад, продолжает находить широкое применение при моделировании и анализе различных социальных, психологических и экономических ситуаций и проблем, обусловленных факторами, не поддающимися точному математическому определению, но допускающими попарное сравнение. Количественная оценка значимостей, или приоритетов, любых сравнимых факторов О1..., Оп по отношению к вопросу, требующему анализа, осуществляется в МАИ с помощью матрицы парных сравнений (Саати, 2008, § 2.9; Saaty, 2008) с матричными элементами
значимость фактора О,
а,к =-, г' = к = 1, ..., п.
значимость фактора Ок
А именно, значимости факторов находятся как компоненты собственного вектора, соответствующего наибольшему собственному значению Атах этой матрицы. Элегантность МАИ и его относительная простота в применении к изучению различных проблемных ситуаций приводит к ежегодному появлению сотен исследовательских работ, в которых этот метод используется для анализа и решения разнообразных практических задач.
Следует отметить некоторую логическую незавершенность МАИ, связанную с отсутствием количественных оценок для погрешности получаемых с его помощью результатов. Контроль за корректностью результатов осуществляется в МАИ с помощью так называемого "индекса согласованности" (Саати, 2008, § 2.9; Saaty, 2012, § 1.7) С.1. = (ктах - п)/(п - 1), который реализует лишь некоторый эвристический подход к контролю точности вычислений и не позволяет определять реальную величину ошибки метода.
В данной работе предпринимается попытка анализа основной вычислительной процедуры, использующей матрицу парных сравнений с точки зрения теории измерений. Результатом этого анализа являются формулы для погрешности вычислительной процедуры МАИ.
Предположим, что существует некое устройство для измерения значимостей факторов О1,..., Оп по отношению к анализируемой ситуации или проблеме. Пусть в процессе работы это устройство производит различными способами п измерений значимости фактора О, выдавая их значения м®,..., ~(п). Тогда среднее значение результатов полученных измерений
(к) ~(1) + ...+ ~ (п) м, = — /м(к) = —-—
п
1 / ~
1 -1
56 ТОМАШЕВСКИИ
естественно принять за приближенное значение фактора О, а среднеквадратичное отклонение
Дм г = ./! /
пк = 1
м(к) - ~,)2 -
за приближенное значение его погрешности, т.е. считать, что значение фактора О, равно
м, ±Дм,.
Опираясь на этот стандартный подход к процессу измерения, сформулируем близкий к нему нестандартный подход, который будет использован нами далее.
Утверждение. Если деформировать результаты измерений путем добавления к значению с номером / фактора Gi величины в,: м(, ^ м(^ + £, то деформированное среднее значение (в-среднее)
м^ + м (2) + ... + (м (г) + в ,■) + ...+ м(п) м, =--(1)
п
можно рассматривать в качестве нового приближенного значения фактора Gi с погрешностью
8м, = Дм, + \в, \/п, (2)
где
/
Дм, /(м(к)- - (3)
пк=1
среднеквадратичное отклонение результатов измерения от деформированного среднего м, т.е. считать значение фактора Giравным
V, = м, ± 8м,. (4)
Доказательство. Фактически нужно проверить включение
[м, - Дм,, мм, + Дм,] 3 [м, - 8м,, м, + 8м,]. (5)
Это легко сделать, если выразить "деформированные" величины через исходные:
м, = мм, + в,/п, Дм, = Л1-1 /(м(к) - м,)2 = 7Дм2 + (в,/п)2.
Тогда
пк =1
м
- 8м, = м, + в, /п - (Дм, + | в, | /п) = м, - (| в, | - в ,)/п - д/ Дм2 + (в, /п )2 < м, - Дм,
т.е. м, - 8м, < м, - Дм. Аналогично можно получить и другое неравенство. Из этих неравенств и вытекает (5).
2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА МАИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ в-ДЕФОРМИРОВАННЫХ ИЗМЕРЕНИИ
Покажем, каким образом метод собственных значений, применяемый в МАИ для извлечения информации о факторах G1, ..., Оп из соответствующей матрицы парных сравнений, может быть переформулирован в терминах в-деформированных измерений.
Будем исходить из того, что каждый элемент ак матрицы парных сравнений имеет смысл относительной значимости факторов О, и Gk. Тогда, предполагая известными в-средние значения м1,..., мп всех факторов и принимая значимость фактора Ок в процессе сравнения факторов О, и Ок равной мк, для значимости фактора О, получим
м(к) = а,кмк. (6)
Если рассматривать величину (6) в качестве результата измерения к значимости фактора О, то процедура заполнения всей строки матрицы парных сравнений (т.е. процедура сравнения
фактора Ог со всеми факторами О^..., Оп) превращается в процесс из п измерений значимости фактора О.
Полученные в результате различных измерений значимости мг(к) факторов О1, ..., Оп должны удовлетворять условиям (1), которые, с учетом (6), можно переписать в виде:
аи ~ 1 +... + (а,, + е ,) + ... + а,п
пп
Положим
е, =
где V - некоторая постоянная, и обозначим
Атах = П + О
Тогда равенство (7) можно переписать в виде
п
1 (+£
а1к ~к ), г = 1,
п.
к =1
/агк ~ к = А тах ~г, ■ = 1
к =1
или
(7)
(8) (9)
(10) (11)
А~ = Аmax~,
где А - матрица парных сравнений; м - матрица-столбец из ~1,..., ~п.
Формулы (11), (9), (8) подводят к следующему выводу: если е-деформации в е-деформиро-ванных измерениях имеют значения
ег = - ОМ, = -(ттах - ^^ г = 1,..., П (12)
то е-средние значения м1,..., ~п значимостей рассматриваемых факторов являются компонентами собственного вектора, соответствующего некоторому вещественному собственному значению Атах матрицы парных сравнений А (вещественность Атах вытекает из (10), так как все ~к и агк вещественные числа). При этом справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Атах наибольшее собственное значение матрицы парных сравнений А, причем
Атах > п
Доказательство. Рассмотрим случай абсолютно точных измерений, когда значимости всех факторов м1,..., ~п известны абсолютно точно и все матричные элементы матрицы парных сравнений могут быть записаны в виде агк = ~г/~к. Очевидно, что для него равенства (10) принимают вид
^/агкмк = пмг, г =1, ...п Ам = пм.
к =1
Таким образом, ~ктах > п.
Естественно предположить, что, по мере отклонения результатов измерений от абсолютно точных, собственное значение Атах будет плавно отклоняться от значения п. Отсюда следует, что при малых погрешностях оно должно быть близким к п. Как показано (Саати, 1993, § 7.5), такое собственное значение у матрицы парных сравнений только одно, причем оно является ее наибольшим собственным значением и удовлетворяет условию: Атах > п. ■
Из данного утверждения вытекает, что е-средние значения м1,..., мп значимостей рассматриваемых факторов являются компонентами собственного вектора матрицы парных сравнений, соответствующего ее наибольшему собственному значению Атах. А это, в свою очередь, означает, что указанные е-средние м1,.... мп совпадают с значимостями факторов в вычислительной процедуре МАИ.
Таким образом, мы приходим к следующему результату: вычислительная процедура МАИ
«1 — ^ Атах №1
Шп,
с матрицей парных сравнений А = || агк || эквивалентна процедуре е-деформированных измерений с е-деформациями (12) и результатами измерений в виде (6).
58 ТОМАШЕВСКИИ
3. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЦЕДУРЫ МАИ
Остается воспользоваться эквивалентностью вычислительной процедуры МАИ и процедуры в-деформированных измерений и найти, в соответствии с (2), (6), (12), погрешности для получаемых с их помощью значимостей м1, .... мп:
8м, = л1~/(а,кмк - м,)2 + "ктах П м,, , = 1, ..., п,
пп
к = 1
8м, 1 -А/ м к Л2 А тах - п
1 V/ мк 1 \ Атах - п л
—/\а,к--1 I +-м,, , = 1, ..., п. (13)
м, V п~х\ м, I п
Для относительных погрешностей (13) справедлива также простая оценочная формула
8м
- <1,2 У Атах - п, ,= 1, ..., п, (14)
м
использующая только Атах и позволяющая осуществлять экспресс-контроль точности вычислений.
4. ВЫВОД ОЦЕНОЧНОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОГРЕШНОСТИ
Покажем, каким образом из формулы (13) получается формула (14). Для этого воспользуемся идеологией в-деформированных измерений, трактуя величину
Дм(к) = м(к) - м, , Дм(к) = а,кмк - м, (15)
как отклонение результата измерения с номером к значимости фактора О, от его среднего значения м,, а величину Дм(к)/м, - как относительную погрешность этого измерения. Рассмотрим первое слагаемое, стоящее в правой части формулы (13). В терминах относительных погрешностей оно может быть записано в виде
1 У (а,к ^ - 112 =ЛД / (Дм (к)/м,)2. (16)
пк~т\ м, I у пк=1
Для оценки величины правой части (14) воспользуемся равенством
п к (Дм(к)/м,)2
(Дм)■ Vм,)
тах - п =— //-/д (к, ч (17)
п (к)
к=77=7 1 + (Дм(к)/ м,)
(доказательство этого равенства в техническом аспекте аналогично доказательству (Саати, 1993, с. 167) теоремы о свойстве собственного значения Атах) и покажем, что
/
I1 /(Дм(к)/м,)2<У( 1+ а(-п), ,= 1, ..., п, а = тах \ Дм(к)/мг |. (18)
,, к
к= 1
Поскольку здесь , - это номер фактора, то при получении оценки (18), не нарушая общности, можно считать, что , = 1. И тогда, предполагая а < 1 и учитывая, что 1 + Дм(к)/м, < 1 + а, для правой части (15) получим
1 " 2 1 " (Дм(к)/м 1)2 1 АЛ (Дм(к)/м/ -/(Дм (к )/м 1)2< - У--!-— (1+ а )< - УУ--■-— (1+ а).
п£ пк=11+ Дм (к)/м / ' п£ ■=11+ Дм (к)/м / '
Используя (16), этот результат можно переписать в виде
1п
1 /(Дм (к )/м 1)2<(1 + а )(Атах - п ) .
Очевидно, что такое неравенство будет иметь место не только для = 1, но и для любого . Отсюда и вытекает (17).
Теперь с помощью (17) получим максимально простую формулу, позволяющую оценивать величину погрешности вычислительной процедуры МАИ,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.