ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2013, том 49, № 3, с. 99-116
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ОЦЕНКА РИСКА В ЛИНЕЙНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ВРЕМЕННЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЯХ*
© 2013 г. Е.С. Паламарчук1
(Москва)
Рассматривается линейная стохастическая экономическая система управления с квадратичным целевым функционалом, учитывающим отрицательные временные предпочтения агентов, которые выражаются с помощью возрастающей дисконтирующей функции. Для этой системы формулируется понятие оптимальности в среднем на бесконечном интервале времени. Для найденного оптимального в среднем управления оценивается риск от его применения. В качестве приложений полученных результатов рассматривается одна модель экологической экономики.
Ключевые слова: линейная стохастическая система, отрицательные временные предпочтения, бесконечный горизонт планирования, риск.
ВВЕДЕНИЕ2
При анализе поведения управляемых экономических систем на больших горизонтах планирования одна из важнейших задач - оценка долгосрочных последствий применения выбранных стратегий управления. Основная трудность здесь связана с тем, что на динамику системы влияют неконтролируемые (случайные) факторы. Поэтому теоретической основой указанного анализа могут являться результаты исследований стохастических динамических систем управления на бесконечных интервалах времени. Такие исследования предполагают выбор адекватного критерия оптимальности, нахождение соответствующего оптимального управления и оценку риска при его использовании, обусловленного влиянием тех же случайных факторов.
При формировании критерия оптимальности на бесконечном интервале времени возникает необходимость решения следующих проблем:
а) учет степени влияния случайных факторов в структуре критерия;
б) учет временных предпочтений экономических агентов.
Чтобы пояснить смысл указанных здесь проблем, возникающих, в частности, при управлении линейными стохастическими системами на бесконечном интервале времени, обратимся сначала к традиционной теории линейных оптимальных систем управления (Квакернаак, Сиван, 1977).
Для детерминированных линейных систем может быть использован критерий минимизации квадратичного интегрального функционала, определенного на бесконечном интервале времени. Для той же системы при наличии случайных возмущений значение функционала представляет собой случайную величину, а в задачах стохастической динамической оптимизации обычно предлагается рассматривать вместо самого функционала его математическое ожидание (м.о.). Но в данном случае соответствующий критерий (будем называть его "критерием м.о.") лишен смысла, так как за счет влияния случайных факторов он обращается в бесконечность при любом
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-01-00767) и РГУИТП (проект НИР 1.1859.2011).
1 Автор благодарит рецензента за ценные замечания, способствующие улучшению изложения материала статьи.
2 Введение написано совместно с Т.А. Белкиной.
допустимом управлении. Поэтому для функционала, определенного на каждом временном интервале, используется нормировка, отражающая накопление случайных факторов за соответствующее время. В обычной ситуации, когда параметры возмущений ограничены во времени, эта нормировка представляет собой длину интервала. Тогда в соответствии с критерием, называемым иногда в литературе долговременным средним, предлагается минимизировать верхний предел среднего по времени значения м.о.
В задачах управления экономическими системами, где применяется экспоненциальное дисконтирование в функционале качества, на бесконечном интервале времени, так же как и на конечном, может быть использован критерий м.о. Однако в задачах, где функционал включает дисконтирующую функцию, существенно отличную от экспоненциальной, а также в задачах управления линейной системой с затухающими (вырождающимися со временем) или, наоборот, бесконечно нарастающими возмущениями, м.о. и долговременное среднее могут быть неподходящими критериями. Точнее, они будут неэффективны в том смысле, что либо будут давать нулевое значение для целого множества управлений, либо будут обращаться в бесконечность для всех допустимых управлений. В этих ситуациях требуется введение более общей нормировки, которая учитывала бы каким-то образом степень влияния указанных факторов. Например, с понятием нормировки в виде "накопленного дисконта" можно ознакомиться в (Ь^гагс^г, 1988). В работах (Паламарчук, 2010; Белкина, Паламарчук, 2013) исследуется задача с затухающими возмущениями, относительно которой, в частности, показано, что она может быть сведена к задаче с дисконтированием с помощью подходящей замены переменных; при этом нормировка "накопленный дисконт" эквивалентна нормировке в виде дисперсии накопленных шумовых воздействий в исходной задаче. Критерий оптимальности с обобщенной нормировкой такого рода можно назвать обобщенным долговременным средним.
Выбор дисконтирующей функции в функционале качества, в свою очередь, относится к решению второй из указанных проблем при формировании критерия оптимальности, а именно проблеме учета временных предпочтений экономических агентов. Временные предпочтения должны описывать различия во внутренней оценке экономическими агентами значимости доходов (или потерь), относящихся к различным моментам времени. Результаты многих исследований по экспериментальному выявлению временных предпочтений показывают, что они не соответствуют так часто используемому в экономических моделях экспоненциальному дисконтированию (подробнее об этом см. в разд. 1). Более того, во многих ситуациях они соответствуют так называемому отрицательному дисконтированию и должны описываться не убывающими, а возрастающими дисконтирующими функциями. Зачастую это объясняется отношением агентов к риску в получении отложенного во времени дохода или к возникновению потери (разд. 1).
После того как сформирован критерий оптимальности (в том числе с учетом отношения к риску) и найдено оптимальное управление, возникает как бы "второй уровень" восприятия риска и необходимость его оценки. Дело в том, что критерии, основанные на математическом ожидании функционалов, не дают уверенности в том, что соответствующее оптимальное управление (так называемое оптимальное в среднем) будет достаточно хорошим с точки зрения значения самого функционала на отдельно взятой траектории случайного процесса. Поэтому и важно оценить риск получения нежелательного результата при применении оптимального в среднем управления. Для этого предлагается оценить дефект последнего, точнее, скорость роста этого дефекта со временем. Под дефектом в текущий момент времени мы понимаем разность значений функционалов при оптимальном в среднем и произвольном управлении, рассматриваемую на интервале до этого момента, таким образом можно говорить о процессе дефекта и о возможной скорости его роста как оценке риска в задаче стохастической динамической оптимизации.
Для стандартных линейных управляемых систем с квадратичными функционалами, о которых говорилось в начале и которые описаны, в частности, в книге (Квакернаак, Сиван, 1977), оценка риска такого рода была получена в (Белкина, Кабанов, Пресман, 2003). Там было показано, что верхней функцией для всего семейства процессов дефекта управления, оптимального в смысле долговременного среднего, будет логарифмическая функция.
Проблема оптимального управления и оценки риска в задачах с бесконечным горизонтом и отрицательным дисконтированием является предметом исследования данной работы.
Работа организована следующим образом. В разд. 1 рассматривается понятие временных предпочтений и специфика их отражения в дисконтирующей функции при анализе тех или иных экономических проблем, а также дан обзор исследований по математической теории управления при отрицательном дисконтировании. В разд. 2 приводится описание модели и постановка задачи. Для ее решения исходная задача с отрицательным дисконтированием преобразуется к соответствующей задаче для системы с нарастающим возмущением, для которой в разд. 3 находится оптимальное среднем управление, а в разд. 4 проводится исследование его вероятностных свойств и оценивается риск его применения. Разд. 5 посвящен интерпретации полученных результатов для исходной задачи и их применению к одной модели из экологической экономики.
1. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ КАК ОСОБЕННОСТЬ ВРЕМЕННЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ И ОТРАЖЕНИЕ РИСКА
Учет фактора времени представляет ключевой элемент в анализе экономических процессов и явлений. Это проявляется в существовании у субъектов так называемых "временных предпочтений". В них отражено то, каким образом они производят оценку монетарных (денежных) или немонетарных альтернатив, отнесенных к разным моментам времени, а также принимаемые ими решения. Традиционно предполагается, что эти предпочтения положительные, иными словами, субъекты стремятся приблизить желательные события ("выигрыши"), а нежелательные ("потери") - отдалить. Такая характеристика носит название поведенческого оптимизма (Berndsen, Pligt, 2001): получая выигрыш сейчас, у игрока есть основания ожидать его повторения и в будущем, а отодвигая потерю - возможность каким-либо образом избежать ее. Однако эмпирические исследования (см., например, (Loewenstein, Prelec, 1991)) показали, что в ряде ситуаций в поведении субъектов возникает обратный эффект - отрицательные предпочтения, в частности при оценке потерь.
В большинстве случаев предполагается, что временные предпочтения могут быть выражены с помощью так называемой "дисконтирующей функции"f > 0 придающей вес событиям (выигрышам, потерям), возникающим в конкретный момент времени. На основании этого можно сравнивать различные альтернативы. Точнее, пусть предлагается х в момент t и y в момент s(s ф t). Тогда (y, s) ( (x, t) + fsu(y) > ftu(x), где > - знак строгого предпочтения, u(-) - функция полезности, принимающая положительное значение при выигрыше и отрицательное для потери. Положительные предпочтения означают, что при одинаковых выигрышах x, y и s < t будет выбра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.