Коваленко В.В., доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации Гайдукова Е.В., кандидат технических наук, зав. лабораторией Соловьев Ф.Л., аспирант (Российский государственный гидрометеорологический университет)
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОЛЕТНЕГО РЕЧНОГО СТОКА В РЕГИОНАХ ЕГО НЕУСТОЙЧИВОГО (КАТАСТРОФИЧЕСКОГО) ФОРМИРОВАНИЯ
В статье предлагается методика получения статистически устойчивых оценок речного стока путем перехода к многомерным распределениям.
In the the article the methods of obtaning of statistically steady estimations of a river drain by transformation to multidimensional distributions are offered.
Введение
Действующий в настоящее время нормативный документ для обоснования гидрологической надежности проектных решений в водозависимых отраслях экономики (СП33-101-2003) базируется на статистической обработке фактических рядов наблюдений за речным стоком. При этом предполагается, что проектные расходы останутся неизменными за весь период эксплуатации проектируемого сооружения. Это возможно, если:
1) на рассматриваемом речном бассейне формирование стока статистически устойчиво; 2) долговременные изменения климатических и антропогенных воздействий на водосбор статистически не значимы.
Однако оба эти предположения (неизбежные на определенном историческом этапе развития гидрологии) в настоящее время следует признать не верными. Установлено [Коваленко, 2005; Коваленко, Гайдукова, Куасси, 2007; Коваленко, Гайдукова, Куасси, 2008], что ряды многолетнего стока имеют фрактальную размерность, т. е. порождающие их объекты (речные бассейны) развиваются. Также установлено [Коваленко, Хаустов, 1998], что почти на 40% территории СНГ формирование стока неустойчиво по третьему, а часто и второму начальным моментам, т. е. по коэффициентам асимметрии и вариации. Это означает, что распределение плотности вероятности расходов воды «выходит» за пределы семейства кривых Пирсона. Оно либо полимодально, либо (что наиболее вероятно) имеет «толстый хвост», спадающий не по экспоненте, а степенным образом. Из этого следует повышенная вероятность значительных «выбросов» расходов в область малых обеспе-ченностей (практически — катастрофы, ведущие к затоплению территорий и другим негативным последствиям).
Что же касается антропогенных климатических изменений, то это на сегодняшний день общепризнанный факт. Разработаны методы долгосрочного прогнозирования (оценивания) эволюции кривых обеспеченности при изменении климата [Коваленко, Викторова, Гайдукова, 2006]. Эти методы могут считаться достаточно надежными для регионов, в которых процесс формирования стока для нескольких предшествующих десятилетий был устойчивым, а используемые сценарии климатических изменений эту устойчивость сохраняют.
В настоящей статье решается задача оценки (еще не прогноза) обеспеченных значений расходов воды в регионах с неустойчивым (катастрофическим) формированием многолетнего годового стока.
Частично инфинитная методология преодоления неустойчивостей
Когда говорят о неустойчивости той или иной расчетной характеристики (например коэффициента асимметрии), то обычно имеется в виду неустойчивость ее эмпирической оценки, порожденной ограниченностью ряда наблюдений. В данной же статье речь идет о физической («генетической») неустойчивости самого процесса формирования стока. Базовой моделью в нашем подходе к решению поставленной задачи является уравнение Фоккера-
Планка-Колмогорова (ФПК) для плотности вероятности р(У, I):
где У — вектор состояния изучаемого объекта (в нашем случае — речного бассейна, для которого компонентами этого вектора являются расход воды Q и испарение Е ); А^, В^ — коэффициенты сноса и диффузии, определяющие скорость изменения математического ожидания приращений вектора состояния и их квадратов.
Это уравнение можно рассматривать как базовое («онтологическое») для гидрологии. Об этом говорит тот факт, что в одномерном случае (У = Q ) для стационарных случайных процессов оно переходит в уравнение Пирсона, решениями которого и пользуются в практической гидрологии.
Проблемы возникают, если параметры, входящие в А (речь идет об одномерном случае:
У = Q ), таковы, что ШуА = ЗА/дQ ^ 0 . Это будет иметь место, когда математическое ожидание коэффициентов, характеризующих климатические и бассейновые шумы, становятся соизмеримыми с интенсивностью их случайных колебаний (подробнее см. [Коваленко, Викторова, Гайдукова, 2006]). По мере приближения Л1\А к нулю, сначала старшие, а затем и младшие моменты становятся неустойчивыми. Это говорит о том, что происходит нарушение предельной теоремы теории вероятностей, если пытаться удерживать статистическое описание ряда расходов в рамках семейства кривых Пирсона.
Показано (см. [Коваленко, 2007]), что при расширении фазового пространства (при переходе к У = Е)), в котором моделируется процесс формирования стока, частично инфи-нитную реальность (т. е. то, что влияет на формирование стока, но учитывается в модели только частично, с помощью коэффициентов, а не фазовых переменных — ее размерность
равна разности размерности пространства вложения и числа реально учитываемых фазовых
( 2
переменных), сжать процесс проще (т. е. д\\А = ^ЗДУду < 0). Это означает, например, что
¿=1
«толстый хвост», возникающий при неустойчивости по дисперсии, можно «размазать» по вновь вводимой фазовой переменной, сделав тем самым двумерное распределение устойчивым. Смысл объединения в том, что интегрированная (стоковая и испарительная) предметная область испытывает меньше влияния инфинитной реальности, чем каждая из них в отдельности (обе они становятся финитным ядром многомерной модели).
Формирование устойчивых вероятностных распределений многолетнего годового речного стока и получение оценок его обеспеченных значений
Для получения распределения р^, Е) необходимо наряду с расходами воды иметь ряды испарения с поверхности речного бассейна. Так как прямых сетевых измерений данной гидрометеорологической характеристики не производится, то приемлемым (и возможно, на сегодняшний день, единственным) способом генерирования рядов испарения является исполь-
зование методики А. Р. Константинова [Константинов, 1968], основанной на установленной связи между испарением, температурой и влажностью воздуха (две последние характеристики систематически измеряются на сети метеостанций). На рис. 1, а приведен пример полученного подобным образом двумерного распределения p(Q, E).
Статистические методы используются для упрощения описания процесса: вместо того, чтобы отслеживать каждый индивидуальный расход (в ряду их нескольких десятков), информацию о них «свертывают» в вероятностном распределении и оперируют только несколькими числами (статистическими моментами). При неустойчивости подобная свертка (только одних расходов) не срабатывает. Переходя к двумерному распределению p(Q, E) и надеясь на его устойчивость, мы фактически одновременно «сворачиваем» информацию с двух смежных предметных областей (стоковой и испарительной). Тем самым мы заменяем тип взаимодействия между испарением и расходом (нейтрализм конкуренцией). Ситуация становится более финитной и предсказуемой.
Встает вопрос об аналитической аппроксимации эмпирических гистограмм, типа представленной на рис. 1, а. В общем случае аппроксимировать надо решение уравнения (1) для и-мерной плотности вероятности. Запишем его следующим образом:
ф(7, г )/дг = -V' [А(У, г) р(У, г)]+ 0.5 8рУ V' [в (У, г) р(У, г)], (2)
где V = |д/дУ|; штрих и Sp означают операции транспонирования и взятия следа.
Соотношение (2) является уравнением неразрывности ( др(У, г)/ дг = ШуП(У, г) ) потока вероятности П(У,г) = А(У,г)р(У,г)-0.5ШуВ(У,г)р(У,г), который для стационарного распределения (др(У, г)/дг = 0) является величиной постоянной, а учитывая, что на границах р(±го) = 0 — нулевой. Исходя из этого, получаем искомое уравнение:
V [в (У, г) р(У, г)]- 2 А (У, г) р(У, г) = 0. (3)
а) б)
Рис. 1. Гистограмма двумерного распределения р^, Е), р. Сухона — г. Тотьма, Г = 34800 км2 (а) и экстраполяция «хвоста» двумерного асимметричного распределения
в зону малых обеспеченностей (б)
В отличие от одномерного распределения, для которого справедливо уравнение Пирсона, в многомерном случае возможны вихревые движения в потоке вероятности. Поэтому соотношение (3) справедливо при существовании скалярного поля для потенциала V(У) .
Уравнениями в частных производных первого порядка, подобными (3), описываются всевозможные поверхности. При отсутствии параметрических шумов их решением является и-мерное нормальное распределение, эллипсоид рассеяния которого позволяет определять вероятность нахождения вектора У внутри него.
В двумерном случае ( У = (в, Е) )
- 1 2 Р(У) =-__ехр(-Я2).
1 - гвЕ
- ЯЯ
Вероятность попадания вектора У внутрь эллипса равна вероятности 1 - е , где
Я2 =
1
2(1 - в )
(в - в )2 2ГвЕ(в - в )(Е - Е) (Е - Е)
+ -
<Уп
аЕ
(здесь а в , аЕ — среднеквадратические отклонения; в — коэффициент корреляции).
В случае явного учета параметрических шумов, решение уравнения (3) будет асимметричным (рис. 1, б), и нужны определенные усилия, чтобы в полном объеме проанализировать двумерный аналог уравнения Пирсона. Если ограничиться эмпирическими построениями, то первым шагом на пути перехода от нормальных многомерных распределений к асимметричным может быть использование так называемых распределений типа А [Митропольский, 1971], основанных на использовании ряда Грама-Шарлье, приводящего (в одномерном случае) к выражению:
— — _3
Ра (в) = Р(в) + -3Р(3)(в) + - V"Р(4)(в) , 6 24
(4)
где в — нормированный расход; г3, г4 — основные моменты (г3 = /и3/а3, г4 = а4 ; /и3, /и4 — центральные моменты).
Первый член Р(в) разложения (4) дает нормальное распределение, которое деформируется за счет асимметрии и эксцесса (последующие члены в ряду (4)). Распределение (4) обобщается на двумерный случай [Митропольский, 1971]:
ра ( Е)= Р (О)
Р(Е)--63 Р^(Е)+ ^ РШ(Е)
+
+ Р'(в ) + Р"(в )
- ^ Р(Е) + р (3)(Е)
2 6
+
-2|1 ,(ел -2|2 - 2— I1 - 1 „(г)
- -6- р (е)+-—4-р (е)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.