АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 91, № 10, с. 785-788
УДК 52.17-423
оценка точности приближения линейной каустики при анализе наблюдений гравитационного
микролинзирования
© 2014 г. М. Б. Богданов*
Государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Саратов, Россия Поступила в редакцию 06.03.2014 г.; принята в печать 17.03.2014 г.
Проведено сравнение коэффициента усиления гравитационной линзой потока от точечного источника в приближении линейной каустики с точными значениями, рассчитанными для линзы из двух точечных масс. Показано, что даже в наиболее благоприятном случае пересечения каустики погрешность оценки коэффициента усиления остается меньше 1% только для расстояний до каустики, не превышающих 0.01 радиуса Эйнштейна.
DOI: 10.7868/Б000462991410003Х
1. ВВЕДЕНИЕ
Возможность использования гравитационных линз в качестве природных телескопов связана с наличием каустик — геометрических мест особых точек световых поверхностей. Пересечение каустики, происходящее при относительном движении источника, линзы и наблюдателя, дает кривую блеска, зависящую от распределения яркости по источнику, и позволяет исследовать его со сверхвысоким угловым разрешением. Наблюдения микролинзирования звезд каустиками двойных гравитационных линз дают возможность определения угловых диаметров и коэффициентов потемнения диска к краю [1]. Микролинзирование каустиками, создаваемыми звездами галактики— линзы, приводит к изменениям потоков от кратных изображений далекого квазара, формируемых данной гравитационной линзой. Анализ наблюдаемых кривых блеска позволяет получить информацию о распределении яркости в аккреционном диске квазара [2—7]. В большинстве случаев при анализе данных этих наблюдений для коэффициента усиления линзы использовалось приближение линейной каустики. Однако вопрос о точности аппроксимации не рассматривался.
Целью настоящей работы является сравнение точных значений коэффициента усиления простой линзы, состоящей из двух точечных масс, с приближенными значениями для линейной каустики и оценка погрешности аппроксимации.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для описания явления гравитационного лин-зирования обычно используются предположения тонкой прозрачной линзы и справедливости геометрической оптики. При этом удобно ввести масштабный параметр {о, называемый радиусом Эйнштейна
{о =
АСИОэВ^
с2 Бг1
(1)
где с — скорость света, О — гравитационная постоянная, М — масса линзы, — расстояние от наблюдателя до линзируемого источника, — расстояние от наблюдателя до линзы, а — расстояние от линзы до источника.
Пусть { — радиус-вектор, определяющий положение точки в плоскости линзы, а п — аналогичный вектор в плоскости источника. В дальнейшем удобно рассматривать безразмерные векторы в плоскостях линзы х(х\,х2] = {/{0 и источника У(У1,У2) = п/по, где по = {оВ3/Ол. Свойства линзы определяются скалярной функцией ф(х,у), называемой потенциалом Ферма, который зависит от распределения поверхностной плотности массы. При этом уравнение линзы может быть записано в виде [8, 9]:
Уф(х,у) = 0.
(2)
E-mail:BogdanovMB@info.sgu.ru
При анализе решений уравнения (2) вводятся понятия критических кривых в плоскости линзы, точки которых определяются из условия det А = = 0, где А — матрица Якоби с элементами Аг^ = = дуг/дх^. Этим критическим кривым, согласно
786
БОГДАНОВ
уравнению (2), соответствуют каустики в плоскости источника. Обычно каустика имеет вид многоугольника с вогнутыми сторонами. Стороны этого многоугольника соответствуют особенностям типа складка, а вершины, называемые каспами, — особенностям типа сборка. Коэффициент усиления потока от точечного источника гравитационной линзой дается выражением / = 1/\ det A\.
Для коэффициента усиления точечного источника, пересекающего каустику типа складка, может быть получена асимптотическая формула, основанная на разложении потенциала Ферма в ряд Тейлора [8, 9]. Такая асимптотика часто называется приближением линейной каустики. При этом коэффициент усиления потока от точечного источника излучения зависит только от расстояния до каустики и определяется тремя свободными параметрами. Пусть такой источник движется по прямой y1 = const и пересекает линейную каустику, расположенную параллельно оси y1. Тогда
/Ш =
k
пересечения каустики гравитационной линзы в данном случае можно получить информацию только о стрип-распределении яркости.
В случае круговой симметрии источника, справедливом для абсолютного большинства звезд, радиальное распределение яркости Ь(г) однозначно связано со стрип-распределением. Считая, что начало координат совпадает с центром источника, эту связь можно записать в виде интегрального уравнения Абеля
те
В(У2) = J
У2
2 b(r)rdr л/г2 ~ vl
(5)
В приближении линейной каустики наблюдаемое изменение потока от протяженного источника I(у2) — кривая линзирования — будет иметь вид
те
IЫ = J В{у)/{у2 - y)dy,
(6)
h(ус - y2)+/0, (3)
у/Ус - У2
где к — коэффициент, значение которого зависит от производных потенциала Ферма, ус — координата каустики, Н(ус — у2) — ступенчатая функция Хеви-сайда, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице для неотрицательных, а /л0 — поток излучения от других изображений источника, не изменяющихся при данном пересечении каустики, который можно считать постоянным. Выражение (3) использовалась во многих исследованиях при анализе явлений микролинзирования каустиками гравитационных линз.
Рассмотрим случай пересечения каустики типа складка протяженным источником малых угловых размеров. Так как мы пренебрегаем кривизной каустики и считаем, что она имеет вид прямой линии, то наблюдаемая кривая линзирования в этом случае будет зависеть только от одномерной проекции В(у2) двумерного распределения яркости по источнику Ь(у\, у2) на ось у2, перпендикулярную каустике. Проекция В(у2) обычно называется в астрономии стрип-распределением яркости, и она связана с двумерным распределением яркости уравнением
^ те
ВЫ=! I Ь(уъ£№ — у2^ух(4)
—те —те
где — у2) — функция Дирака. Интегральное уравнение (4) описывает процесс сканирования двумерного распределения яркости по источнику ножевой диаграммой, ориентированной перпендикулярно оси у2. Таким образом, из наблюдения
где коэффициент усиления каустики / (у) определяется формулой (3). В случае, когда источник излучения обладает круговой симметрией, использование выражений (5) и (6) позволяет получить уравнение, связывающее наблюдаемое изменение потока I(у2) с радиальным распределением яркости Ь(г) [1]. Решение обратной задачи для этих интегральных уравнений дает возможность восстановить соответствующие распределения яркости по источнику. Очевидно, что точность результата будет зависеть от погрешности аппроксимации (3).
3. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА УСИЛЕНИЯ ЛИНЗЫ
Оценка точности коэффициента усиления может быть проведена путем сравнения значений, даваемых выражением (3), с результатами численных расчетов коэффициента усиления потока для какой-либо модели гравитационной линзы. Простейшей такой моделью является гравитационная линза, состоящая из двух точечных масс М\ и М2, удовлетворяющими условию М\ + М2 = 1. Предполагается, что масса М\ расположена в точке (й/2, 0), а масса М2 = 1 — М1 - в точке (~й/2, 0). Все координаты измеряются в единицах радиуса Эйнштейна £0 (1) для единичной массы гравитационной линзы. Даже в случае такой простой модели линзы расчет коэффициента усиления не является тривиальной задачей. Для проведения расчетов нами использовался известный пакет компьютерных программ PLENS, написанных К. Хорном (К. Ноте).
Прежде всего, был выполнен расчет критических кривых в плоскости линзы и соответствующих
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КАУСТИКИ
787
*2> У2
Рис. 1. Критическая кривая в плоскости линзы (светлые кружки) и каустика в плоскости источника (темные кружки) для двойной гравитационной линзы с равными массами компонентов. Компоненты линзы расположены на оси абсцисс в точках —0.5 и 0.5. Расстояния измеряются в единицах радиуса Эйнштейна.
8, %
_I_I_I_I_
0 0.005 0.010 0.015 0.020
Ус - У2
Рис. 2. Относительная погрешность аппроксимации коэффициента усиления гравитационной линзы моделью линейной каустики в зависимости от расстояния до каустики.
каустик в плоскости источника. На рис. 1 приведены результаты расчетов для случая 1 = 1 и равных масс компонентов линзы М\ = М2 = 0.5. Координатные оси на рисунке являются общими для плоскости линзы и плоскости источника. Компоненты линзы расположены на оси абсцисс в точках —0.5 и 0.5. Точки критической кривой показаны на ри-
сунке светлыми кружками, а каустики — темными кружками. Так как в данном случае линза является симметричной, то критическая кривая и каустика оказываются симметричными относительно осей координат.
При расчете коэффициента усиления предполагалось, что точечный источник движется от нача-
7ВВ
БОГДАНОВ
ла координат по оси ординат и пересекает центр каустики, выходя за ее контур. Очевидно, что этот случай наиболее благоприятен для выполнения предположения линейности каустики - она пересекается в центре, по нормали к касательной и вдали от каспов. В результате расчетов были получены точные значения коэффициента усиления линзы / (ус — у2) в зависимости от расстояния до каустики ус — у2.
Приближенное выражение для коэффициента усиления (3) зависит от трех свободных параметров, два из которых (к и / о) являются линейными параметрами модели, а третий — координата каустики ус, — нелинейным параметром. Значения этих параметров могут быть найдены при сравнении коэффициента усиления, рассчитанного по формуле (3), с точными значениями /(ус — у2). При решении этой задачи мы использовали подпрограмму DNLS1 библиотеки SLATEC, минимизирующую сумму квадратов уклонений нелинейных функций с помощью модифицированного алгоритма Левенберга—Марквардта (см. монографию [10]).
Для сравнения результатов удобно ввести относительную погрешность аппроксимации коэффициента усиления моделью линейной каустики
e =
I - la
I
где / — точное значение коэффициента, рассчитанное для нашей модели, а /а — приближенное значение, вычисленное по формуле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.