Автоматика и телемеханика, № 4, 2015
© 2015 г. С.Л. СЕМАКОВ, д-р физ.-мат. наук (slsemakov@yandex.ru) (Финансовый университет, Москва, Московский физико-технический институт)
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ВЫХОДА МНОГОМЕРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ГРАНИЦУ ОБЛАСТИ1
Рассматривается задача об определении вероятности первого выхода непрерывного случайного процесса на границу области на заданном промежутке изменения независимой переменной. Предлагается новый подход к оценке искомой вероятности, связанный с исследованием так называемых условных вероятностей горизонтального окна: а) условной вероятности того, что в момент первого входа компонента £1 (ж) п-мерного процесса £(ж) = {£1(ж),..., £п(ж)} под заданный уровень на промежутке [ж, ж + Дж) было выполнено ограничение (£2,..., £п) € О С Дп-1, О - заданная область, при условии, что упомянутый вход произошел; б) условной вероятности - при том же условии, что и в а) - того, что до момента первого входа компонента £1(ж) под заданный уровень на промежутке [ж, ж + Дж) этот компонент уже пересек указанный уровень какое-либо число раз.
1. Введение
Пусть в п-мерном евклидовом пространстве Дп движется точка М(ж), изменение положения которой описывается п-мерным случайным процессом £(ж). В начальный момент ж = 0 точка находилась в положении М(0) = = £°, которое, вообще говоря, может быть неизвестным. Независимой переменной ж является любая непрерывно и монотонно меняющаяся переменная, например время или один из компонентов процесса £(ж), удовлетворяющий этому условию. Пусть известно, что € ф, где ф - заданная область в Дп. Обозначим через дф границу области ф, а через д^ - какую-либо часть границы дф. Требуется определить вероятность того, что точка М первый раз выйдет на границу области ф в какой-либо момент из заданного промежутка (ж', ж'') изменения независимой переменной и этот выход произойдет на часть д^ границы дф.
Сформулированная задача была поставлена в [1]. Однако в частном случае при ж' = 0 ее постановка содержится в значительно более ранней работе [2]. В приложениях поставленная задача при различных конфигурациях области ф и границы д1ф возникает, например, при изучении стохастических систем в тех ситуациях, когда штатное функционирование системы соответствует положению изображающей ее точки в заданной области ф фазового пространства системы, причем последствия выхода точки за пределы области зависят от того, через какую часть границы области происходит этот выход. Соответствующие содержательные примеры из различных предметных областей можно найти в монографии [3].
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-00906-а).
В [2] показано, что для диффузионных марковских процессов данная проблема может быть сведена к решению смешанной задачи для уравнения в частных производных. Для произвольных непрерывных процессов, но частного случая области Q - полупространства - определенные результаты получены в [1], которые затем существенно улучшены в [4], причем подробные доказательства результатов, представленных в [4], можно найти в [3]. В настоящей работе изложен другой, более глубокий подход к оценке искомой вероятности, связанный с исследованием так называемых - по терминологии, введенной в работе [5] и затем широко используемой, в частности, в известной монографии [6], - условных вероятностей горизонтального окна.
2. Постановка задачи
Пусть £(ж) = ... , {¿(ж),..., {п(ж)} - n-мерный действительный слу-
чайный процесс, у - действительное число. Будем рассматривать процессы £(ж), определенные на полуинтервале (ж0,ж''],ж0 ^ —ж, для которых
(1) lim P{{¿(ж) > у} = 1.
x^xo
Физический смысл условия (1) состоит в том, что в начальный момент стохастическая система, поведение которой описывается процессом £(ж), находится в известной области
Q = {x = (ж1, ...,Xi,...,Xn) € Rn : Xi > у}
своего фазового пространства.
Пусть произвольно заданы ж' € (ж0,ж''), D - подмножество (n — 1)-мерного евклидова пространства Rn-1. Определим событие
z = J существует ж* € (ж', ж'') такое, что для любого ж < ж* {¿(ж) > у, 1 ZD = \ {¿(ж*)= у, ({i(ж*),..., {¿-1(ж*), {¿+i(ж*),..., {п(ж*)) € D f
и событие
L = {существует ж > ж0 такое, что для любого ж € (ж0,ж) {¿(ж) > у}.
Требуется найти условную вероятность P{Zd |L} события Zd при условии, что произошло событие L.
Ясно, что без ограничения общности можно считать i = 1, что и будем делать в дальнейшем для определенности. Отметим еще, что если жо конечно, то все полученные ниже результаты сохранят силу, если вместо процессов, определенных на полуинтервале (ж0, ж''] и удовлетворяющих условию (1), рассматривать процессы, определенные на отрезке [ж0,ж''] и удовлетворяющие условию
p{{¿(ж0) > у} = 1,
причем в этом случае событие L будет определяться как L = {{¿(ж0) > у}.
3. Последовательности верхних и нижних оценок
Следуя [6], обозначим через Оу(ж0,ж'') множество непрерывных на промежутке от ж0 до ж'' - [ж0,ж''] или (ж0,ж''] в зависимости от рассматриваемого множества значений переменной ж - скалярных функций, которые не совпадают тождественно с у ни в одном из интервалов этого промежутка. По определению функция Л,(ж) из множества Су(ж0,ж'') в точке ж* € (ж', ж'') имеет
а) вход под уровень у, если существует е > 0 такое, что
Л,(ж) ^ у Уж € (ж* — е,ж*), Л,(ж) ^ у Уж € (ж*,ж* + е);
б) выход за уровень у, если существует е > 0 такое, что
Л,(ж) ^ у Уж € (ж* — е,ж*), Л,(ж) ^ у Уж € (ж*,ж* + е);
в) пересечение уровня у, если для любого е > 0 существуют ж, ж из промежутка (ж* — е, ж* + е) такие, что
(Ь(ж) — у)(Ь(ж) — у) < 0;
г) касание уровня у, если Л,(ж*) = у и существует е > 0 такое, что разность Л,(ж) — у не меняет знака в интервале (ж* — е, ж* + е).
Из этого определения следует, что если Л,(ж*) = у, то ж* будет либо точкой пересечения, либо точкой касания уровня у. Вход и выход являются пересечениями, но могут быть пересечения, не являющиеся ни входами, ни выходами. Например, функция
Цх) = | Ж8т± при Ж /0, 0 при ж = 0
в точке ж = 0 имеет пересечение уровня у = 0, которое тем не менее не является ни входом, ни выходом. Очевидно также, что если число пересечений конечно, то любое пересечение является либо входом, либо выходом.
Будем считать, что с вероятностью 1 выборочные функции ^(ж) принадлежат множеству Су(ж0,ж'') и не имеют касаний уровня у, среднее число пересечений N(ж0,ж'') уровня у процессом ^(ж) на интервале (ж0,ж'') конечно. Тогда нетрудно показать, что Р{^д |£} = Р{^д }, т.е. вместо оценок условной вероятности Р{^д |£} можно заниматься оценками безусловной вероятности
Р {^ }.
Чтобы выборочные функции ^(ж) принадлежали множеству Су(ж0,ж''), достаточно потребовать непрерывности выборочных функций с вероятностью 1 на соответствующем промежутке и выполнения равенства Р{^1(жг) = = у} = 0 для любой рациональной точки жг из этого промежутка. Действительно, поскольку множество рациональных чисел счетно, то их можно перенумеровать: жГ1 ,жГ2,.... Если какая-либо реализация {1(ж) тождественно совпадает со значением у на каком-либо интервале промежутка (ж0, ж''), то, по
крайней мере, в одной рациональной точке жГп выполнено условие £1(жГп) = = у. Поэтому вероятность того, что процесс £1(ж) тождественно совпадает со значением у на каком-либо интервале промежутка (ж°,ж''), не превосходит вероятности
Чтобы обеспечить отсутствие с вероятностью 1 касаний уровня у и конечность среднего числа пересечений N(ж°,ж''), достаточно потребовать ограниченности при каждом фиксированном ж одномерной плотности распределения процесса £1(ж) и непрерывной дифференцируемости с вероятностью 1 выборочных функций £1(ж) на соответствующем промежутке [7].
После этих вступительных замечаний и определений перейдем непосредственно к оценкам искомой вероятности. При этом все рассуждения (чтобы не загромождать последние) будем проводить, как правило, так, как если бы свойства выборочных функций £1(ж), справедливые по условию с вероятностью 1, были выполнены для всех £1(ж). Это не нарушит правомерности конечных результатов.
Пусть Впк - событие, состоящее в том, что компонент £1(ж) первый раз пересек уровень у на промежутке [жпк , жпк + Джп), где Джп = (ж'' — ж')/п, жпк = ж' + (к — 1)Джп, п - натуральное число, к = 1,... ,п. Обозначим через Опк событие, состоящее в том, что компонент £1(ж) первый раз пересек уровень у на полуинтервале [жпк , жпк + Джп) и в этот момент оказалось выполненным условие
на остальные компоненты £2(ж),... ,£п(ж) процесса £(ж), причем если на промежутке [жпк, жпк+Джп) было несколько пересечений уровня у, то условие (2) относится к моменту первого такого пересечения. Очевидно, что для любого п = 1, 2,...
Пусть Впк - событие, состоящее в том, что компонент £1(ж) имел хотя бы один вход под уровень у на промежутке [жпк ,жпк + Джп). В силу условия (1) без ограничения общности в дальнейшем можно считать, что первое пересечение уровня у компонентом £1(ж) является входом, так что Впк С Впк. Обозначим через Дпк событие, заключающееся в том, что имело место событие В^ и при этом компонент £1(ж) до момента первого входа под уровень у на промежутке [жпк ,жпк + Джп) уже пересек упомянутый уровень какое-либо четное число раз. Тогда В^ = Впк + Дпк, причем ВпкДпк = 0. Пусть по определению впк = Р{Дпк|Впк}. Поскольку
(2)
(£2,... ,£п) € О
(3)
(4)
и
(5) 1 — впк = Р {Впк },
то
(6) Р{В'пк] =
1 — Ргак:
Вероятность Р} можно представить в виде
Р {^ } = Р {^ В^} = Р {^ |ВПк }Р {ВПк }. Отсюда, учитывая (3) и (6), находим
(7) =
к=1 1—
При выводе (7) предполагалось, что < 1. Если при каком-нибудь к = = 1, то, как следует из (4) и (5), Р{Впк} = 0, а значит, и Р} = 0, так что соответствующие слагаемые суммы (3) и полученной из нее суммы (7) будут нулевыми.
Пусть теперь - событие, состоящее в том, что имело место событие и в момент первого входа компонента ^1(ж) под уровень у на промежутке [жпд, жпд + Джп) оказалось выполненным условие (2); ^Пд - событие, состоящее в том, что произошло событие ВПд и в момент первого входа компонента {1(ж) под уровень у на промежутке [жпд, жпд+Джп) оказалось вы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.