МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 524.07,534.1
© 2008 г.
А.Ф. СТАРИКОВ
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ КОМБИНИРОВАННЫХ МОДУЛЬНЫХ УПРУГИХ КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
В настоящее время все чаще возникает необходимость исследования сложных модульных систем с дискретным взаимодействием модулей. Если система содержит распределенный модуль, то ее называют комбинированной. Одним из способов исследования таких систем является изучение их частотных моделей, при этом в ряде случаев решение требует вычисления функций Грина распределенного модуля и исследования блочных структур, порождаемых моделью системы с суперэлементами. Методика исследования таких систем была разработана в [1] и носит название метода фактори-зованных возмущений (МФВ), и в зарубежных работах названа методом функций Грина, см., например [2].
Основная идея таких методов заключается в построении эквивалентной системы в характеристическом пространстве, возникающем в дискретной макроструктуре исходной системы в результате дискретного взаимодействия модулей последней, с последующей редукцией характеристического решения к исходному посредством несложного передаточного соотношения. Особенностью структурных методов является их алгоритмическая универсальность вне зависимости от конкретного вида дискретной микроструктуры и требует решения характеристического матричного уравнения. Для приближенного решения этими методами требуется приближенное вычисление функций Грина распределенных модулей с указанием их рабочих диапазонов частот, см. [3, 4]. Концепцией структурных методов является получение системного решения с использованием априорно изученных элементов.
Многообразие методов исследования комбинированных модульных систем для многих способов приближенного решения требует алгоритмической оценки точности последнего, что в настоящее время производится на уровне практически-эмпирических соображений, таких как удвоение числа точек расчета распределенного модуля или учет дополнительных форм колебаний в функциях Грина и т.п.
В настоящей работе представлено описание одного структурного метода решения упругих одномерных распределенных систем с дискретным взаимодействием, эффективная скалярная априорная, а также универсальная апостериорная оценки точности приближенного решения, пригодные для многих способов получения последнего, например МКЭ [5].
1. Структурное представление системы. Рассмотрим структурное описание сложной линейной системы (СЛС):
Ауу + уг = /, X у + Бг = ф (1.1)
где А - оператор распределенной части системы; В - структурированная таблица дискретный модулей; у, % - векторные оператор принуждения по каналу распределенного блока и датчик распределенного сигнала для блока В; / - внешнее воздействие по каналу распределенного блока, ф - управление, подается на вход блока В.
Пусть оператор А имеет вид А = -ю2/ + Ах, где Ах - оператор статической части динамического распределенного оператора, описывается дифференциальными соотношениями по пространственным переменным и не содержит частоты ю; I - тождественный оператор, так что - ю2/ описывает силу инерции, возникающую в распределенном блоке при гармонических колебаниях с частотой ю. Указанное представление системы возникает при описании колебательных режимов линейных распределенных регулируемых систем, содержащих дискретные инерционные элементы, такие как сосредоточенные массы, динамические гасители колебаний, жесткие многоопорные трубопроводы и валы.
Разрешаем исходное соотношение системы (1.1) по каналу оператора В относительно г и подставляем в первое соотношение системы (1.1), тогда получим исходное для этого метода (МВФ) уравнение
(А + ¥Ф) у = F
¥ = у, Ф = -В"1 х, F = / - у В *ф
Для полученного представления структурная задача имеет вид
(/ + Ф А-1 ¥) г = Ф А-1 у = А_1( F - ¥г) (1.2)
где А-1 = Ж определяется ядром интегрального оператора функции Грина W.
2. Априорная оценка системного решения. Рассмотрим приближенное описание системы с приближенной функцией Грина и погрешности аппроксимации А Ж, получим
(/-Ф Жо¥)го = Ф Жо F, уо = Жо( F - ¥го)
где г0, у0 - приближенные решения системы.
Выделяя из точного соотношения (1.2) члены, содержащие приближение Ж0 и погрешность А Ж, получим уравнение
(/ + ФЖо¥) г + ФАЖ¥г = Ф Жо F + ФАЖ^
Используя векторное представление оператора Ф запишем
ФЖо F + ФАЖ^ =
1 + "4 Ф^Ы]
ФЖ о F
о
Тогда с учетом соотношения (1.2) будем иметь уравнение
fФАWF^
(/ + ФЖо¥)(г - го) + ФАг = ^/ + ФЖо¥)го
Разрешая последнее уравнение относительно г - г0, получим оценку для относительной погрешности е = |г - г0|/|г|:
е<| Х Ч\ |ФАЖ¥|| + 1 (х-1!
fФАWF^v
^f ФжЫ хо
Ы |г|
Учитывая справедливость для большинства значений частотного параметра ю соотношений |г0|/|г| = 0(1), || X||||Х0|| = 0(1), окончательная оценка будет иметь вид
е<||х |ФА^|| + с X0 = I + ФЖ0 W, с = O (q)
ГФAWF\
diag [ OWV-J
(2.1)
Следует отметить, что соотношение || X-1 ||||Х0|| = 0(1) справедливо только для скалярных векторов Ф.
Таким образом можно утверждать, что с уменьшением значений абсолютной погрешности ДЩ относительная погрешность е также уменьшается. Оценка (2.1) является априорной и для матриц Х0 большой размерности может оказаться формальной. По этой причине особо выделен класс скалярных характеристических операторов, для которого априорная оценка погрешностей вполне приемлема.
3. Апостериорная оценка приближенного системного решения. Рассмотрим исходное уравнение МВФ (-ю2/ + Ах)у + ¥Фу = Г с учетом конкретного вида оператора А.
Введем в рассмотрение оператор статической функции Грина К, который для одномерных дифференциальных операторов Ах может быть вычислен аналитически из уравнения АхК = 5(х - £), где ёе11а(х - £) - дельта функция Дирака, при этом выполняется условие АхК = КАх = /.
Разрешая исходное уравнение посредством применения оператора К, получим
у - ю2 Ку + К¥Фу = КГ
Пусть имеется приближенное решение у0 и погрешность приближения Ку, так что у = у0 + 8у, тогда
у0- ю2 Ку0 + К¥Фу0 + Ку - ю2 К А у + К¥ФАу = К/ Последнее уравнение можно представить в виде
(1 - ю2 К + КЦ>Ф) Ау = 1__КГ_
(1- ю2 К + К¥Ф) у0 (1- ю2 К + К¥Ф) у0
Поскольку значение КГ локализовано в том же функциональном пространстве, что и решение у, можно считать, что полученное соотношение является относительной погрешностью в некотором функциональном смысле, т.е.
£к =
1- KF
(1- ю2K + K¥Ф)у0
Значение еК зависит от х и для экономии средств можно ввести функционал П, такой, что выполняется соотношение
£г
1__nKF
2
П( 1- ю K + K¥Ф)у,
где П определяется ядром своего интегрального представления П(х).
Полученная оценка требует только наличие приближенного решения, которое трансформируется в оценку посредством интегральных преобразований с заданными ядрами, однако без специального исследования последнего нельзя однозначно перено-
ю £1 £2
0.1 0.251 0.251 0.251 0.0008 0.00018
0.2 0.253 0.253 0.254 0.003 0.0007
0.3 0.258 0.256 0.258 0.007 0.0016
0.4 0.264 0.260 0.265 0.014 0.003
0.5 0.273 0.267 0.274 0.023 0.004
0.6 0.284 0.275 0.286 0.034 0.007
0.7 0.299 0.285 0.302 0.048 0.01
0.8 0.318 0.298 0.323 0.068 0.015
0.9 0.343 0.313 0.349 0.092 0.02
1.0 0.376 0.333 0.385 0.125 0.027
сить относительную погрешность на само решение, так что можно определить только порядок погрешности.
4. Пример. К качестве примера рассмотрим механизм построения оценки рабочего диапазона частот системного решения для однородного упругого стержня длины 1 с закрепленными концами, несущего инерционный возбудитель колебаний массы М в точке х = 1/2. Частотное уравнение для этого случая имеет вид
(- ю21 - й2/йх2)у - ю25(х -1/2)Му( 1/2) = 8(х -1/2)
у (0) = у (1) = 0
В этом случае ф = П(1/2), у = -ю2М5(х - 1/2), где оператор П(а)у(х) = у(а) и решение имеет вид У = у(1/2) = Щ1 - ю2М?), где Ж = Ж(1/2, 1/2). Точное значение Ж, полученное из теоретического решения, имеет вид Ж = 1/(2ю) (ю/2).
2 2 2
Рассмотрим два приближения: = К и Ж2 = К/(оше§ а1 - ю ), где о»! = п - частота первого тона колебаний стержня, ядро статической функции Грина К(х, £) определяется из уравнения - сР/йх2К(х, £) = 5(х - £) с теми же граничными условиями и имеет вид К(х, £) = -А(х - £)(х - £) + х(1 - £), где А(х - £) - функция Хевисайда так, что К(1/2, 1/2) = К. В качестве функционала рассмотрим функционал П = П(1/2). Для получения оценки потребуется функция К2(х, £), где
2 ¡.2 г , ч с.ч ..3
К 2( х,£) = А (х - £)
х - £ х (х - £ )' 6 2
(1- £) х3
- х - £ + 1+ 11 + хШ) х| (6 + 22 2 + 6/ + 6»
так что К2(1/2, 1/2) = 1/48.
Обозначим У - решение при точном выражении Ж; У г - решения для Ж = г = 1, 2 и £; - значение еП для у, г = 1, 2.
Результаты вычислений У, Уг, ег для частот 0 < ю < 1 можно оформить таблично или графически, при этом отчетливо видно, что оценки е; практически совпадают с точными значениями величин относительных погрешностей решений |У - Уг|/Уг, т.е. показывают применимость апостериорных оценок для поиска РДЧ.
Заключение. В настоящей работе рассмотрены способы построения априорных и апостериорных оценок точности решения сложных комбинированных систем, основ-
ная особенность исследования которых структурными методами заключается в том, что априорного описания совокупности приближенно изученных изолированных, например упругих объектов, оказывается недостаточно для исследования всей системы и может лишь служить ориентиром для выбора метода решения. Таким образом для корректного обоснования приближенного решения требуется также оценка рабочего диапазона действия приближенного решения, выраженная в числовых величинах, что было изложено в настоящей работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Азаров В.Л., Лупичев Л.Н., Тавризов Г.А. Математические методы исследования сложных физических систем. М.: Наука, 1975. 342 с.
2. Kukla S. The Green function method in fréquence analysis of a beam with intermediate elastic support // J. Sound Vibr. 1991. V. 149. < 1. P. 154-159.
3. Стариков А.Ф. Структурные методы исследования линейных систем в приложении к сложным динамическим упругим континуальным системам с дискретным вза
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.