научная статья по теме ОТВЕТ НА ЗАМЕЧАНИЯ С.И.МАРТЫНОВА ПО СТАТЬЕ О.Б. ГУСЬКОВА “МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДИНАМИКЕ ВЯЗКИХ СУСПЕНЗИЙ”. ПММ. 2013. Т. 77. ВЫП. 4. С. 557-572 Математика

Текст научной статьи на тему «ОТВЕТ НА ЗАМЕЧАНИЯ С.И.МАРТЫНОВА ПО СТАТЬЕ О.Б. ГУСЬКОВА “МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДИНАМИКЕ ВЯЗКИХ СУСПЕНЗИЙ”. ПММ. 2013. Т. 77. ВЫП. 4. С. 557-572»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 1, 2015

© 2015 г. О. Б. Гуськов

Ответ на замечания С.И.Мартынова по статье О.Б. Гуськова "Метод самосогласованного поля применительно к динамике вязких суспензий".

ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 4. С. 557-572

1. О вопросах цитирования и новизне метода. Основным замечанием первого раздела критической статьи оппонента является утверждение о том, что "все результаты, заявленные в аннотации к статье [1], уже получены и не содержат новых". Действительно, в моей статье нет новых результатов кроме одного — разработан новый метод подхода к решению задач динамики N сферических частиц в вязкой жидкости в приближении уравнений Стокса, позволяющий получать чисто аналитические решения конкретных физических задач. Собственно, только этому и посвящена моя статья.

С точки зрения наличия или отсутствия тех или иных ссылок в моей статье должен обратить внимание на следующее.

1. При построении метода [1] использована идея применения концепции самосогласованного поля к задаче N частиц в вязкой жидкости, которая впервые была озвучена, сформулирована в математическом виде и использовалась применительно к приближенным модельным полям возмущений от дисперсных частиц1 в ряде работ, опубликованных В.В. Струминским с соавторами в 1980-х годах (например, [3—5]). В процедуре построения метода самосогласованного поля (МСП) использованы также оригинальные математические результаты Шмица и Фельдерхофа (ШФ) (1978) [7], в том числе точное решение, полученное ими для возмущения от сферы в произвольном внешнем потоке. Другими словами, физическая идея согласования возмущений применена не к модельным, а к точным полям возмущений вида ШФ. В этом, в частности, заключается новизна МСП. Никакие другие физические идеи и оригинальные математические результаты других авторов, в том числе содержащиеся в работе оппонента [2] и в ряде других его работ, в моей статье не использовались. С точки зрения корректности цитирования не лишним будет также заметить, что результаты [3—7], использованные в моей статье, опубликованы задолго до работы [2] оппонента и не использовались им, в том числе в других его статьях. Это, хоть и косвенно, но явно свидетельствует о том, что по сути МСП [1] и метод оппонента [2] "не пересекаются".

Таким образом, процедура построения МСП [1] по своей сути не требует обязательной ссылки на работу оппонента [2].

Единственное место в моей статье, где, возможно, следовало бы сослаться на метод оппонента [2], это краткое введение. Однако такая ссылка во введении по логике неизбежно повлекла бы за собой упоминание и многих других методов с необходимостью описания их характерных сравнительных особенностей. Это увеличило бы и без того предельный объем статьи, а главное — превратило бы ее в научный обзор, на что она изначально не претендует. В связи с этим автор счел возможным упомянуть во введении лишь два классических метода, с которых началась история данной области науки. В дальнейшем приводятся только обязательные ссылки на тех авторов, физические идеи и оригинальные математические результаты которых напрямую используются в статье [1].

дальнейшем та же идея была использована для построения метода решения задачи многих частиц в идеальной жидкости [6], но уже применительно к точным полям возмущений от сфер.

2. Одним из основных замечаний оппонента относительно ссылок в моей статье является также следующее:

"В статье [1] ... утверждается, что имеются лишь немногочисленные результаты по динамике взаимодействующих частиц числом более трех. На самом деле, опубликовано большое число как экспериментальных, так и теоретических результатов по динамике взаимодействующих частиц".

Приведу точную цитату из своей статьи [1] (с. 570):

"Следует отметить, что все известные немногочисленные аналитические результаты по движению трех и более сфер ограничены точностью до 0(е3) включительно".

Слово "аналитические" в выделенной фразе присутствует не случайно. Речь в цитате, по сути, идет о практических возможностях существующих чисто аналитических методов подхода к решению задачи N сфер в вязкой жидкости, не более того. В цитате ничего не утверждается (а, соответственно, и не обсуждается) по поводу методов, использующих численные и экспериментальные методики исследований. Кроме того, упомянутая фраза в контексте изложения носит не обзорный, а достаточно частный характер. Она приведена в контексте сравнения полученного на основе МСП решения конкретной задачи с соответствующим известным решением [4] той же задачи.

В плане ссылок в статье [1] необходимо отметить также следующее. Работа посвящена построению метода, позволяющего получать аналитические решения конкретных задач, что продемонстрировано на примере двух тестовых задач. Они приведены исключительно для того, чтобы продемонстрировать "по шагам" всю процедуру применения МСП, а также показать то, что метод работает и дает правильные результаты. При этом ссылки на известные результаты решения этих задач даны на те работы, которые при прочих равных условиях имеют приоритетный характер.

Никакие другие задачи в работе не рассматриваются. Поэтому нет предмета для сравнения с результатами расчетов конкретных задач, полученных на основе многочисленных методов, включая метод оппонента [2]. В связи этим в моей статье естественным образом отсутствуют и соответствующие ссылки на результаты этих расчетов.

Ряд замечаний оппонента прямо или косвенно подвергает сомнению новизну МСП [1]. В частности, в критической статье оппонента утверждается:

"Этот метод (имеется в виду метод [2]) был модифицирован [8] таким образом, что каждая частица из множества N рассматривается как помещенная в поток, образованный основным течением и возмущениями от остальных частиц, и решение задачи представлено в виде, аналогичном случаю одной частицы в потоке. Фактически это и есть реализация метода самосогласованного поля для взаимодействующих частиц".

Возможность представления решения в виде заданного внешнего потока и суперпозиции полей возмущений от всех частиц обусловлена линейностью уравнений Стокса и известна издавна. Такое представление решения использовалось в огромном количестве работ и перестало быть оригинальным задолго до появления первых статей и автора, и оппонента. Даже классический метод отражений, по сути, использует такое представление общего решения. Однако само по себе такое представление не является признаком МСП. Необходимо замыкающее условие согласования всех полей возмущений между собой. Более того, не любые математические условия, вытекающие из граничных условий задачи, могут считаться признаком МСП2.

Суть моей работы [1] заключается в том, что исходная классическая граничная задача N сфер в безграничной вязкой жидкости фактически переформулирована — записано точное решение задачи в виде суперпозиции полей возмущений вида ШФ [7], а для тензорных коэффициентов произвольного ранга, относящихся к разным частицам, сформулировано точное математическое условие их согласования. Именно тако-

2Любой метод, правильно решающий задачу N частиц в жидкости, в итоге дает самосогласованное поле возмущений частиц. Но не любой из таких методов имеет физический смысл МСП.

го рода условие, имеющее единый вид для всех возможных значений числа частиц N и ранга тензоров и, является признаком МСП. Поэтому предложенный метод на полном основании и назван методом самосогласованного поля.

В переформулированном виде любая задача N сфер в безграничной вязкой жидкости в рамках МСП сводится к формальному решению полученной системы уравнений относительно тензорных коэффициентов. При этом разным физическим задачам соответствует просто разный набор заданных и искомых величин. Важно также отметить, что в переформулированном виде задача уже не "обременена" граничными условиями на сферах — гарантом их удовлетворения являются сами условия согласования

„ 3

полей возмущений3.

Описанная выше процедура является новым подходом к аналитическому решению задач динамики N сфер в вязкой жидкости.

Изложенное выше является точкой зрения автора. В вопросе о том, насколько она обоснована, полагаюсь на мнение научного сообщества.

2. Об апробации метода. Оппонентом высказано также замечание о том, что МСП "недостаточно апробирован".

Хотелось бы узнать критерий, по которому только что опубликованный метод может считаться достаточно апробированным. На мой взгляд, любой метод все время своего существования регулярно проходит апробацию на различных задачах. А по существу замечания могу сказать только следующее. В обсуждаемой статье [1] приведено аналитическое решение двух тестовых задач на основе МСП. Решения этих задач тождественно совпадают в соответствующих приближениях по малому параметру с хорошо и давно известными результатами, которые, в свою очередь, апробированы многократно, в том числе и оппонентом [2] при решении задачи о двух сферах. Сам метод и ряд новых результатов, полученных на его основе, докладывались на трех всероссийских конференциях [9—11], а также опубликованы в двух недавних работах автора [12, 13].

3. О многочастичных взаимодействиях. Здесь будет уместным ответить на следующее замечание оппонента:

"Еще одно замечание связано с выводом, что при взаимодействии трех частиц их скорости с точностью до О(е3) определяются только парными взаимодействиями, как это следует из анализа структуры полученного решения. Между тем был сделан вывод [2], что решение задачи о гидродинамическом взаимодействии даже трех частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях частиц".

Приведу соответствующую цитату из своей статьи (с. 569):

"...скорости частиц с точностью до О(е3) включительно определяются только парными взаимодействиями. В приближениях О(е4) и О(е6) появляются члены, описывающие трехчастичные взаимодействия. В последующих приближениях будут появляться члены, описывающие взаимодействия частиц более высокого порядка вплоть до ^частичных взаимодействий включительно".

Где тут оппонент нашел противоречие — непонятно!? В последней цитате сказано буквально, что в случае трех

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком