научная статья по теме ПАМЯТИ РАДИЯ ПЕТРОВИЧА ФЕДОРЕНКО (1930–2010) Математика

Текст научной статьи на тему «ПАМЯТИ РАДИЯ ПЕТРОВИЧА ФЕДОРЕНКО (1930–2010)»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 8, с. 1532-1536

УДК 51(092)

ПАМЯТИ РАДИЯ ПЕТРОВИЧА ФЕДОРЕНКО

(1930-2010)

© 2010 г. Э. Л. Аким, О. М. Белоцерковский, К. В. Брушлинский, С. К. Годунов, В. Ф. Дьяченко, В. Т. Жуков, М. К. Керимов, А. И. Лобанов, М. В. Масленников, И. Б. Петров, Ю. П. Попов, Г. П. Прокопов, В. С. Рябенький, Л. Г. Страховская, А. С. Холодов, Б. Н. Четверушкин, Т. М. Энеев

(119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: compmath@mail.ru Поступила в редакцию 04.03.2010 г.

11 марта 2010 года исполнилось 80 лет со дня рождения Радия Петровича Федоренко, выдающегося российского математика, лауреата Государственной премии Российской Федерации, известного своими трудами в области вычислительной математики и ее приложений, сотрудника Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, профессора, доктора физико-математических наук. К глубокому сожалению, Радий Петрович скончался 13 сентября 2009 г., и этот очерк является одновременно и некрологом.

Радий Петрович Федоренко родился 11 марта 1930 года в Воронеже в интеллигентной семье (мать — инженер-химик с университетским образованием, отец — инженер, впоследствии директор военного авиазавода). В 1953 г. Радий Петрович закончил физико-математический факультет Ростовского университета и был приглашен академиком М.В. Келдышем в Отделение прикладной математики при МИ АН СССР в качестве молодого специалиста, впоследствии — его аспи-

1532

рант. В ОПМ (ныне ИПМ им. М.В. Келдыша) в то время создавался коллектив для решения прикладных математических задач, связанных с созданием атомного оружия и ракетной техники. С тех пор вся научная жизнь Р.П. Федоренко связана с ИПМ. В этом институте Радий Петрович работал в одном из ключевых подразделений, которое возглавлял И.М. Гельфанд, а среди его сотрудников были К.И. Бабенко, К.В. Брушлинский, С.К. Годунов, В.Ф. Дьяченко, О.В. Локуци-евский, Н.М. Зуева, В.В. Русанов, В.С. Рябенький, Н.Н. Ченцов и др. Отделом, впоследствии выделившимся из этого подразделения, Радий Петрович руководил с 1990 по 2002 год.

Первые годы работы Радия Петровича в ИПМ были посвящены решению сложных задач математической физики на появившихся в то время первых ЭВМ. Это были закрытые работы, результаты которых не публиковались. Но в процессе этих исследований формировалась новая наука — вычислительная математика эпохи ЭВМ, которой предстояло большое будущее, и Радий Петрович был одним из тех, кто закладывал фундамент этой науки.

Первая опубликованная работа Р.П. Федоренко — расчет мощного импульсного разряда в плазме — появилась в 1958 г. и была посвящена численному решению одномерных уравнений магнитной гидродинамики в связи с первой в мировой науке попыткой экспериментально получить управляемый термоядерный синтез [1].

В 1960 г. Р.П. Федоренко предложил разностную схему для задачи Стефана о распространении тепла в двухфазной среде, заменив уравнение для температуры и границы раздела фаз уравнением для внутренней энергии и уравнением состояния. Эта работа [2] была опубликована в 1975 г., но только спустя 10 лет такие схемы, названные энтальпийными, вошли в практику расчетов.

Следующая публикация [3] содержала изложение многосеточного метода, который впоследствии принес Радию Петровичу всемирную известность. Метод был изобретен в процессе решения двумерных уравнений газовой динамки на поверхности сферы для задачи прогноза погоды. При работе программы основное машинное время уходило на многократное решение уравнения Пуассона. Стандартные методы были приемлемы в рамках конкретной задачи, но резко возрастало время расчета при измельчении сетки. Радий Петрович вышел за рамки сиюминутных потребностей и построил гибкий, неулучшаемый по числу операций, совершенно оригинальный многосеточный метод, допускающий широкие обобщения. В 1964 г. он получил доказательство того, что скорость сходимости итераций не уменьшается при измельчении сетки (для уравнения Пуассона в прямоугольнике). Н.С. Бахвалов и Г.П. Астраханцев обобщили этот результат на существенно более сложные задачи. После того как в 1970-е гг. Брандт с успехом использовал метод в своих расчетах, началось интенсивное его изучение, развитие и использование. В настоящее время метод, получивший название Ми1И§г1ё, широко используется в современных вычислениях. За разработку многосеточного метода Р.П. Федоренко вместе с Н.С. Бахваловым, Г.П. Астраханцевым и В.В. Шайдуровым в 2003 г. была присуждена Государственная премия Российской Федерации в области науки и техники.

В 1962 г. Р.П. Федоренко впервые предложил концепцию гибридных разностных схем [4]. Эта работа была связана с проблемой монотонности: С.К. Годунов доказал, что не существует монотонных линейных схем высокого порядка точности (нелинейные схемы). Р.П. Федоренко предложил конструкцию схем, включающую несложный анализ локальной гладкости решения и, в зависимости от его результата, использование в текущем узле сетки схемы первого или более высокого порядка точности. Экспериментально для одномерных уравнений газовой динамки в переменных Эйлера было показано, что этот несложный прием позволяет существенно улучшить качество численного решения. После известной статьи Бориса и Бука (1973 г.) конструирование гибридных схем стало почти непременным элементом вычислительной газовой динамики. К упомянутым выше основным идеям был добавлен существенный элемент: объективное требование "невозрастания полной вариации" численного решения, отражающее соответствующее свойство решений некоторых квазилинейных гиперболических уравнений. Так появились известные TVD-схемы, родоначальником которых, по существу, был Р.П. Федоренко.

В 1964—1980 гг. Радий Петрович выполнил большой цикл прикладных и теоретических работ по приближенному решению задач оптимального управления. Среди решенных задач были задача о движении тела переменной массы, управляемого углом атаки и режимом расхода массы, задача об оптимальной остановке реактора, расчеты оптимальной защиты от проникающего излучения, задачи об оптимальном составе активной зоны реактора и др. Работа 1964 г. по численному решению задач оптимального управления легла в основу кандидатской диссертации, которую Р.П. Федоренко защитил в 1965 г.

Важно подчеркнуть, что в этих работах, вошедших в монографию [5], Радий Петрович преодолел большие трудности, которые стоят на пути от общих теорем, имеющих характер теорем существования решений, к алгоритмам, фактически определяющим эти решения.

К числу самых первых в динамическом программировании принадлежат теоретические работы Радия Петровича, относящиеся к вариационным задачам: доказательство существования цены дифференциальной игры преследования [6], о принципе максимума для дифференциальных включений и ряд других. Этот материал вошел в его докторскую диссертацию, защищенную в 1973 г., и в монографию [5].

Радий Петрович построил эффективные алгоритмы для некоторых прикладных задач, сформулированных в терминах вариационных неравенств или вариационных задач с недифференци-руемыми функционалами. Среди этих задач есть задача о стационарном течении неньютоновской жидкости, задача о подшипнике качения без смазки, расчет развития трещины в рамках теории упругости. Обзор работ Р.П. Федоренко по решению задач механики приведен в [7].

Работа по численному решению прикладных задач проводилась в соавторстве с физиками и механиками, отвечавшими за постановку конкретных задач и содержательную трактовку полученных решений. Соавторами большинства дальнейших работ являются ученики и последователи Р.П. Федоренко. Для многих из них проведенные решения сложных задач вошли в их кандидатские диссертации, выполненные под руководством Радия Петровича. Его участие в этих работах не ограничивалось только постановкой задачи и общим руководством, он выполнял и фрагменты чисто технической работы, вплоть до программирования. Р.П. Федоренко программировал на внутренних языках БЭСМ-1, "Стрелы", М-20, "Востока" и БЭСМ-6, потом на Фортране для современных компьютеров. Причины такой позиции Р.П. Федоренко объяснял так: «Без практического программирования я не сделал бы и десятой части того, что мне удалось сделать. Я считаю себя вычислителем-экспериментатором. Сталкиваясь с новым классом задач, я стараюсь понять, в чем их специфика, что препятствует их решению средствами, уже ставшими стандартными, и чем эти стандартные средства следует дополнить. Это понимание может измениться в процессе вычислительных экспериментов, программа ("экспериментальная установка") должна быть достаточно гибкой и легко перестраиваемой, поэтому надо самому участвовать в ее разработке, делать ее своими руками».

Большой цикл исследований Р.П. Федоренко связан с математическим моделированием ядерных реакторов. В процессе этой работы были получены результаты, оказавшие существенное влияние на формирование новых направлений в развитии вычислительных методов. Назовем некоторые из них.

Для пространственной аппроксимации уравнений диффузии нейтронов был разработан специальный вариант метода конечных элементов (1976 г.), который теперь называется методом конечных суперэлементов (МКСЭ). От обычного элемента суперэлемент отличается базисом, состоящим из решений специальных краевых задач для исходного уравнения (см. [8]). Эти решения находятся стандартными методами на внутренней сетке, разрешающей сложную геометрию элементарного блока реактора. На границе элемента базис совпадает с полиномиальным базисом МКЭ. Разностная схема строится из условия слабой непрерывности потока на границе суперэлемента, так как внутри задача решена "точно". В дальнейшем МКСЭ нашел применение и в других задачах (учет скважин в задачах подземной гидродинамики, диффузия в многосвязной области с краевыми условиями на границах многочисленных внутренних областей малых размеров, задачи теории упругости, расчет композитных материалов). Предпосылкой применения метода является предположение о том, что гладкости решения и его ограничения на границы ячеек сетки существенно различны. Для схем МКСЭ задача исследования сходимос

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком