АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 4, с. 428-431
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534-16
ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕЙ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ В ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
© 2015 г. А. П. Киселев*, **, ***, А. М. Тагирджанов**
*Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН 191023 Санкт-Петербург, Фонтанка 27 **Санкт-Петербургский государственный университет, физический факультет 198504 Санкт-Петербург, Старый Петергоф, ул. Ульяновская 3 ***Институт проблем машиноведения РАН 199178 Санкт-Петербург, Большой проспект В.О. 61 E-mail: kiselev@pdmi.ras.ru; aztagr@gmail.com Поступила в редакцию 22.06.2014 г.
Рассматриваются компоненты нестационарного тензора Грина для однородной изотропной упругой среды — решения задачи о нестационарной сосредоточенной силе. Как известно, они могут содержать аномальное поле, которое отлично от нуля между фронтами волн P и S и растет, вообще говоря, со временем. В работе охарактеризованы временные зависимости источника, при которых аномальное поле отсутствует.
Ключевые слова: точечный источник, тензор Грина, упругие волны, дельтаобразная зависимость от времени.
DOI: 10.7868/S0320791915030089
1. ВВЕДЕНИЕ
Общеизвестно и считается несомненным, что волновые поля распространяются вдоль лучей, и в случае локализованных источников, действующих в течение короткого времени, сосредоточены вблизи соответствующих волновых фронтов. На этом основано широчайшее применение лучевого метода (по другой терминологии геометрической акустики) для расчета и интерпретации по-1
лей упругих волн .
Мы рассматриваем классическое решение задачи о сосредоточенной силе в однородной изотропной упругой среде. Для достаточно общей временной зависимости источника (в частности, дельтаобразной) поле в области между сферическими фронтами продольной и поперечной волн — мы называем их по сейсмической традиции волнами Р и S — отлично от нуля. Заметка посвящена обсуждению этого аномального поля. Указываются временные зависимости источника, при которых аномальное поле не возникает, в частности, источники нулевой длительности.
1 Так называемые "нелучевые эффекты" (термин был в большом ходу в начале 1980-х годов) оказались объяснимы
с лучевых позиций при достаточно внимательном рассмот-
рении [1].
2. КЛАССИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА
Рассмотрим классическое решение нестационарной задачи о неподвижном точечном источнике возмущений упругой среды, восходящее к Стоксу [2]. Элементарный вывод соответствующих формул ясно изложен в учебниках, см., например, [3—5]. Среда считается однородной и изотропной. Обозначим скорости волн Р и S через а и Ь, а > Ь > 0. Смещение u = и(х, у, г, г) описывается уравнением
д 2
а^гаё Шуи - Ь2го1 гоШ--и = -Г. (1)
дг2
В качестве источника F выбрана сосредоточенная сила, действующая вдоль оси х:
Г = 4я5(х)8(у)5(гМг)е1, (2)
где 8 — одномерная дельта-функция, e1 — орт оси х. Этот источник (в отличие от вырожденных источников, таких как центр расширения и центр вращения) возбуждает объемные волны обоих типов. Пусть временная зависимость источника х(0 удовлетворяет условию
Х(0|г<0 - 0 (3)
которое гарантирует единственность решения уравнения во всем пространстве, удовлетворяющего условию причинности и < <0 = 0. Простые, хотя и громоздкие выкладки приводят (см., например, [3—5]) к результату
ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕЙ
429
и = уМ^Щ^ -X(( - ЩЬ) - е1) +
а2Я Ь2Я К3 (4)
где Я = 4-
2 , 2 2
х + у + — — расстояние от источника,
8 = ($ь s2, s3) = (х,у,—) — единичный вектор, на-\К К Ю
правленный из точки источника (0,0,0) в точку наблюдения (х, у, —), и
К/Ь
X = Х(К, () := | т%(( - т)Мт. (5)
К/а
Первые два слагаемых в (4) — это сферические Р и
К к
Б волны с фронтами t = — и t = —, движущимися
а Ь
из источника, после его включения, с соответствующими скоростями. Поляризации смещений, описываемых этими слагаемыми, чисто продольны и чисто поперечны, соответственно.
Третье же слагаемое не имеет видимой связи с фронтами, быстрее первых двух слагаемых убывает с удалением от источника, сосредоточено в сферическом слое между фронтами волн Р и Б и, вообще говоря, может линейно нарастать со вре-2
менем в каждой точке внутри этого слоя. В нем присутствуют поляризации обоих типов. Соответствующее поле мы и называем аномальным.
Мы специально рассмотрим случай дельтаоб-разной временной зависимости, которая популярна как математически удобная модель короткодействующего импульса. Затем мы покажем, для каких сосредоточенных в точке временных зависимостей X = 0 между фронтами сферических волн, и рассмотрим математически простые несингулярные, но действующие в течение короткого времени временные зависимости х(0. Будут указаны условия на х(0, при которых аномальное поле отсутствует.
3. СЛУЧАЙ ДЕЛЬТАОБРАЗНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ
Рассмотрим вслед за рядом авторов (например, [4, 5]) дельтаобразную зависимость временной функции
х(() = 8((). (6)
Теперь два первых слагаемых в (4) сосредоточены на фронтах Р и Б волн, а третье равно
н и - К) - н и -
Я
X = (
где Н — функция Хевисайда:
Г0 при ( < 0,
Н (?) =
1 при ( > 0.
(7)
(8)
" Отметим, что линейный рост поля по времени характерен для задач, в которых источники движутся с резонансными скоростями, см., например, [6, 7].
Причина странного поведения этого члена в том, что источник (2), (6) монополярен и дает на нулевой частоте статическое смещение среды. Попробуем заменить его простым с математической точки зрения сосредоточенным по времени источником с нулевым средним.
4. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ, ДЛЯ КОТОРЫХ X = 0 МЕЖДУ ФРОНТАМИ
Положим
2
Х(() = 5"(() =
(9)
Решение для этого случая получается двукратным дифференцированием по времени выражения (7) с использованием простейших правил обращения с обобщенными функциями (см., например, [8]). Теперь
X = К 5'(( - К) - К 5'(( - К) +
а) Ь + 25((-К)-25 ((-К).
(10)
а! \ Ь) Выражение (10) сосредоточено на фронтах волн Р и Б.
К
Очевидно, X = 0 между фронтами, т.е. при — <
а
К
< t < —, не только для (9), но и для любой сосредоточенной в одной точке функции вида
,л Мт8(() . 0 Х(() =-—, т > 2.
^ 1+т '
а(
(11)
/ '(()
0 < к < 1.
Нетрудно показать, что линейная комбинация выражений (11) дает полное описание обобщенных функций, для которых X = 0 между фронтами.
5. СТУПЕНЧАТЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ВРЕМЕННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ (11)
Производная функции / (?) аппроксимируется, как известно, формулой
/ ((+к 2) - / ((- к 2) к '
Рассмотрим ступенчатые аппроксимации сингулярных обобщенных функций 8, 8', ..., 8(т). Как известно, 8(t) является пределом ступенчатых функций
_ Н(( + к/ 2) - Н(( - к 2) к
большой высоты N = 1 и малой ширины к,
к
см. рис. 1. Аналогичные разностные аппроксимации известны и для производных высших порядков. В частности, функции
8 * (?) :=
430
КИСЕЛЕВ, ТАГИРДЖАНОВ
..... 1/к ......... 1/ к2 ........ 2/ | к3 1 1 1
к 2к 2к к 2к
Рис. 1. Ступенчатые функции (г), (0, 8"у (?)■
-1/2к
_I_I_I_I
2к
£1
J__I_I_
- 1/2к2
J_I_I_I_ц
А.
2к
-1/к3
2к
-й
Рис. 2. Горизонтальные компоненты поля щ для источников с %(г) = 8N(?), %(0 = 8^(?) и х(?) = 8^(?) при К = 20к, а = л/3, Ь = 1, s = (1/72,1/72,0) ■
5" ? 5N(? + к) + 5N(? - к) - 25 N(?)
Н ' к2 приближают (11) при к ^ 0 в смысле обобщенных функций.
Нетрудно установить, что
к
8^(0 = кк ¿ПУФN (? - (к - т) к), (12)
т=0
откуда получается следующее выражение для соответствующей величины (5):
Х(?) = XN (?) :=
к Ф II \ \
:= кк Х(-1) тСкт ^ 8 N (' - (к - т) к-т) т*т (13)
т=0 ^а
Горизонтальные компоненты поля и2 для источ-
ников с х(0 = 8N(?), Х(?) = SN(?) и х(?) = SN(?), вычисленные с помощью формул (4), (12), (13), изображены на рис. 2.
6. ОБСУЖДЕНИЕ
Отметим, что если в качестве х(0 взять глад-
кую функцию, обращающуюся в нуль вне отрезка
0 < ? < Т, такую, что она сама и интеграл от нее
—
имеют нулевые средние, то X = 0 при —+ Т <
а
< г < - - Т ■
ь
Как известно, причинное фундаментальное решение гиперболического оператора с постоянными коэффициентами при нечетном числе пространственных переменных (частным случаем которого является решение задачи (1)—(2)) имеет дельтаобразные особенности на фронтах соответствующих волн и тождественно равно нулю впереди самой быстрой волны и позади самой медленной [8]. Поведение решения между фронтами, насколько нам известно, не исследовалось, исключая отдельные численные эксперименты. Так, для однородной анизотропной среды из [9] явствует, что поле между фронтами, вообще говоря, отлично от нуля. Однако вопрос о том, является ли оно линейным по времени и, следовательно, исчезает ли для источников, рассмотренных выше, остается открытым.
В заключение авторы благодарят Ю.И. Боб-ровницкого, Дж.Х. Вудхауза ^.Н. Woodhouse], М. Дешампа [М. Descham.ps], Э. Дюкасса [Ё. Du-
Г
Г
Г
ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕЙ
431
casse], Д.П. Коузова, А.В. Попова и А.В. Шанина за полезные обсуждения. Авторы признательны рецензентам за ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Babich V.M., Kiselev A.P. Non-geometrical waves — are there any? An asymptotic description of some "nongeo-metrical" phenomena in seismic wave propagation // Geophys. J. Intern. 1989. V. 99. № 2. P. 415-420.
2. Stokes G.G. On the dynamical theory of diffraction // Trans. Cambridge Phil. Soc. 1851. V. 9. № 1. P. 1-62.
3. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 674 с.
4. Hudson J.A. Excitation and propagation of elastic waves. Cambridge: Cambridge University Press, 1980. 226 p.
5. Бабич В.М., Киселев А.П. Упругие волны. Высокочастотная теория. СПб: БХВ, 2014. 310 с.
6. Поручиков В.Б. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1986.
7. Kaplunov J., Nolde E., Prikazchikov D.A. A revisit to the moving load problem using an asymptotic model for the Rayleigh wave // Wave Motion. 2010. V. 47. № 1. P. 440-451.
8. Гельфанд И.М., Шилов Т.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Добросвет, 2000. 408 c.
9. Ducasse E., Deschamps M. An alternative approach to calculate the time-domain Gre
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.