ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 41, № 7, с. 409-416
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДУЛЯЦИЯ ДИНАМО-ВОЛН
2015 г. Л. Л. Кичатинов1,2*, А. А. Непомнящих3
1 Институт Солнечно-Земной физики СО РАН, Иркутск 2Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург 3Иркутский государственный университет Поступила в редакцию 24.02.2015 г.
Долговременные вариации солнечной активности, включая явления глобальных минимумов, связывают с изменениями параметров динамо со временем. В простейшем приближении динамо-волн показано, что периодические изменения параметров могут приводить к экспоненциальному росту либо затуханию колебаний магнитного поля в зависимости от частоты изменения параметров. Однако параметрический резонанс в динамо отсутствует: избирательная чувствительность к каким-либо определенным частотам, характерная для резонансных явлений, не обнаруживается. Предложено объяснение этого обстоятельства. В нелинейной задаче для динамо-волн обнаруживается явление гистерезиса, найденное ранее в более сложных моделях. Однако в рамках простой модели удается провести расчеты большого числа магнитных циклов, достаточного для нахождения функции распределения их амплитуд, и по крайней мере качественно воспроизвести два режима солнечной активности, обнаруженные недавно по содержанию космогенных изотопов в природных архивах.
Ключевые слова: динамо; Солнце: активность; звезды: активность.
DOI: 10.7868/80320010815070025
1. ВВЕДЕНИЕ
Гидродинамические течения, генерирующие космические магнитные поля, как правило, не постоянны во времени, поэтому параметры, определяющие процессы генерации, — процессы динамо — также непостоянны. Возможны как периодические изменения параметров, как в случае их модуляции волнами плотности для галактического динамо, так и нерегулярные изменения, например в конвективных оболочках звезд. Случай нерегулярных изменений обсуждается в последнее время особенно активно в связи с проблемой глобальных минимумов солнечной активности (см., например, обзор Шарбоне, 2010), подобных известному минимуму Маундера, когда на Солнце в течение около 70 лет почти не было пятен (Хойт, Шаттен, 1996).
Число крупномасштабных конвективных ячеек, ответственных за генерацию магнитного поля, на Солнце невелико (Гилман, Миллер, 1985), поэтому даже усредненные (например, по долготе) параметры динамо подвержены значительным флуктуаци-ям (Олемской и др., 2013). Считается, что именно флуктуации параметров динамо ответственны за наблюдаемые вариации продолжительностей и
Электронный адрес: kit@iszf.irk.ru
амплитуд солнечных циклов, включая события глобальных минимумов. Модели динамо с флуктуирующими параметрами в целом воспроизводят эти наблюдаемые явления (см., например, Мосс и др., 2008; Усоскин и др., 2009; Чудури, Карак, 2012; Карак, Чудури, 2013; Олемкой, Кичатинов 2013). Остается, однако, невыясненным, как параметры флуктуаций связаны с результирующими вариациями магнитных циклов. В частности, остается без ответа важнейший для теории вопрос о наличии
параметрического резонанса в динамо1 . Неясно, имеются ли в спектре флуктуаций параметров избранные частоты, к которым процессы генерации поля особенно чувствительны. В некоторых моделях характерное время флуктуаций было положено равным половине периода магнитного цикла, что соответствует условию параметрического резонанса для гармонического осциллятора, но повышенная реакция на флуктуации такой продолжительности не обнаружилась. Причина, вероятно, в том, что современные модели динамо являются численными и по результатам численных расчетов трудно установить функциональные связи.
1 Непериодичность изменений флуктуирующих параметров
во времени важна, но не имеет принципиального значения.
В этом случае можно говорить о стохастическом параметрическом резонансе (Кляцкин, 1980).
Возможно, что по этой же причине по резонансным явлениям в динамо имеется лишь небольшое количество работ (также использующих в основном численные методы). В уравнениях динамо отсутствуют источники, поэтому в задаче о резонансе нет аналогов вынуждающей силы и можно говорить лишь о параметрическом резонансе. Шмитт и Рю-дигер (1992) и Мосс (1996) рассматривали параметрический резонанс для галактического динамо. Гилман и Дикпати (2011) и Мосс и Соколов (2013) изучали резонансные явления для динамо в конвективных оболочках звезд. Выяснилось, что такие явления в циклическом динамо выражены гораздо слабее, чем это имеет место для других типов колебаний. Интересную разновидность параметрического резонанса в нелинейном динамо обнаружил Решетняк (2010): резонанс может возникать из-за запаздывания во времени влияния магнитного поля на параметры генерации этого поля.
В данной статье предлагается использовать простую модель динамо, позволяющую выяснить вопрос о наличии параметрического резонанса аналитическими методами. Это может помочь понять результаты более сложных численных моделей. Подобный подход оказался плодотворным для изучения магнито-ротационной неустойчивости, где простейшая аналитическая модель помогла найти правила подобия, подтвержденные затем в численных расчетах (Кичатинов, Рюдигер, 2004). Достаточные упрощения для получения аналитического решения дает (локальное) приближение динамо-волн. В этом приближении длина динамо-волны считается малой по сравнению с масштабом изменения параметров динамо. Такое соотношение масштабов не выполняется для солнечного динамо и соответствующих численных моделей глобального динамо. Однако трудно найти численную модель, результаты которой не удавалось бы объяснить правилом Йошимуры (1975) для распространения динамо-волн.
Как мы увидим, параметрическая модуляция динамо-волн имеет место. Возможен экспоненциальный рост либо затухание амплитуды волны в зависимости от частоты 7 изменений параметра а генерации магнитного поля. Однако эта модуляция не является резонансом. Скорость роста/затухания является плавной функцией частоты 7. Повышенная реакция на особые избранные частоты, характерная для резонансных явлений, в динамо отсутствует. Будет предложено объяснение этого обстоятельства.
Другой вопрос, в котором приближение динамо-волн может оказаться полезным, связан с двумя различными режимами солнечной активности, обнаруженными Усоскиным и др. (2014) по радиоуглеродным данным. Наличие двух режимов может быть связано с гистерезисными явлениями в
нелинейном динамо: с учетом зависимости турбулентной диффузии от магнитного поля имеется два устойчивых решения с различными амплитудами магнитных циклов, реализующиеся в зависимости от предыстории изменения параметров динамо (Кичатинов, Олемской, 2010). Гистерезис в динамо обнаружился также в трехмерном численном эксперименте (Карак и др., 2015). Однако расчеты в сложных моделях охватывают небольшое количество магнитных циклов, что затрудняет их статистический анализ. Как мы увидим, учет простейших нелинейностей в приближении динамо-волн также обнаруживает явление гистерезиса. При этом можно провести расчеты для миллионов магнитных циклов. Распределение амплитуд этих циклов имеет два максимума, подобно двойному распределению, полученному Усоскиным и др. (2014) по историческим данным о солнечной активности.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Будем исходить из уравнения динамо средних полей
д В
— = го%(аВ + \ х В-г?гсЛВ) (1)
(см., например, Зельдович и др., 1983). Гидродинамическая скорость V соответствует сдвиговому течению, например неоднородному вращению. Используем прямоугольную декартову систему координат, ось у которой направлена вдоль вектора скорости V, а ось х — в направлении неоднородности течения,
V = (0, Бх, 0). (2)
Будем считать коэффициенты уравнения (1) и величину неоднородности Б сдвигового течения не зависящими от координат, т.е. масштаб изменения магнитного поля считается малым по сравнению с характерным масштабом неоднородности среды (приближение коротких динамо-волн). Применительно, например, к конвективным оболочкам звезд, ось у используемой системы координат соответствует азимутальному направлению, ось х указывает в направлении градиента угловой скорости, а плоскость уг является поверхностью изоротации. Магнитное поле
В
дА дг
(3)
имеет тороидальную (В) и полоидальную (—дА/дг) составляющие. Как В, так и потенциал А поло-идального поля зависят лишь от координаты г и времени. Для двух составляющих поля получаем систему уравнений
М ........- (4)
дг
- д2в дг ^ дг2 '
дА д2А
где опущен вклад а-эффекта в генерацию тороидального поля (аО-динамо).
Будем рассматривать волновые решения, для которых А, В ж ехр(гк,г) и приведем уравнения (4) к безразмерному виду. Для этого будем измерять время в единицах (к2п0)-1. Здесь п0 — характерная величина коэффициента диффузии, п = П0П (П ~ ~ 1), и аналогично для коэффициента а: а = а0а. Величина А измеряется в единицах а0В0/(п0к2); В0 — характерная величина и одновременно единица измерения поля В. Оставляя для безразмерных величин прежние обозначения, получим
В = -IVА - Г]В, (5)
А = а В - па,
где
а0Б
V
3
B = e'
ai
Z Ь
i(nj-1)i
Можно видеть, что разложения коэффициентов Ьп по степеням малого параметра е начинается с величин порядка е'п'. С точностью до второго порядка по е находим амплитуды "сопутствующих" колебаний
е Ь0
bi =
7(7 " 2i — 2)' и собственное значение
а = s + гАш,
b- i = -
ebp 7(7 + 2i + 2)
Аш =
е2 72
е2 72 - 8 ~2 74 + 64' + 8
(11)
(12)
2 74 + 64'
(6)
есть динамо-число. Параметры а и п могут зависеть от времени явно, как это имеет место в линейной задаче о параметрическом резонансе, или неявно через их зависимость от амплитуды динамо-волны в нелинейной задаче.
3. ОТСУТСТВИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО
РЕЗОНАНСА В том случае, когда параметры уравнений (5) не зависят от времени (п = а = 1), пороговая величина динамо-числа для появлений незатухающих колебаний V = 2 (при большей величине динамо-числа амплитуда колебаний экспоненциально растет, а при меньшей — затухает со временем). Задача на собственные значения (А, В ж ехр(-для этого случая дает два решения:
Ш1 = 1, Ш2 = -1 - 2г, (7)
первое из которых соответствует незатухающим колебания
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.