МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК 539.3:534.2
© 2014 г. С. М. АФОНИН
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ МНОГОСЛОЙНОГО ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
НАНО- И МИКРОПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ПЬЕЗОЭФФЕКТЕ
Построены параметрические структурные схемы многослойного пьезо-преобразователя при продольном пьезоэффекте с учетом противоэлектро-движущей силы. Получены передаточные функции многослойного пьезо-преобразователя с учетом влияния геометрических и физических параметров многослойного пьезопреобразователя, противоэлектродвижущей силы и внешней нагрузки.
Ключевые слова: многослойный пьезопреобразователь нано- и микроперемещений, параметрические структурные схемы, передаточные функции.
1. Введение. Постановка задачи. Пьезопреобразователь (пьезодвигатель, пьезоактю-атор) нано- и микроперемещений работает на основе обратного пьезоэффекта, в котором эффект перемещения достигается за счет деформации пьезопреобразователя в диапазоне от единиц нанометров до единиц микрометров с точностью до десятых долей нанометров при приложении электрического напряжения. Для увеличения диапазона перемещения пьезопривода от единиц до десятков микрометров используется многослойный (составной) пьезопреобразователь. Применение пьезопривода нано-перемещений перспективно в оборудовании нанотехнологии, нанобиологии, микроэлектроники и адаптивной оптики для прецизионного совмещения, компенсации температурных и гравитационных деформаций, а также атмосферной турбулентности путем коррекции волнового фронта [1, 2].
Структурно-параметрическая модель простого пьезопреобразователя строится в результате совместного решения волнового уравнения, соответствующего уравнения пьезоэффекта и граничных условий на двух нагруженных рабочих поверхностях простого пьезопреобразователя. Передаточные функции простого пьезопреобразователя получаются из системы уравнений, описывающих структурно-параметрическую модель простого пьезопреобразователя [3—6].
Структурно-параметрическая модель многослойного пьезопреобразователя строится в результате совместного решения системы уравнений эквивалентного механического четырехполюсника пьезопреобразователя, соответствующих уравнений пье-зоэффекта и граничных условий на двух нагруженных рабочих поверхностях пьезопреобразователя. Передаточные функции многослойного пьезопреобразователя получаются из системы уравнений, описывающих его структурно-параметрическую модель пьезопреобразователя [3—6].
По аналогии с классическим электроприводом в расчетах желательно учитывать противоэлектродвижущую силу пьезопреобразователя, соответствующую, например, по аналогии противоЭДС якоря двигателя постоянного тока. Следовательно, в структурно-параметрических моделях и параметрических структурных схемах вводим отрицательные обратные связи, учитывающие прямой пьезоэффект в многослойном пье-
x = l
x = 8 x = 0
1 t l
k + 1 \ E3(t)
k \ E3(t)
I(t)
U(t)
M&O ^i(t) Fi(t)
Фиг. 1
3
зопреобразователе, рассматриваем их влияние в статике и динамике на свойства многослойного пьезопреобразователя.
2. Параметрические структурные схемы многослойного пьезопреобразователя. Рассмотрим многослойный пьезопреобразователь (фиг. 1), состоящий из пьезопластин (пьезослоев), соединенных электрически параллельно, а механически последовательно. Многослойный пьезопреобразователь при продольном пьезоэффекте имеет длину l, а каждая из составляющих его n пьезопластин имеет толщину 8 и площадь поперечного сечения S0. Электроды нанесены на грани пьезопластин, перпендикулярные оси 3. Уравнения продольного пьезоэффекта [5] имеют вид
S3 = d^^E^ + S33T3 (2.1)
D3 = d33T3 + e33E3 (2.2)
Здесь первое уравнение описывает обратный пьезоэффект, а второе — прямой пьезо-эффект, где S3 (x, t) = 5^(x, t)/dx — относительное смещение сечения пьезопластины по оси 3; x — координата; t — время; d33 — пьезомодуль при продольном пьезоэффекте; E3(t) = u(t)/8 — напряженность электрического поля по оси 3; u(t) — напряжение на
электродах пластины; 8 — высота пьезопластины (толщина пьезослоя); s^ — упругая податливость по оси 3 при E = const; T3(x, t) — механическое напряжение по оси 3; D3(t) —
электрическая индукция по оси 3; г133 — диэлектрическая проницаемость по оси 3 при T = const.
Эквивалентному механическому четырехполюснику многослойного пьезопреобра-зователя [3] соответствует система уравнений:
—{{(p)ch (у l) + S. (p)} = F (p) (2.3)
s33sh (yl)
-St- {(p) + S„ (p)ch (Yl)} = -Fn (p)
s33sh (Yl)
где у = p/c + a — коэффициент распространения; p — оператор Лапласа; a — коэффициент затухания (ослабления); c — скорость звука и s33 — упругая податливость, соответственно имеем c = cE и s33 = sE при управлении по напряжению при E = const, E — напряжен-
ность электрического поля, а c = cD и s = s33 при управлении по току при D = const, D — электрическая индукция; l = n5 — длина многослойного пьезопреобразователя [4, 5].
Уравнения сил, действующих на гранях многослойного пьезопреобразователя при x= 0 и x = l следующие:
73(0, p)So = F( p) + Mip p)
(2.4)
7((,p)Sо =-F2(p)- M2p2(p)
(2.5)
где M1 и M2 — массы нагрузки на первой и второй грани многослойного пьезопреобразователя, причем принимаем 2п(р) = 22(р), Рп(р) = Р2(р).
Сила, возбуждающая колебания многослойного пьезопреобразователя, находится из уравнения обратного пьезоэффекта [4] при продольном пьезоэффекте
F(p) = d33SoE3(p)/s^
(2.6)
Совместное рассмотрение системы уравнений для эквивалентного механического четырехполюсника (2.3) многослойного пьезопреобразователя при управлении по напряжению, уравнения сил (2.4), (2.5) на гранях многослойного пьезопреобразователя и уравнения силы (2.6), возбуждающей колебания, дает систему уравнений при x = 0 и при x = I:
SoY
s33sh (yI )
{{(p) ch (y l) + S 2 (p)} = df SoE3(p) + Fx(p) + Mx p 2Sj( p)
s33
(2.7)
SoY
s33sh (yI )
{{ (p) + S 2 (p) ch (y l)} } SoE3(p) - F2(p) - M2piS 2(p)
s33
где Б0/5 зз = тп(сЕ )2/I, mn — масса многослойного пьезопреобразователя.
После преобразований получаем следующую систему уравнений, описывающую структурно-параметрическую модель многослойного пьезопреобразователя при продольном пьезоэффекте:
i(p) =
h(p) =
j-Fi(p) + So
Mip У S33
M-2 Ыp) + %
M2p У S33
d33E3(p) [ch (yl) Si(p) - S2(p)]
sh (yl)
d33E3(p) [ch (yl) S2OO - Si(p)]
(2.8)
sh (yl)
Параметрическая структурная схема многослойного пьезопреобразователя дополнена уравнением внешней цепи
U (p) =
U o( p) RCnp + i
где и0(р) — напряжение источника; R — сопротивление внешней цепи; Cn = C0n — емкость составного пьезопреобразователя; О, — емкость пьезопластины; п — число пье-зопластин (пьезослоев) в многослойном пьезопреобразователе.
Для учета влияния реакции многослойного пьезопреобразователя за счет возникновения противоэлектродвижущей силы из-за прямого пьезоэффекта необходимо с учетом прямого пьезоэффекта дополнить параметрическую структурную схему много-
слойного пьезопреобразователя двумя обратными связями по напряжению (фиг. 2), соответствующими следующему выражению
и (р) = -1 й^Л % (р) = ^т (2.9)
где г = 1, 2 — номер торца многослойного пьезопреобразователя; и1(р) — изображение Лапласа противоэлектродвижущей силы (напряжения обратной связи); Ц(р) — изображение Лапласа соответствующей силы, приложенной к первому или второму торцу многослойного пьезопреобразователя.
Рассмотрим влияние реакции пьезопреобразователя из-за создания противоэлектродвижущей силы за счет прямого пьезоэффекта (2.2) при его статической деформации (фиг. 3). В статическом режиме для зажатого пьезопреобразователя его деформация равна нулю, а сила, развиваемая пьезопреобразователем, максимальна.
Оценим максимальное усилие /тах и максимальное механическое напряжение Тзтах, развиваемые пьезопреобразователем, при продольном пьезоэффекте с учетом прямого пьезоэффекта для бесконечно большого сопротивления источника питания, когда обкладки пьезопреобразователя разомкнуты
—<8>
1 nSo d33 1
S0 ./max
1 8 E3 d33 S3 E S33
9 *
Фиг. 3
1 Sq !
/max = u~d33 — + /max"" d33wS 0"
£ s33
■So
_J_djj 1 So
'S33S 0/5 5 ^
откуда
fm
-S33
1 - T33E I = £3d33
S33.S33
T3max(1 - ^323>533 = E3d33
где k33 = d33/ tIs33£33 — коэффициент электромеханической связи. Следовательно,
(2.10)
T3max533 = E3d33, ^ = (1 - k^ = k^
где ks = 1 - k323 = 5;f3/s33 — коэффициент изменения упругой податливости, причем ks > 0 . Следовательно,
fmax = E3d33So/(%Sks) = E3d33Sol ^
или
L 3max
= £3d33/ •
D
S33
(2.11)
Упругие податливости пьезопреобразователей удовлетворяют неравенству ^ > ¡33,
причем 5^3/¡33 < 1.2. Индекс Е соответствует измерениям при постоянной напряженности электрического поля в пьезопреобразователе для управления от источника напряжения или измерениях с замкнутыми электродами. Индекс В соответствует измерениям при постоянной индукции для управления от источника тока или измерениях с разомкнутыми электродами многослойного пьезопреобразователя. Измерения производились на прессе марки УММ-5 в диапазоне механических напряжений в пьезопреобразователе от 5 МПа до 50 МПа.
Соответственно для многослойных пьезопреобразователей из пьезокерамики на основе цирконата-титаната свинца промышленной марки ЦТС-19, спеченных из пье-зопластин диаметром В = 15 мм и толщиной 8 = 0.6 мм, упругие податливости равны
¡3з = 3 • 10-11 м2/н, ¡33 = 2.7 • 10-11 м2/н; для многослойных пьезопреобразователей из пьезопакетов ПП-6, склеенных эпоксидной смолой, упругие податливости равны
/Н, ¡33 = 3.5 • 10-11 м2/н.
s33 = 3.8 • 10 11 м2
S
o
или
Соответственно имеем СзЕ = Б0/ ^^ — жесткость пьезопреобразователя с управлением по напряжению при продольном пьезоэффекте, С^з = 50/^3з/) — жесткость пьезопреобразователя с управлением по току при продольном пьезоэффекте. При разомкнутых электродах жесткость пьезопреобразователя возрастает по сравнению с его жесткостью при замкнутых электродах. Увеличение сопротивления источника питания и согласующих цепей приводит к уменьшению упругой податливости пьезопреоб-разователя.
Рассмотрим различные режимы работы пьезопреобразователя.
Если за входную величину при
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.