ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 4, с. 741-747
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС ПРИ ОСЦИЛЛЯЦИЯХ НЕЙТРИНO В ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИХСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
© 2004 г. М. С. Дворников*, А. И. Студеникин**
Московский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 06.11.2002 г.; после доработки 23.05.2003 г.
Показано, что при осцилляциях нейтрино в переменных электромагнитных полях может возникать явление параметрического резонанса. Для двух типов электромагнитных полей (амплитудно-модулированной электромагнитной волны и постоянного во времени поперечного магнитного поля с периодически меняющейся в пространстве амплитудой) найдены вероятности нейтринных переходов V ^ Vj и показано, что амплитуды вероятностей возрастают со временем при определенном подборе параметров внешних электромагнитных полей.
ВВЕДЕНИЕ
С тех пор, как в 1958 г. была теоретически предсказана возможность нейтринных осцилля-ций [1], предпринимались многочисленные попытки обнаружить это явление. Однако, несмотря на достигнутые успехи в объяснении проблемы солнечных и атмосферных нейтрино (см., например, статью [2], посвященную современному статусу вопроса о смешивании и осцилляциях нейтрино), на данный момент не существует однозначного окончательного подтверждения существования нейтринных осцилляций.
Известно, что наряду с эффектом Михеева— Смирнова—Вольфенштейна (МСВ) [3, 4] (а также аналогом данного эффекта для случая спин-флейворных осцилляций нейтрино [5, 6]) может существовать и другой механизм усиления осцилляций нейтрино, в основе которого лежит явление параметрического резонанса [7—15].
Необходимо отметить, что упомянутые механизмы усиления нейтринных осцилляций радикально отличаются друг от друга. В случае эффекта МСВ увеличение амплитуды нейтринных осцилляций достигается за счет определенного выбора параметров, описывающих нейтрино и внешние условия, например плотность среды. Следует подчеркнуть, что данные параметры считаются постоянными или, по крайней мере, слабо меняющимися вдоль пути нейтрино. Таким образом можно добиться того, чтобы эффективный угол смешивания был близок к п/4 даже при малом угле смешивания в вакууме. Для параметрического же резонанса эффективный угол смешивания не является, в общем
E-mail: maxim_dvornikov@aport.ru
E-mail: studenik@srd.sinp.msu.ru
случае, большой величиной. Однако предполагается, что такие внешние параметры, как, например, плотность среды, периодически изменяются вдоль пути нейтрино. Увеличение вероятности перехода нейтрино из одного состояния в другое достигается за счет особых фазовых соотношений.
В одной из первых работ [16], посвященных исследованию явления параметрического резонанса в физике элементарных частиц, изучались осцилляции между нейтроном и антинейтроном в периодически меняющемся магнитном поле. Сформулированный в статье [16] подход к рассмотрению возникновения параметрического резонанса, а также метод нахождения приближенного решения уравнения эволюции двухуровневой системы использовались при изучении данного явления в нейтринных осцилляциях (см., например, [7]).
Возникновение параметрического резонанса в осцилляциях нейтрино в случае меняющейся плотности среды неоднократно обсуждалось в литературе. В первую очередь необходимо отметить работу [7], в которой представлено приближенное решение уравнения эволюции пучка нейтрино при прохождении через вещество, плотность которого меняется по гармоническому закону. В работе [8] было проведено численное моделирование прохождения пучка нейтрино через Землю, причем плотность вещества Земли считалась переменной. Аналитическое решение уравнения в случае распространения нейтрино в среде с переменной плотностью было найдено в работе [9]. Однако эффективный угол смешивания и эффективная длина осцилляций считались мало отличающимися от соответствующих значений в вакууме. Следует также упомянуть работу [10], в которой изучались переходы между нейтринными состояниями при учете как эффекта МСВ, так и параметрического
резонанса, а также были рассмотрены некоторые астрофизические приложения.
Особого внимания заслуживает случай, когда плотность среды скачком меняется от одного постоянного значения до другого, поскольку плотность вещества Земли может быть аппроксимирована такой функцией. В недавно опубликованных работах [11, 12] обсуждается именно такой случай. В этих статьях найдено точное аналитическое решение уравнения эволюции системы нейтрино для подобного профиля плотности. Получено, что даже полутора периодов изменения плотности среды достаточно для достижения значительных вероятностей перехода нейтрино из одного состояния в другое. Таким образом, результаты данных исследований оказываются крайне важными при изучении прохождения солнечных и атмосферных нейтрино через вещество Земли. В этой связи следует также отметить работы последнего времени, в которых анализируются новые возможности изучения распределения плотности вещества в Земле методом нейтринной томографии (см. [13—15] и цитируемую там литературу).
В настоящей работе впервые рассмотрена возможность возникновения параметрического резонанса в нейтринных осцилляциях в неоднородном электромагнитном поле. Рассмотрение электромагнитного поля обусловлено тем, что с точки зрения экспериментального изучения нейтринных осцилляций создать электромагнитное поле заданной конфигурации неизмеримо проще, чем аналогичный профиль плотности. Мы исследовали случай амплитудно-модулированной электромагнитной волны и магнитного поля типа поля плоского ондулятора, т.е. постоянного во времени поперечного магнитного поля, амплитуда которого изменяется скачком от одного фиксированного значения до другого. Показано, что при определенном выборе параметров, описывающих нейтрино, электромагнитное поле и среду, в случаях амплитудно-модулированной электромагнитной волны и магнитного поля типа поля плоского ондулятора возникает параметрический резонанс. Получена оценка для возможности возникновения параметрического резонанса в космическом микроволновом излучении. Также предложена схема возможного эксперимента по изучению нейтринных осцилляций в лабораторных условиях.
1. ОСЦИЛЛЯЦИИ НЕИТРИНО В ПОЛЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
Сначала рассмотрим параметрический резонанс в поле амплитудно-модулированной электромагнитной волны. В основе нашего обсуждения будет
лежать эволюция системы из двух нейтрино V = = (vj+ ), соответствующих различным состояниям спиральности, под действием электромагнитной волны частоты ш с круговой поляризацией. Заметим, что состояния (vj+,vi-) могут, в принципе, принадлежать к различным поколениям нейтрино (при г = ]). Обозначим через вз ось, которая параллельна направлению движения нейтрино, а через ф — угол между в3 и направлением распространения волны. Для описания эволюции данной системы небходимо использовать релятивистски-инвариантный подход, развитый в работах [17].
Динамическое уравнение для описания эволюции V может быть записано в виде уравнения Шредингера:
■dv тт
lm = Ни-
(1)
Выражение для гамильтониана H выводится, аналогично работам [17, 18], на основе разложения по малому параметру л/l — /З2 <С 1 (¡3 — скорость нейтрино) и имеет вид
H = —ра3 — A(t)(a\ cos ф — а2 sin ф), (2)
где A(t) = —/B(t)(1 — в cos ф), B(t) — амплитуда волны, которая в нашем случае зависит от времени; ф = gwt(1 — (в/во) cos ф) — фаза волны, зависящая от ее скорости в0 в среде (в0 < 1), величины g = ±1 соответствуют двум состояниям поляризации волны; / — магнитный момент нейтрино; р = Уэф/2 — Am2e/(4E), E — энергия нейтрино, Am2 — разность квадратов масс состояний Vj и Vi, Уэф — разность эффективных потенциалов взаимодействия нейтрино со средой, в — функция вакуумного угла смешивания dvac (явный вид в для различных типов переходов vi- — Vj + можно найти, например, в работах [19]); а = (а\,а2, а3) — матрицы Паули. Используется система единиц, в которой c = h = 1.
Аналитическое решение уравнения (1) при произвольном виде функции B(t) наталкивается на серьезные математические трудности. Поэтому выясним условия возникновения параметрического резонанса в том случае, когда функция B(t) мало отличается от некоторой постоянной величины B (случай амплитудно-модулированной электромагнитной волны):
B (t) = B (1 + hf (t)), (3)
где h — малая (\h\ ^ 1) постоянная величина, знак которой будет зафиксирован ниже; f (t) — произвольная ограниченная функция времени.
Для дальнейшего исследования удобно ввести оператор эволюции V(t), который определяет состояние нейтрино V(t) в момент времени t по начальному состоянию V(0): v(t) = V(t)v(0). Исходя
из вида гамильтониана (2) и зависимости амплитуды поля от времени (3) для V(t) получаем уравнение:
V(t) = i[paз + (A + ef (t)) x (4)
x (a1 cos ф — a2 sin ф)]V(t),
где e = Ah, A = —ц,Б(1 — в cos ф). Будем искать решение уравнения (4) в виде
V (t) = Ue3 (t)Ui (t)F (t), (5)
где Ue3 (t) = exp(ia3ipt/2) — оператор вращения вокруг оси e3, а Ul(t) = exp(ialt) — оператор вращения вокруг оси l = (A, 0,р — ф/2). Везде используются базисные векторы e1;2;3, причем e3 — единичный вектор в направлении скорости нейтрино. Заметим, что U0(t) = Ue3(t)Ul(t) представляет собой решение уравнения (4) при e = 0 (см. [17]). Для неизвестного оператора F(t) на основе (4) получаем уравнение
F(t) = ieHs (t)F (t),
(6)
где
He(t) = (ay(t))f (t), yi = 1 - 2n¡ sin2(üt), (7) y2 = n3 sin(2üt), уз = 2n1n3 sin2(üt),
а n = niei + n2e2 + n3e3 = l/Q — единичный вектор, ü = |l|.
Для исследования решений уравнения (6) применим метод, изложенный в работе [18]. Используя малость параметра е, будем искать решение уравнения (6) в форме
F = £ ek F(k),
к=0
Для вероятности нейтринных переходов Vi- Vj + исходя из формул (5)—(11) получаем
р (г) = \Ы\иез (Ф-)\2 = (12)
= п2 вт2(т) + 2еп1 8\п(Ш)(х1(г) соъ(Ш) + + ПзХ2(г) 8ш(Ш)).
Для проведения дальнейшего исследования конкретизируем явный вид функции f (г). Как отмечалось в работе [11], между процессом осцилля-ций нейтрино и механическими колебаниями установлены определенные аналогии. Исходя из этого факта, выберем функцию f (г) такой
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.