ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 75. Вып. 1, 2011
УДК 539.3:534.134
© 2011 г. Л. Б. Маслов
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
ПОРОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ
Рассматриваются вопросы расчета вынужденных гармонических колебаний пористых структур, насыщенных жидкостью. Уравнения движения получены исходя из общих соотношений теории пороупругости Био и механики сплошных сред при учете анизотропии упругих и гидравлических свойств материала. На примере изгибных колебаний простой стержневой конструкции исследуется влияние механических констант материала на ее динамические характеристики.
Классическая теория упругости не может обеспечить достаточной точности при расчете динамического поведения многих природных и искусственных материалов, обладающих пористой структурой. В качестве характерных примеров можно привести насыщенные водой или другими жидкостями горные породы, пенообразные искусственные материалы, поры которых заполнены воздухом, изделия из металла и пластика, полученные спеканием под давлением, а также твердые и мягкие биологические ткани [1—3].
Исследованию колебаний легких конструкций из пористых, насыщенных воздухом материалов, посвящено довольно много работ [4]. В них, как правило, рассматривается высокочастотный диапазон возбуждения колебаний и исследуется влияние специфических аэродинамических параметров на динамический отклик пороупругой системы. Низкочастотным механическим колебаниям пороупругих тел простой формы, таким как балки и пластины, посвящено сравнительно меньше работ, в которых часто пренебрегают инерционной взаимосвязью фазовых составляющих пороупругого материала [5].
Пороупругая сплошная среда описывается моделью гетерогенного материала, одна из фаз которого — упругая пористая матрица, или скелет, а вторая — жидкость или газ, заполняющие систему пор. Определяющие соотношения и уравнения, описывающие малые упругие перемещения эффективной двухфазной среды, были сформулированы Био на основе феноменологического подхода [6]. Впоследствии уравнения Био были обобщены и дано детальное математическое описание взаимодействия фаз в смесях и гетерогенных материалах [7, 8]. Выводы балансовых уравнений, описанные ранее ([6, 9] и [7, 8]), различаются, но в конечном итоге приводят к сходным результатам.
Ниже проведено параметрическое исследование динамических характеристик пористой насыщенной жидкостью среды в виде собственных частот и параметров диссипации. Одномерные уравнения колебаний пороупругого стержня получены из общих уравнений линейной поро-упругости. Они содержат все необходимые слагаемые, описывающие взаимодействие твердой и жидкой фаз гетерогенного материала, в то время как в известных публикациях уравнения движения пороупругого стержня, как правило, представляются в значительно упрощенном виде.
1. Уравнения динамики пороупругого тела. Запишем уравнения движения элемента гетерогенной среды, применяя закон изменения количества движения отдельно для каждой фазы при учете сил межфазного взаимодействия в виде [6]
V-(1 -ф) а, + (1 -ф) Г5 + И = рпи + р12и У - фо у + фГу - И = р12и + р 22и
Р11 = (1 -Ф)Ps -Р12, Р12 = I1 -т)фру, Р22 = тфРу
(1.1)
где и а у — тензоры напряжений в твердой и жидкой фазах, И — сила межфазного взаимодействия, fs и Гу — плотности объемных сил в твердой и жидкой фазах, и и и — векторы перемещений твердой и жидкой фаз, рп, р12, р22 — частичные фазовые плотности, выражаемые через истинные плотности упругой матрицы р^ и заполняющего поры жидкого или газообразного материала р у, пористость ф и параметр искривленности поровых каналов т [9].
Как было показано [7, 8], сила И для схемы Х.А. Рахматулина силового взаимодействия и совместного деформирования фаз складывается из равновесной и диссипа-тивной составляющей:
И = -рУф + В • *; В = ф2К-1, К = к/пу, = ф(И - и) (1.2)
где р — давление поровой жидкости, В — тензор коэффициентов вязкого трения, выражаемый через тензор собственной проницаемости к и вязкость жидкости п у, w — вектор относительного движения жидкости в порах.
Отметим, что в динамических уравнениях (1.1) слагаемые в правой части, описывающие инерционное взаимодействие фаз, следуют из выражения кинетической энергии элемента гетерогенного материала и оставлены в виде, принятом в классических работах Био [6]. С другой стороны, согласно другим авторам [7, 8] эти слагаемые появляются после ряда преобразований при учете силы мелкомасштабных инерционных эффектов, которая входит в полную силу межфазного взаимодействия. Кроме того, вместо параметра искривленности поровых каналов т использовался [7, 8] коэффициент присоединенной массы % т, который, как и т, характеризует особенности структуры пористого материала и определяет инерционное взаимодействие фаз. Сравнивая уравнения (1.1) и аналогичные уравнения, приведенные ранее [7], можно получить соотношение т = (1 - ф) х т + 1.
Учитывая вид тензора напряжений в жидкости а у = -р Е и соотношение (1.2), преобразуем уравнения (1.1) следующим образом:
V- о + V = ри + р, -Ур + Гу = руи + ту\¥ + ф В • (1.3)
где а = (1 -ф) а 5 + фа у — полный тензор напряжений в точке сплошной среды, Г¥ —
полная объемная сила, р = р11 + 2р12 + р22 и ту = тф-1р у — полная и приведенная плотности.
Определяющие соотношения эффективной сплошной среды, описывающие пористый насыщенный материал, связывают полный тензор напряжений в произвольной точке среды и давление жидкости с кинематическими переменными в виде вектора перемещений упругого скелета и относительного изменения объема жидкости в порах. При использовании смешанной формулировки динамической задачи пороупру-гости относительно перемещений упругого скелета материала и давления поровой жидкости в случае анизотропии упругих и гидравлических свойств указанные соотношения удобно представить в виде
о(и,р) = Саг • •£(и) - Ар = оаг(и) - Ар (1.4)
ф, р) = А ••£ (и) + ф2Л -р (1.5)
где аЙг (и) = СЙг -г (и) — тензор напряжений в точках твердой фазы, возникающих в результате деформаций упругой матрицы материала, Сйг — тензор упругих модулей эффективной среды в дренированном состоянии (т.е. при отсутствии жидкости в порах), А — тензор Био, учитывающий вклад напряжений жидкой фазы в выражение для полного тензора напряжений двухфазной среды, д = -V ■ w — скалярная переменная, имею-
щая физический смысл относительного изменения объемного содержания жидкости в порах, Я — гидростатическая константа, характеризующая сжимаемость жидкости.
Уравнения динамики двухфазной среды (1.3) содержат вектор относительного перемещения жидкости в порах. При использовании формулировки задачи пороупруго-сти в переменных перемещение — давление необходимо перейти в динамических уравнениях к вектору перемещений упругого формообразующего скелета материала и давлению жидкости в порах. Было использовано [10, 11] преобразование Лапласа на стадии формирования динамических уравнений, что в результате приводит к соотношениям относительно отображений искомых функций: перемещений и давления. Получаемая система уравнений может быть использована непосредственно для исследования гармонических колебаний или для анализа нестационарных процессов путем применения обратного преобразования Лапласа.
Будем считать, что все необходимые начальные данные равны нулю, что естественно для задачи об установившихся колебаниях, а также принимается при исследовании многих динамических проблем. Рассмотрим преобразование Лапласа системы уравнений (1.3). Из второго уравнения (1.3) следует обобщение закона фильтрации Дарси
[1, 7]
$ = sW = -К(5) -[Ур +р^2и - Гу| К(5) = 5(2Е +5К-1)-1 (1.6)
где 5 — комплексная переменная Лапласа и введен тензор К (5) комплексной гидравлической проводимости среды, зависящий от частоты колебаний.
Исключая вектор относительного перемещения w из первого уравнения (1.3) в пространстве отображений с помощью соотношения (1.6), получим
V • а + V = 52(рЕ -руГ) • и - Г -Ур + Г • Гу; Г(5) = ру51К (1.7)
Принимая во внимание выражение для полного тензора напряжений (1.4), уравнение (1.7) удобно переписать в следующем окончательном виде:
V • о ¿г - 52 (рЕ - р уГ) • и - (А - Г) • Ур = -Гк + Г • Гу (1.8)
Используя модифицированный закон Дарси (1.6) и определяющее соотношение (1.5), после преобразований получим уравнение распределения давления жидкости в порах упругого материала
5• (К • Ур) - ф2Я- (А - Г) ■ ■£ = 5у (1.9)
Полученные соотношения (1.8), (1.9) при учете определяющего соотношения для линейного упругого материала в дренированном состоянии представляют замкнутую связанную систему уравнений в частных производных относительно изображений вектора перемещений упругого формообразующего скелета и давления жидкости в порах.
2. Уравнения изгибных колебаний пороупругого стержня. Для упрощения изложения примем естественное в постановке задачи об исследованиях вынужденных колебаний пористой упругой конструкции условие отсутствия внешних объемных сил, действующих на жидкую фазу: Гу = 0. Будем считать, что пороупругий стержень с площадью поперечного сечения 5 нагружен поперечными силами в направлении У, имеющими следующую удельную плотность распределения:
$у(х) = | ру (х,У,^, уУх = у^ = 0
5 (х)
(2.1)
При выполнении гипотезы плоских сечений в материале стержня реализуется одноосное напряженно-деформированное состояние, описываемое продольной компонентой тензора упругости <тйг(х) = аx(x)И и законом Гука аx = Ехгx. Рассмотрим случай однонаправленного расположения пор цилиндрической формы вдоль продольной оси стержня. В этом случае отсутствует проницаемость в поперечных направлениях. Если дополнительно ввести предположение, что поры имеют круговое сечение радиуса а, то можно воспользоваться простой формулой для вычисления собственной проницаемости в продольном направлении в низкочастотной области [6]
^ = фа 78, ^ = ^ = 0 (()
Следовательно, комплексные тензоры К (1.6) и Г (1.7), зависящие от тензора проницаемости К (1.2), также будут содержать только одну ненулевую компоненту:
К-х = Кх/1 + mfsKx, у х = р уяКх (23)
Сведем уравнения (1.8), (1.9) к одномерному случаю с помощью усреднения по сечению и гипотезы пло
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.