Автоматика и телемеханика, № 6, 2014
Управление в социально-экономических, медико-биологических системах
© 2014 г. А.А. АШИМОВ, акад. Национальной академии наук Республики Казахстан (ashimov37@mail.ru),
Б.Л. АЙСАКОВА, канд. техн. наук (aisakova_b@mail.ru), Р.А. АЛШАНОВ, д-р. экон. наук (AlshanovRA@yandex.ru), Ю.В. БОРОВСКИЙ, канд. физ.-мат. наук (yuborovskiy@gmail.com), Н.Ю. БОРОВСКИЙ (nborowski86@gmail.com), (Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева, Алматы), Д.А. НОВИКОВ, чл.-корр. РАН (novikov@ipu.rssi.ru) (Институт проблем управления РАН им. В.А. Трапезникова, Москва), Б.Т. СУЛТАНОВ (sultanov_bt@pochta.ru), (Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева, Алматы)
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА НА БАЗЕ НЕАВТОНОМНЫХ ВЫЧИСЛИМЫХ МОДЕЛЕЙ ОБЩЕГО РАВНОВЕСИЯ
Изложены некоторые результаты обобщения теории параметрического регулирования на классы неавтономных непрерывных и дискретных динамических систем. Приведены утверждения о существовании решений ряда задач вариационного исчисления и о непрерывной зависимости критериев эффективности от неуправляемых функций. На примере вычислимой модели общего равновесия (Computable General Equilibrium model - CGE модели) отраслей экономики проиллюстрирована эффективность применения предложенного метода параметрической идентификации большеразмерных математических моделей. На базе CGE модели отраслей экономики проведен анализ источников экономического роста и продемонстрирована эффективность подхода теории параметрического регулирования для обоснования государственной политики в сфере экономического роста.
1. Введение
На сегодняшний день математические модели широко используются для макроэкономического анализа [1, 2] и решения задач экономического регулирования [3, 4].
В [5-8] для моделей автономных динамических систем предложена теория параметрического регулирования для оценки рациональных значений инструментов в сфере государственной экономической политики.
На практике открытая национальная экономика эволюционирует в условиях влияния внешних и внутренних факторов, моделируемых с помощью векторных функций времени. Это обусловливает необходимость как описания эволюции национального хозяйства неавтономными динамическими системами, так и соответствующего развития теории параметрического регулирования.
В настоящей работе содержатся некоторые результаты развития теории параметрического регулирования на классы непрерывных и дискретных динамических систем и иллюстрация развитых положений на примере дискретной неавтономной СОЕ модели отраслей экономики.
В данном разделе приводятся результаты по развитию теории параметрического регулирования в рамках двух ее компонентов: методов оценки оптимальных значений экономических инструментов и методов исследования влияний неуправляемых факторов на результаты решения задачи выбора оптимальных значений этих инструментов.
2.1. Условия существования решения задачи параметрического регулирования непрерывной системы и условия непрерывной зависимости оптимальных значений критерия
Рассмотрим непрерывную управляемую систему (содержательные экономические интерпретации см. в [5-8] и ниже)
где £ - время;
х = х(£) = (ж1(£),... , хт(г)) - вектор-функция состояния системы; и = и(г) = (и1 (г),... ,и,4(¿)) - вектор-функция управления; а = а(г) = [а1 (£),..., а5(г)) - известная вектор-функция; хо = (хЦ,... ,хт) - начальное состояние системы, известный вектор; / - известная вектор-функция своих аргументов.
Задача выбора оптимальных значений экономических инструментов заключается в нахождении экстремума следующего критерия:
2. Элементы теории параметрического регулирования на базе неавтономных динамических систем
(1) (2)
х(£) = /(х(г),и(г),а(г)), г е [0,т],
х(0) = х0,
т
(3)
о
где ^ - известная функция при фазовых ограничениях
(4)
х(г) е X(г), г е [0,т],
X(г) - заданное множество и при явных ограничениях на управление: (5) и(г) € и (г), г € [0,Т],
и (г) - заданное множество.
Сформулируем задачу вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования для непрерывной динамической системы.
Задача 1. При известной функции а(-) найти управление и(), удовлетворяющее условию (5), чтобы соответствующее ему 'решение динамической системы (1), (2) удовлетворяло условию (4) и доставляло максимум (минимум) функционалу (3).
Определим для фиксированных г € [0, Т] и х € X(г) множество = = {/(х,-ш, а(г))|ш € и (г)} в Обозначим через Уа множество допустимых пар «состояние - управление» рассматриваемой системы при заданной известной функции а(-), т.е. таких пар вектор-функций (х,и), которые удовлетворяют соотношениям (1), (2), (4), (5). Пусть В есть единичный шар с
центром в начале координат в Лт; X есть замыкание множества и X(г);
гф,т ]
и - замыкание множества и и (г). Пусть множество возможных значе-
*е[0,т ]
ний функции а(-) принадлежит некоторому множеству А С Л5. Доказательства следующих двух утверждений основаны на результатах главы 8 монографии [9].
Утверждение 1. Пусть функция А(-) непрерывна на отрезке [0,Т], и - компакт в Яя, функция / непрерывна в X х и х А и для любого р ^ 0 существует такое а ^ 0, что справедливо неравенство
|/(х, и, а(г)) — /(х',и, а(г))| ^ а |х — х'| , х,х' € рВ, и € и, и существует такая константа п ^ 0, что справедливо неравенство
|х/(х, и, а(г))| < п (1 + |х|2) ^ € [0,Т], х € Кт, и € и.
Пусть X - компакт, функция ^ непрерывна на [0,Т] х X. Пусть, кроме того, отображения г — X (г), г — и (г) являются непрерывными для г € [0, Т] в следующем смысле: если справедливы включения Xk € X(г*), Uk € и (г*), где г и € [0,Т ], к = 1, 2,... и имеет место сходимость последовательностей г* — г, х* — х, и* — и, то справедливы включения х € X(г), и € и (г). Тогда в случае непустоты множества Уа и выпуклости множества Г4;Ж для всех г € [0,Т], х € X(г) задача 1 имеет решение в классе измеримых функций.
Будем рассматривать неуправляемые функции а(-) в выражении (1) в виде элементов пространства непрерывных вектор-функций В = (С[0, Т])5. Достаточные условия непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи 1 от неуправляемых функций а(-) устанавливает
Утверждение 2. Предположим, что при выполнении условий утверждения 1 в некоторой окрестности точки а0 в в функция / непрерывна по второму аргументу и удовлетворяет условию Липшица по первому и третьему аргументам на X х А равномерно по второму аргументу. Тогда оптимальное значение критерия (3) для задачи 1 непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке а0.
Перейдем теперь к аналогичному исследованию дискретной неавтономной динамической системы.
2.2. Условия существования решения задачи параметрического регулирования дискретной системы и условия непрерывной зависимости оптимальных значений критерия
Рассмотрим дискретную управляемую систему
(6) х(г + 1) = /(х(г),и(г),а(г)), г = 0,...,п-1;
(7) х(0) = хо,
где £ - время, принимающее неотрицательные целочисленные значения;
х = х(г) = (х1(г),...,хт(г^ - вектор-функция состояния системы дискретного аргумента;
и = и(г) = (и1(г),...,и9(г)) - управление, вектор-функция дискретного аргумента;
а = а(£) = (а1 (£),..., а5(г)) - известная вектор-функция дискретного аргумента;
хо = (хЦ,... ,х^) - начальное состояние системы, известный вектор; / - известная вектор-функция своих аргументов.
Задача выбора оптимальных значений экономических инструментов заключается в нахождении экстремума критерия
п
(8) К = ^ ^ [г, х(г)] ^ шах(шт),
4=1
где ^ - известная функция, при фазовых ограничениях на решения системы
(6), (7),
(9) х(г) еX(г), г = 1,...,п,
где X(г) - заданное множество, и ограничениях на управление
(10) и(г) е и (г), г = 0, ...,п -1,
где и (г) - заданное множество.
Сформулируем задачу вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов параметрического регулирования для дискретной динамической системы.
Задача 2. При известной функции а(-) найти управление и( ), удовлетворяющее условию (10), чтобы соответствующее ему 'решение динамической системы (6), (7) удовлетворяло условию (9) и доставляло максимум (минимум) функционалу (8).
Обозначим через Уа множество допустимых пар «состояние - управление» рассматриваемой системы при заданной известной функции а(-), т.е. таких пар вектор-функций (х,и), которые удовлетворяют соотношениям (6), (7),
п п-1
(9), (10). Введем обозначения: X = и X (г), и = и и (г).
4=1 4=0
Справедливы следующие два утверждения, доказательства которых основаны на использовании свойств непрерывных функций и, в частности, на использовании свойств функций, непрерывных на компакте.
Утверждение 3. Предположим, что при известной функции а(-) множество Уа не пусто; множества X (г) и и (г — 1) замкнуты и ограничены для всех г = 1,...,п; функция / непрерывна по первым двум аргументам на множестве X х и, а функция ^ непрерывна по второму аргументу на множестве X. Тогда задача 2 имеет решение.
Будем рассматривать неуправляемые функции а(-) в (6) в виде элементов евклидова пространства
Утверждение 4. Пусть при выполнении условий утверждения 3 для любых значениях а е А ( где А - некоторое открытое множество в евклидовом пространстве Е5) функция / непрерывна по третьему аргументу в А и удовлетворяет условию Липшица по первому аргументу в X равномерно по второму и третьему аргументам в и х А. Тогда оптимальное значение критерия для задачи 2 непрерывно зависит от неуправляемой функции а(-), принимающей значения в А.
Проиллюстрируем теперь полученные свойства решений задач параметрического регулирования на подклассе вычислимых моделей общего равновесия (СОЕ моделях).
3. Пример. Анализ источников развития и решение задачи экономического роста на базе ОСБ модели отраслей экономики
3.1. Представление ОСЕ моделей
Рассматриваемые СОЕ модели, в том числе СОЕ модель отраслей экономики, в общем виде представляются с помощью следующей системы соотношений [10].
1. Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для двух последовательных лет:
(11) х1(г +1) = /1(х1(г),х2(г),хз(г),и(г),а(г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.