КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, том 53, № 4, с. 353-359
УДК 531.36:534.1
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ МАНЕВРИРОВАНИЕМ КОСМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ © 2015 г. С. П. Безгласный, Е. Е. Пиякина
Самарский государственный аэрокосмический университет им. акад. С.П. Королева (Национальный исследовательский университет) bezglasnsp@rambler.ru, snait2009@yandex.ru Поступила в редакцию 21.10.2013 г.
Рассматривается плоское движение космической тросовой системы (КТС), моделируемой невесомым стержнем с двумя закрепленными массами на его концах и с перемещающейся вдоль стержня третьей массой. Получено уравнение маятникового управляемого движения рассматриваемой системы на эллиптической орбите. Исследуются задачи о параметрическом управлении, переводящем КТС из одного устойчивого радиального положения равновесия в другое и стабилизирующем по отношению к плоским возмущениям двух диаметрально противоположных положений относительного равновесия КТС на круговой орбите. Управлением является непрерывный закон движения подвижной массы вдоль троса по принципу качелей. Решение получено в замкнутом виде на основе второго метода классической теории устойчивости с построением соответствующих функций Ляпунова. Асимптотическая сходимость решений подтверждена результатами численного моделирования движения системы.
DOI: 10.7868/S0023420615040020
В настоящее время разрабатывается ряд проектов межпланетных полетов, которые помимо использования современных реактивных двигателей различного типа нуждаются в поиске более эффективных энергоемких способов перемещения в космическом пространстве. Одним из перспективных направлений считается изучение возможностей использования космических тросовых систем (КТС), под которыми понимают связку двух КА, соединенных тросом длиной в десятки или сотни километров. Идея первой КТС для создания искусственной гравитации на КА была предложена Циолковским К.Э. [1]. Начало практического использования тросовых систем в космосе связано с трудами итальянского ученого Дж. Коломбо (например, [2] и др.), предлагающими разные варианты КТС для решения задач космонавтики и позволившими выполнить в дальнейшем ряд важных летных экспериментов. Теоретически динамика КТС исследовалась во многих работах российских и зарубежных авторов, наиболее полные результаты с обширной библиографией изложены в [3, 4]. Задачи одновременной транспортировки грузов тросовыми системами без изменения количества движения системы, которые дают теоретическую возможность доставлять полезный груз на более высокую орбиту и одновременно понижать орбиту другого груза, например, космического мусора, без затрат энергии, обсуждались в работах [5—8]. Основу та-
кого маневра должны составлять одна или несколько постоянно действующих КТС, которые работают по принципу пращи. Ниже на рис. 1 приведена схема доставки груза т2 с околоземной на более высокую орбиту. А именно, груз т2 прикрепляется к свободному концу троса, на противоположном конце которого есть противовес т1 вообще говоря массы большей, чем т2. Потом центр масс КТС движется по своей орбите, и одновременно происходит диаметральный разворот КТС в плоскости орбиты на угол я, после чего происходит отделение груза т2, и он продолжает движение по более высокой орбите. Параметры транспортной системы рассчитываются так, что-
Рис. 1
6
353
Рис. 2
бы орбиты космических объектов сопрягались должным образом в точках контакта. В работе [5] обозначен ряд задач динамики космической пращи, решения которых необходимы для ответа на вопрос о возможности реализации подобных транспортных тросовых систем, одна из которых — выбор способов и алгоритмов управления маятниковыми движениями КТС относительно ее центра масс в плоскости орбиты.
В данной работе изучаются управляемые плоские движения космической тросовой системы под действием параметрического управления за счет изменения инерционных характеристик системы. Исследуются задачи о гравитационной стабилизации по отношению к плоским возмущениям положения относительного равновесия КТС на круговой орбите и ее переориентации путем периодических перемещений точечной массы вдоль троса по принципу действия качелей. Качели обычно моделируются одномассовым [9, 10] или двухмас-совым [11—13] маятником переменной длины и могут использоваться для решения прикладных задач. Так, в работе [14] принцип действия качелей применен для осуществления орбитального маневрирования центра масс спутника, в работе [15] двухмассовая модель качелей используется для решения задачи о гравитационной стабилизации и переориентации спутника на круговой орбите. В настоящей статье КТС представляет собой две точечные массы, соединенные невесомым тросом, вдоль которого может перемещаться третья точечная масса. Движение центра масс КТС происходит по орбите под действием сил центрального ньютоновского притяжения. Управле-
нием является расстояние от общего центра масс двух концевых грузов до третьего подвижного груза. Закон управления КТС реализуется посредством непрерывного изменения этого расстояния, являющегося функцией фазового состояния. Непрерывность закона управления позволяет на основе классической теории устойчивости исследовать асимптотическую устойчивость и неустойчивость по отношению к плоским возмущениям различных плоских движений КТС относительно её центра масс. Решение проведено аналитически путем построения соответствующей функции Ляпунова.
1. УРАВНЕНИЕ МАЯТНИКОВОГО ДВИЖЕНИЯ КТС С ПОДВИЖНОЙ МАССОЙ
Рассмотрим движения КТС относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле с центром в точке О. Примем обычные предположения [3] о независимости движения центра масс КТС от ее движения относительно центра масс. Система представляет собой невесомый трос, моделируемый неупругим стержнем, на концах которого закреплены противовес — точечная масса т1, и полезный груз — точечная масса т2. Вдоль троса может перемещаться подвижная масса — точечный груз массы т3 (рис. 2). Центр масс противовеса и полезного груза лежит в точке О1. Обозначим через I и d расстояния от точки О1 до груза т3 и до центра масс О2 всей КТС соответственно. Для них будет справедливо соотношение
(т1 + т2) й = т3(1 - й). (1.1)
Орбитальная система координат 02ХУ1 выбрана так, что ось 02X направлена по орбитальной касательной, ось 02У перпендикулярна плоскости орбиты, ось 022 дополняет систему координат до правой тройки. Оси связанной с КТС системы координат 0ххуг совпадают с главными центральными осями инерции системы. Ориентация связанной системы координат относительно орбитальной задается при помощи углов Эйлера у, 9, ф.
Пусть В1 = 0, А1 = С1 = тт2 £2 — главные цен-
т1 + т2
тральные моменты инерции КТС без подвижной массы, где Ь — длина всего троса.
Выведем уравнение плоского движения КТС с подвижной массой вокруг общего центра масс. Из соотношения (1.1) имеем:
й =-т3--. (1.2)
т1 + т2 + т3
Моменты инерцииВ2, С2 КТС с подвижным грузом относительно осей, проходящих через центр масс КТС О2 и параллельных соответствен-
но осям жестко связанной с тросом системы координат O1xyz в силу (1.2) задаются равенствами:
^ ,2 (m + m2)m3 ,, B2 = 0, A2 = C2 = A1 + ml , m = ^-(1.3)
m1 + m2 + m3
Известно [3], что существуют плоские маятниковые движения КТС как вырожденного осесим-метричного тела с нулевым моментом инерции B2 = 0, у = я, 0 = п/2, r = ф + "V, p = q = 0 относительно центра масс на эллиптической орбите под действием гравитационного момента
2 2 3
Mz = -3n k1 k2 A2 sin фcos ф,
k1 = (1 - e2)k2 = 1 + ecos v,
где p, q, r — компоненты угловой скорости вращения КТС, точка обозначает производную по времени, n = const > 0 — среднее движение центра масс КТС, V — истинная аномалия, e — эксцентриситет орбиты, Mz — гравитационный момент относительно оси, проходящей через точку O2 и перпендикулярной плоскости орбиты. С учетом равенства (1.3) кинетический момент системы имеет вид
Kz = C2r = (A1 + ml 2)(ф + V).
Тогда на основании теоремы об изменении кинетического момента уравнение плоских движений системы с подвижной массой запишется следующим образом:
(A + ml )(( + v) + 2ml/(( + v)
2 2 3
= -3n k1 k2A2sin ( cos (,
(1.4)
где / = /(ф, ф). Выбрав истинную аномалию в качестве новой переменной согласно равенству
v = nk1k2,
(1.5)
2 2 2 3
l = l'nk1k2, v = -2n ek1 k2 sin v.
В итоге уравнение плоских движений КТС с подвижной массой на кеплеровской орбите под действием гравитационного момента с учетом соотношений (1.5)—(1.7) запишется в виде:
(
^ф" + 2
mll'
k2 - e sin v
Л л2
^A1 + ml -3sinфcosф + 2esinv -
ф
У
2mll'
(1.8)
A1 + ml
k,.
22
При движении по круговой орбите (е = 0, к2 = 1) уравнение (1.8) имеет вид:
ф" = -2-
mll'
¡■(ф' + 1) - 3sinфcosф. (1.9)
запишем первую и вторую производные для величины ф = ф(?) в силу (1.5)
ф = ф'л&!&2, ф = л2&2&23 [ф" - 2e sin vф'], (1.6)
где штрихом обозначена производная по v. Тогда справедливы равенства
А1 + т/
Заметим, что уравнение (1.8) совпадает с соответствующим уравнением плоских движений осе-симметричного спутника на эллиптической орбите, полученным в работе [15], если в нем положить В = 0. Кроме того, отметим, что хотя в [15] уравнение плоских движений спутника было выведено в предположении малости подвижной массы по сравнению с массой самого спутника, на самом деле они остаются справедливыми при любых значениях масс.
2. УРАВНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ ДВИЖЕНИЙ КТС
Применим принцип действия качелей (плоского маятника переменной длины) для решения задач об управлении движениями КТС. В частности, необходимо осуществить раскачку тросовой системы, перевод ее из окрестности положения относительного равновесия ф = ф' = 0 в диаметрально противоположное и о возможности гравитационной стабилизации по отношению к плоским возмущениям системы на круговой орбите в окрестностях положений равновесий ф = ф' = 0 и Ф = п, ф' = 0. Управлением будем считать расстояние от О1 до подвижной массы т3, являющееся непрерывной функцией вектора фазового состояния:
/ = /(Ф, Ф) (2.1)
Сначала поставим и решим задачу об асимптотическом успокоении плоских колебаний КТС относительно поло
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.