АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2009, том 55, № 4-5, с. 557-564
УДК: 534.26
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ СДВИГОВЫХ ВОЛН В МЯГКИХ УПРУГИХ СРЕДАХ
© 2009 г. М. А. Миронов, П. А. Пятаков, И. И. Конопацкая, Г. Т. Клемент*, Н. И. Выходцева*
Акустический институт им. Н.Н. Андреева 117036 Москва, ул. Шверника, 4 E-mail: mironov@akin.ru * Department of Radiology, Brigham and Women's Hospital, and Harvard Medical School, 75 Francis Street, Boston, MA 02115, USA E-mail: Natalia@bwh.harvard.edu Поступила в редакцию 9.02.09 г.
Обсуждается один из возможных механизмов разрушения мягких упругих сред ультразвуком. В рамках модели трехволнового взаимодействия в твердом теле рассмотрена генерация сдвиговых волн продольной звуковой волной в твердом теле с малым модулем сдвига. Даны численные оценки порога возбуждения сдвиговых волн в биологических тканях. Поскольку длина генерируемых сдвиговых волн мала, сдвиговые напряжения могут оказаться достаточными для разрушения структуры биологической ткани. Приведены результаты модельных экспериментов.
Ключевые слова: параметрическая неустойчивость, сдвиговые волны, мягкие упругие среды, биологические ткани.
PACS: 43.25.Dc, 43.25.Lj, 43.35.Cg, 43.80.Gx
Интерес к сдвиговым волнам в мягких упругих средах (soft solids) оживился после выхода работ [1, 2]. В этих работах было предложено использовать в эластографических исследованиях биологических тканей сдвиговые волны, генерируемые модулируемым радиационным давлением фокусируемого ультразвука. Сила радиационного давления, вызванная поглощением или рассеянием в фокальной области излучателя, модулируемая с низкой частотой, является источником сдвиговых волн, уходящих от фокальной области. По скорости распространения сдвиговых волн можно определить модуль Юнга ткани, характеризующий ее состояние. К настоящему времени имеются десятки работ, посвященных этому методу, получившему название соноэластография (см. напр. [3]). Из последних работ можно отметить [4], в которой продемонстрирована возможность регистрировать даже неоднородности модуля сдвига, вызванные нагревом.
Нелинейные взаимодействия волн в этих средах также рассмотрены весьма подробно. В отличие от жидкостей, где возможно взаимодействие только продольных волн между собой, в упругих средах могут происходить также взаимодействия с участием сдвиговых волн.
Для пятиконстантной теории упругости изотропной среды [5], в которой учитывается только квадратичная нелинейность, уравнения, описы-
вающие все возможные взаимодействия между волнами, получены в [6]. Классификация взаимодействующих волн и условия, накладываемые на частоты и волновые числа, при выполнении которых возможно взаимодействие плоских волн (резонансные условия), найдены в [7]. Там же методом малых возмущений вычислены рассеянные поля, порождаемые пучками взаимодействующих волн. Нелинейные процессы в сдвиговых полях, где нелинейность может быть только нечетной, рассматривались теоретически в [8] (получены уравнения для пучка сдвиговых волн с учетом нелинейности и параболической поперечной диффузии) и в [9], где предложено самоподобное преобразование и рассмотрена самофокусировка в приближении геометрической акустики. В [10] предложена модификация записи потенциальной энергии деформации, позволяющая разделить вклады всестороннего сжатия и сдвига. Пучки сдвиговых волн линейной и эллиптической поляризаций рассмотрены теоретически в [11]. Экспериментально двухчастотное взаимодействие сдвиговых волн наблюдалось в [12]. В [13] наблюдались как двухчастотное взаимодействие, так и генерация нечетных гармоник в плоских волнах, а в [14] зафиксировано образование сдвиговых ударных волн при числе Маха относительно скорости поперечной волны около 0.4. Нако-
Рис. 1. Диаграмма распада продольной (звуковой)
волны на две сдвиговые.
нец, в [15] сделана попытка определить нелинейные модули с помощью измерения зависимости скорости распространения поперечных волн от статических деформаций образца мягкой упругой среды. Там же получены выражения, связывающие скорость поперечных волн с константой А пятиконстантной теории упругости.
В настоящей работе рассмотрено взаимодействие волн в мягких упругих средах, на которое в литературе не обращено должного внимания, а именно — распад продольной звуковой волны на две сдвиговые. Это — частный случай взаимодействия продольной и сдвиговой волн, в результате которого генерируется поперечная волна. В таблице разрешенных взаимодействий работы [7] этому взаимодействию соответствует пятая строка. На рис. 1 изображена диаграмма взаимодействия. Первичная звуковая волна с волновым вектором к0 и частотой ю0 распадается на две сдвиговые волны с волновыми числами к12 и частотами 2. Волновые вектора и частоты удовлетворяют равенствам:
к0 = к1 + к2; ш0 = ш1 + ш2. (1)
Особенность мягких упругих сред состоит в том, что скорость поперечных волн в них на два — три порядка меньше скорости продольных (звуковых) волн. Вследствие этого модули волновых векторов генерируемых сдвиговых волн существенно больше, чем у исходной звуковой волны и, следовательно, они распространяются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения звуковой волны. Главная цель работы — обратить внимание специалистов в области медицинской и биологической акустики на этот механизм передачи энергии звука в мелкомасштабные колебания среды как на альтернативный тепловому и кавитационному механизмам воздействия ультразвука на биологические среды.
Принято считать, что разрушение биологических тканей в ультразвуковом поле вызвано или их нагревом, или кавитацией. Однако высказывалось также предположение, что ультразвук может воздействовать разрушительно механическим образом [16—19]. Отсутствие кавитации в работах [16—18] обеспечивалось за счет повышенного статического давления. Обзор различных эффектов, которые могут быть существенны для биологического воздействия УЗ, можно найти в [20], главы 12, 13.
Гистологические наблюдения, проведенные одним из авторов настоящей работы (Н.И. Выход-цевой) [21], и ряд других работ заставляют вернуться к поиску альтернативных механизмов разрушения, вызываемых ультразвуком (УЗ). На рис. 2 в качестве примера воздействия УЗ приведены гистологические срезы мозговой ткани кролика, подвергнутой воздействию фокусированного УЗ с разными параметрами. Слева — гомогенизированная ткань после воздействия фокусированным УЗ (суммарная излучаемая мощность 360 Вт, частота 1.63 МГц, длительность отдельного импульса 0.005 с, частота повторения импульсов 2 Гц, полная продолжительность воздействия 10 с); справа — кавитационные повреждения, получаю-
Рис. 2. Гистологические срезы мозговой ткани кролика, подвергнутой (in vivo) воздействию фокусированного УЗ с разными параметрами. Слева — гомогенизированная ткань после воздействия фокусированным УЗ (суммарная излучаемая мощность 360 Вт, частота 1.63 МГц, длительность импульса 0.005 с, частота повторения импульсов 2 Гц, полная продолжительность воздействия 10 с); справа — кавитационные повреждения, получающиеся при примерно вдвое большей мощности УЗ.
щиеся при примерно вдвое большей мощности УЗ. Детальное описание см. в [22].
В настоящее время последовательных объяснений нетепловых, бескавитационных разрушений ткани в ультразвуковом поле нет. Сдвиговые волны, порождаемые звуком при распадном взаимодействии, можно рассматривать как возможную причину чисто механического, некавитаци-онного разрушения ткани.
Расчет трехволнового взаимодействия с участием одной продольной и двух сдвиговых волн можно было бы провести с помощью формул, полученных в [7]. Однако ниже используется упрощенный подход, учитывающий, что в мягкой упругой среде длина звуковой волны существенно превосходит длину сдвиговых волн. Это позволяет не учитывать пространственную структуру звуковой волны и считать, что сдвиговые волны распространяются в среде, в которой давление, или же одноосная деформация, или напряжение, испытывают во времени периодические изменения, синхронные во всех точках пространства. Еще одно упрощение состоит в пренебрежении изменением плотности среды.
Записываем волновое уравнение для смещения u(r, t) в сдвиговых волнах, учитывая зависимость модуля сдвига от давления:
d
Ро du -Ц(0ДЙ = 0. (2)
dt
Модуль сдвига ц зависит от давления p(t):
^(t) = ц о[ 1 + ap(t)], (3)
a — некоторая положительная константа, описывающая эту зависимость. Отметим, что вместо зависимости от давления можно было бы ввести зависимость от одноосного напряжения, имея в виду использовать результаты работы [15].
Обратное влияние поперечных волн на звук не учитывается, иными словами, считается, что давление p(t) задано. Не выходя за рамки квадратичного приближения, уравнение (2) можно переписать в виде:
д 2и ,.чд 2и
Ро~1 - ИоЛ" = РoUp(t)—j.
dt dt
(4)
Задаем звуковое давление в виде гармонической плоской бегущей волны с амплитудой Р0, частотой ю0 и волновым вектором к0:
p = P0 sin(w0t - k0 ■ X)
(5)
и, в соответствии с теорией резонансного трехволнового взаимодействия, ищем сдвиговое поле в виде пары бегущих волн с одинаковыми,
(6)
меняющимися во времени, амплитудами: й(?, X) = А(?) ■ ^п^? - к1 ■ X) + +8Ш(ю2: - к2 ■ х)].
Частоты и волновые числа удовлетворяют условию синхронизма (1).
Далее используем метод малых возмущений — перемножаем (5) и вторую производную по времени (6) и подставляем в правую часть (4), которую рассматриваем в качестве добавочного источника, генерирующего дополнительное сдвиговое поле. После перемножения тригонометрических функций получим разность косинусов с суммарными и разностными частотами ю0 ±ю12 и волновыми
числами к12. Учитывая условие (1), оставляем в правой части только разностные, синхронные с левой частью уравнения (4) слагаемые:
д 2" " Роар —й2 = РоаРо' А ■ {ю12ео8(ю2? -
д? (7)
-к2 ■ х) + ю2 ео8(ю1? - к1 ■ х)}.
Еще больше упростим выкладки, считая, что волновое число звуковой волны по модулю значительно меньше (в сто—тысячу раз) волновых чисел сдвиговых волн. Тогда ю1 = ю2 = 1 ю0 и формула (7) переписывается в виде:
р0ардйт = р0аР0 • Аю12{ео8(ю2? -д?
- к2 • х) + ео8(ю1? - к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.