ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 420, № 4, с. 459-462
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
ПАРАМЕТРИКС, АСИМПТОТИКА ЯДРА И РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ СЛЕД ДИФФУЗИОННОЙ ПОЛУГРУППЫ
© 2008 г. С. А. Степин
Представлено академиком В.П. Масловым 23.11.2007 г. Поступило 24.12.2007 г.
Цель настоящей работы - установить связь па-раметрикса параболического уравнения
^ = 1 Аи + V( x) и д t 2
(1)
метод параметрикса. Другое представление интегрального ядра полугруппы ехр(гН) основано на использовании формулы Троттера для операторной экспоненты и приводит (см. [1]) к формуле Фейнмана-Каца
с представлением его фундаментального решения р^х, у, г) в форме континуального интеграла, применить эту связь к вычислению коэффицен-тов асимптотического разложения ру(х, у, г) при г X 0 и получить оценки регуляризованного следа
полугруппы ехр(гН), где Н = Н0 + V = ^ + V(x) - соответствующий оператор Шредингера.
1. Для построения фундаментального решения уравнений указанного типа обычно применяется
exp (tH) f(x) = J f (ffl(t))exp I J V(ffl(s)) ds
d|x(ffl). (2)
Здесь ю(г) - параметризация пути, начинающегося в точке х = ю(0), а интеграл берется по всем таким путям относительно соответствующей меры Винера цх, которая однозначно определяется заданием конечномерных распределений набора
значений (ffl(i1), ffl(i2), именно
.., ffl(tm)}, ti < t2 < ... < tm, a
d| (ю: ю( tj) = Xj) =
= Po(x, x 1, tl)p0(x1, x2, t2 — tl) • • • p0(xm - 1, xm, tm — tm - 1) dxl dx2- • • dxn
Представление фундаментального решения в виде (2) находит разнообразные приложения в задачах спектральной геометрии и математической физики. Особую роль в этом контексте играет вопрос об асимптотическом поведении интегрального ядра полугруппы ехр(гН) при г X 0. В случае оператора Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии асимптотика фундаментального решения, главный член которой был найден в [2], определяет важные характеристики и параметры данного многообразия (см. [3]). С помощью представления Фейнмана-Каца ниже получено полное асимптотическое разложение
Pv (х, у, г) ~ ро (х, у, г к 1 + ^ спгп к г X 0, (3)
^ п = 1 '
и предложен конструктивный способ вычисления коэффициентов сп(х, у). На этом пути удается также вывести асимптотическое разложение ядра резольвенты оператора Н по обратным степеням спектрального параметра (ср. [4]).
Указанный подход позволяет для определенного класса потенциалов V(x) устанавливать ядер-ность разности экспонент ехр(гН) - ехр(гН0) и исследовать асимптотическое поведение соответствующего регуляризованного следа при больших значениях г. Асимптотика следа Тг(егН -
в'Н<0) при г X 0 также была предметом интенсивных исследований (см. [5, 6]). Обстоятельный обзор результатов и методов теории регуляризованных следов, в котором основное внимание уделено операторам с дискретным спектром, содержится в [7]. В настоящей работе получены весьма точные двусторонние оценки регуляризованного следа полугруппы ехр(гН) и изучено его асимптотическое поведение при г ^ ^ в случае самосопряженного оператора Шредингера Н с суммируемым потенциалом, когда непрерывный спектр запол-
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова University in Biaiystok, Poland
няет полуось. Для простоты изложения будет рассматриваться случай трехмерного фазового пространства. Сформулированные здесь результаты естественным образом распространяются на случай пространства произвольной размерности.
2. В рамках метода параметрикса ядро рУ(х, у, г) ищется в форме
ру(х, у, г) = рс(х, у, г) +
г
+ Л Ро(5)qу, г - 5)^ ds. (4)
0 к3
Здесь ро(х, у, г) = —Цд ехр Г-* ^ 1 - фунда-(2п г) V 2г )
ментальное решение уравнения теплопроводности (т.е. интегральное ядро ехр(гН0)), функция q(x, у, г) является решением уравнения
(I - А) q(х, у, г) = У( х)ро (х, у, г),
где
ру (х, у, г) =
А: /(х, г) ^ 11 У(х)ро(х, у, г - 5)/(у, 5)dyds,
0 и3
= | ехр | У(ю(5))ds
d|Х, у (ю),
(6)
где интегрирование ведется по множеству путей ю(5), соединяющих точки ю(0) = х и ю(г) = у, относительно соответствующей условной меры Винера d|Х, у (ю) = 5(ю(г) - у^|х(ю).
Первое слагаемое в представлении (4), (5) интегрального ядра ру(х, у, г) оператора егН имеет вид
ро(х, у, г) = |d|Х,у(ю),
второе слагаемое в разложении параметрикса может быть записано в форме
и может быть найдена методом последовательных приближений:
q(х, у, г) = (I + А + А2 + ...)У(х)ро(х, у, г). (5)
Возникающее при этом представление интегрального ядра ру(х, у, г) нетрудно получить из формулы Дюамеля
г
гН гНо , Г 5Нот, (г-5)Н ,
е = е + I е Уе ds,
а схема параметрикса (4), (5) построения фундаментального решения фактически совпадает с известной процедурой построения полугруппы ехр(гН) в виде ряда
ехр (гН) = £ ип(г), ио(г) = ехр(гНо),
п = о
ип + 1 (г) = I ио(5) Уип(г - 5)ds.
о
Теорема 1. Для произвольной комплексно-значной непрерывной ограниченной функции У(х) имеет место равенство
|||У(ю(5))ds d|Х,у(ю);
V о ;
аналогично (п + 1)-е слагаемое из разложения (4), (5) преобразуется к виду
(г 1п ^|| |У(ю(5))ds d|Х,у(ю).
Подстановка полученных выражений для соответствующих слагаемых в разложение (4), (5) приводит к формуле (6).
3. Представление фундаментального решения в виде винеровского интеграла по траекториям дает конструктивный способ нахождения коэффициентов полного асимптотического разложения ядра рУ(х, у, г) при г X 0. Предлагаемая ниже процедура отыскания этих коэффициентов представляет собой алгоритм, включающий вычисление интегралов от потенциала У и его частных производных по отрезку, соединяющему точки х и у, и подсчет моментов гауссовской меры вида
Ек(51, 52, •••, 5т) =
1
(2 п)
т/2
(deta1■,■) х
V Г Г К1 К2 кт„ п( 1 Ц Л Я
X | •'' | Х1 Х2 • * * Хт ехр I —2 а ХХ I &Х1 иХ2 • • • &Хт,
к к
где к = (к1, к2, ..., кт) - мультииндекс, ац = шт{5;, - и а1ц - элементы матрицы, обратной к ац.
Имея в виду исследовать асимптотическое поведение ядра рУ(х, у, г) при г X 0, перепишем представление фундаментального решения из теоремы 1 в подходящей для этих целей форме. Как известно,
мера |Х, у (ю) сосредоточена на броуновских траекториях ю(5), выходящих из х = ю(0) и приходящих в
о
ПАРАМЕТРИКС, АСИМПТОТИКА ЯДРА
461
y = o>(i). Указанные траектории суть реализации трехмерного винеровского процесса
ш(s) = [1- s) X + s y s),
где Ь(т) = (bx(x), Ь2(т), Ь3(т)) - так называемый броуновский мост, компоненты которого представляют собой реализации независимых гауссовских процессов с нулевым средним и ковариацией (корреляционной функцией)
cov{bi(s), bj(t)} = (min{s, t} - st)bij.
В соответствии с этим формула (6) принимает (см. [8]) вид
X Е
pv(X, y, t) = Po(X, y, t) X
expJtJ V ( x + (y - x)s + Vb(s)) Ids
c
n 1
n = X X J i i dXl V(s 1) )dsi x
m = 1 а + ß + у = к o
|к| = 2(n - m)
xj3xa; эх:э x2 v(^( s2)) ds2 • j э Xm dXm д xmmv (^ sm ))x
oo
ХФаРу(s1, s2, •••> sm)dsm,
где ^(s) = X + (y - x)s, а вес OapY(s1, s2, ..., sm) задается выражением
^aßy(s1, s2, •••, sm)
m
П
j=1
1
а;!ß ;!y !
гера Н = Н0 + V благодаря тому обстоятельству, что р^х, у, г) и у, X) связаны преобразованием Лапласа.
Предложение 1. При X ^ о справедливо асимптотическое разложение
Gv (X, y,X) ~ -
-ц|X - y|
2 п| x - y| X Ф y,
1 + X anV
=1
где ц = 72 х и an ^ an
(x, y) связаны с коэффициентами ck формулами
an = |х - y|nCn(X, y) +
[(n -1)/2]
+ X cnm1 (2m -1 )!!|x-y|
n - 2m
,(x, y).
m=1
где Е - математическое ожидание, ассоциированное с процессом Ь(т). Получение искомого асимптотического представления ядра р^х, у, г) при г X 0 сводится таким образом к обоснованию возможности разложения аргумента функционала Е по степеням г и последующему вычислению математических ожиданий от соответствующих коэффициентов.
Теорема 2. Для произвольной комплексно-значной ограниченной функции V(x) е Со(К3) фундаментальное решение р^х, у, г) допускает при г X 0 асимптотическое разложение вида (3) с коэффициентами сп = сп(х, у), определяемыми формулами
4. Связь фундаментальных решений параболического и соответствующего гиперболического
уравнений в случае Vе Со (К3) дает спектральное представление для регуляризованного следа
Тг(егН-вНо) = -4= Ге~//4гТг(и(5)- и0(5))йя,
47п г^
к
где след разности эволюционных групп операторов и (г) и и0(г), описывающих возмущенную и невозмущенную динамику для волнового уравнения
Э^ и = Ни, допускает (см. [9]) разложение в ряд Дирихле
Тг( и (г) - и 0 (г)) = --П 8( г )| V (х) йх + ^ ех г|
к3 ХеЛ
по спектру Л полюсов функции Грина 0^(х, у, X).
При этом вклад в след Тг(егН - е'Н<0) от полюса, отвечающего собственному значению Е оператора Н, имеет вид
k J6
2/4t + JEs
Et
lj%t
ds = e + O
JtJ
t ^
Eа(s1, s2, sm) X
Х Ев(•••> )Еу(•••> )•
Поведение фундаментального решения р^х, у, г) при г X 0 определяет асимптотику при X ^ о функции Грина 0^(х, у, X), т.е. ядра резольвенты (Н - X2/)-1, соответствующего оператора Шредин-
в то время как резонансы (квазиуровни), отличные от нулевого, дают вклад 0(г~1/2). С учетом этого в случае, когда потенциал У(х) вещественный и 0 ё Л, устанавливается следующее
Предложение 2. При г ^ о регуляризо-ванный след полугруппы ехр(гН) имеет асимптотику
rr , tH tH0K V"1 Et „f 1 ^ Tr (e - e ' = E X H,e +O Ы •
s
s
m -1
o
где op(H) - точечный спектр оператора H=H0 + V, а энергия его основного состояния вычисляется по формуле
E(V) = lim Г1 х
t ^ <*>
х lnJЕ1 expI tjV(x + Jtb(5))ds
- 1 >dx.
Здесь условие 0 ё Л не является ограничением по существу. Если нуль является спектральной особенностью, то в правой части (7) появляется дополнительное слагаемое - константа, величина которой определяется размерностью собственного подпространства и наличием (отсутствием) так называемого полусвязанного состояния оператора Шредингера Н = Н0 + У, отвечающих нулевому уровню. В работе [10] в предположении суперэкспоненциального убывания У(х) на бесконечности и при условиях ар(Н) = 0 и 0 ё Л получена оценка
|тг(etH- в'Н°)|< С(V)Г1/2.
(8)
> dx 1
exp It J V (x + /t ^)ф(1Ш d£,
-1
где
ф(т) = J( 2n s( 1- s)) 3/2exp (-—-- I ds.
2 s( 1- s)
Если J V(x)dx > 0, mo
Tr(etH - etHo) >-33/2-1/2 f V(x)dx. (9)
(2n)3/2 t1/2J
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.