ГЕОЭКОЛОГИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОЛОГИЯ. ГИДРОГЕОЛОГИЯ. ГЕОКРИОЛОГИЯ, 2007, № 2, с. 164-172
МЕТОДОЛОГИЯ ^^^^^^^^^^
И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ
УДК 550.34
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ РЕЖИМА РЕДКИХ ЭКСТРЕМАЛЬНО СИЛЬНЫХ СОБЫТИЙ-КАТАСТРОФ
© 2007 г. М. В. Родкин*, В. Ф. Писаренко**, Т. А. Рукавишникова**
* Геофизический центр ОИФЗ РАН ** Международный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН
Поступила в редакцию 22.03.2004 г.
После исправления 10.05.2006 г.
Основной ущерб от природных и техногенных катастроф связан с редкими сильнейшими событиями, откуда следует актуальность оценки вероятности их реализации. Такая оценка затруднена малым числом редких сильных катастроф и (часто имеющим место) отличием характера их распределения от закона распределения основной массы событий. Предложен ряд новых подходов, учитывающих различие законов распределения типичных и сильнейших событий. Оцениваются характерная величина и период повторяемости катастрофы, отвечающей переходу от закона распределения типичных событий к распределению редких сильных катастроф. Характер распределения редких сильнейших событий оценивается на основе применения теоремы Гнеденко-Пикандса-Балкема-де Хаана. Обсуждаются результаты применения предложенных методов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Известно, что основной вклад в суммарную величину ущерба дают редкие наиболее сильные катастрофы [3, 8 и др.]. Отсюда следует особая актуальность оценки риска именно от них. Корректное решение этой задачи (с учетом редкой повторяемости экстремальных событий и их резкого отличия по величине от типичных событий) требует применения нестандартных методов статистического анализа. Ниже дается характеристика ряда новых подходов к описанию режима редких экстремальных событий (катастроф) и оценки риска от этих событий.
2. ЭМПИРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ КАТАСТРОФ И ВЕЛИЧИН УЩЕРБА
За последние десятилетия объем научных исследований и информации по режиму природных и техногенных катастроф существенно возрос [3, 4]. В результате статистического анализа данных было установлено, что эмпирические распределения физических величин катастроф и значений ущербов описываются, как правило, распределениями, известными в теории вероятностей как "распределения с тяжелыми хвостами". Математически это означает, что соответствующие распределения могут быть описаны степенным законом Парето с показателем степени распределения в < 1. Средние значения и величины дисперсии для таких распределений бесконечны, что приводит к неприменимости обычных методов статистического анализа, основанных на ис-
пользовании выборочных средних значений и дисперсии.
Классический пример степенного распределения (с показателем степени распределения в < 1) -распределение величин энергии и сейсмических моментов землетрясений (закон Гутенберга-Рихтера). Приведем менее известные примеры, подтверждающие широкую распространенность распределений такого типа для случая катастроф. На рис. 1 приведены графики распределения экономических потерь от землетрясений, наводнений и ураганов в США (по данным http://coast-al.er.usgs.gov/hurricane_forecast/barton4.html). Эти данные можно рассматривать как наиболее точные в связи с развитым в США рынком страховых услуг они убедительно свидетельствуют о степенном характере распределения величин ущерба от сильных природных катастроф. По аналогичному закону распределены значения числа погибших при землетрясениях и большинстве других видов природных катастроф [5, 8].
На рис. 2 представлены данные по распределению числа жертв при техногенных катастрофах. Из рисунка видно, что их распределение при сильных техногенных катастрофах отличается от распределения при типичных (менее сильных) событиях. В то время как последнее достаточно хорошо отвечает экспоненциальному закону, распределение жертв при редких сильнейших событиях описывается степенным законом с показателем степени в < 1.
Указанные примеры (и многие другие, приведенные в работах [1, 5, 8, 12 и др.]) убедительно свидетельствуют о типичности степенных рас-
п, в год 101
100
10
г1
10
,-2
100
101
102
103
■ .дом 104
Ь, млн. долл
Рис. 1. Распределение величин экономических потерь от единичных событий (млн. долл. США) за год для: наводнений землетрясений (Е) и ураганов (Н). Данные по США за 1900-1989 гг. (землетрясения и ураганы) и за 1986-1992 гг. (наводнения). По оси ординат дано число событий, превышающих значение, указанное на оси абсцисс. Линиями даны аппроксимирующие степенных распределений со значениями показателя степени в = 0.74 (для наводнений), в = 0.98 (для ураганов) и р = 0.41 (для землетрясений).
N
102
101
10°
10
-1
100
Ч 2
V
'"V
* °1
101
102
103
У
Рис. 2. Распределение числа жертв при взрывах и пожарах в РФ в 1992-1996 гг. 1 - по данным [10] и при крупнейших техногенных катастрофах, 2 - по мировым данным за 1900-1988 гг. [7]. Ось ординат - число событий с количеством жертв не менее данного по оси абсцисс. Пунктиром даны аппроксимирующие законы распределения: экспоненциальный для 1 и степенной с показателем степени р < 1 для 2.
пределений с в < 1 для эмпирических распределений физических параметров катастроф и значений ущерба.
3. СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ СТЕПЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ С в < 1
Степенные распределения удобно моделировать законом Парето с плотностью/(х) и функцией распределения ^(х), задаваемыми соотношени-
ями
„ ч |в ав/(х1 + в), х > а /(х) = ^ г
[0, х < а х) = 1- (а/х)в; х > а,
(1)
(1а)
где а - размер события, начиная с которого эмпирические данные удовлетворяют закону Парето. Характер распределения событий х < а может отличаться от степенного, так как слабые события могут регистрироваться с пропусками или описываться иным законом распределения. В практическом отношении характер распределения слабых событий обычно несуществен, так как их вклад в суммарную величину ущерба ничтожен.
Легко видеть, что при в ^ 1 распределение (1) имеет "тяжелый хвост". Иначе говоря, оно характеризуется бесконечными значениями всех статистических моментов распределения, в частности бесконечными средним значением и дисперсией.
Как следствие этого, для таких распределений обычные методы статистического анализа, основанные на использовании выборочных средних значений и дисперсии, некорректны. Так, например, оцениваемые стандартным образом выборочные средние значения величин ущерба от техногенных катастроф варьируют от 104 до 107 долл./год [9], а выборочные значения дисперсии еще более изменчивы. Столь большие величины разброса обесценивают получаемые количественные оценки. Эта же особенность иллюстрируется данными табл. 1, где приведены средние (полученные за разные интервалы времени) значения ущерба от природных катастроф.
Вместо средних значений и дисперсии в качестве робастных характеристик описания распределений с тяжелыми хвостами типа (1) следует использовать медианы (50% квантиль распределения) и величины разброса, оцениваемые квантилями (50 - 8)% и (50 + 8)%.
Приведем ряд важных и непривычных особенностей степенных распределений типа (1) с в < 1, не вдаваясь в их доказательства, которые можно найти в работах [1, 8 ,12 и др.]. Так, для таких распределений величина накопленного в результате п событий кумулятивного эффекта Хп сравнима с величиной единичного максимального события цп, и может быть приближенно оценена из соотношения
Х = ^п/К(п, в),
Таблица 1. Среднегодовые числа жертв и значения ущерба, оцененные для различных интервалов времени
Землетрясения Наводнения
Интервалы времени, использованные для оценки средних значений, год Экономические потери в США за 1925-1964 годы, млн. $. в = 0.85 ± 0.24 (по данным [11]) Число потерявших жилье, мировые данные, 1964-1991 гг., в = 0.76 ± 0.14 (по данным [13]) Экономические потери в США, 1925-1964 гг., млн. $. в = 1.33 ± 0.42 (по данным [10])
5 1019, 1213, 1443, 2067, 6418
7 932, 951, 2245, 4761
10 2.54, 13.06, 13.8, 43.62 267.8, 322, 410.4, 451.2
13 1683,3039 337.8, 341.6, 377.5
20 5.22, 10.05, 39.08 319.2, 333.3
Таблица 2. Значения отношения суммарного ущерба к максимальному единичному ущербу R(n, в) в зависимости от параметров п и в
в п
10 50 100 300 500 1000
3 5.77 17.93 28.8 60.7 85.7 136.6
2 4.6 11.52 16.7 29.7 38.6 55
1.3 3.48 6.55 8.26 11.6 13.5 16.42
1.1 3.1 5.16 6.15 7.85 8.7 9.91
1.0 2.88 4.49 5.18 6.28 6.78 7.48
0.9 2.59 3.81 4.26 4.92 5.2 5.56 10
0.8 2.45 3.29 3.57 3.91 4.04 4.19 4.3
0.6 2.02 2.33 2.4 2.45 2.46 2.48 2.5
где Я(п, в) - коэффициент порядка единицы. Значения Я(п, в) для характерных значений параметров п и в представлены в табл. 2.
В практически важном случае больших значений п для оценки коэффициента Я(п, в) можно воспользоваться приближенным соотношением
Я(п,в) = ( 1- в). (3)
Медианы величин суммарного эффекта 2,„ и единичного максимального значения растут с увеличением числа событий п нелинейным образом, как
т 1/в 1/в ,л\
£п ~ п и ~ п р. (4)
При стационарном потоке событий (например, при использовании данных о значениях ущерба за год) выражения для медиан суммарного и единичного максимального ущерба зависят от времени как
~ х 1 /в и ^ ~ х1 /в. (4a)
Из (4а) видно, что в чисто стационарной модели степенного распределения (1) наблюдается, в среднем, нелинейный рост со временем кумуля-
тивного эффекта Хх, порождаемый быстрым нелинейным временным ростом величины ожидаемого максимального события Этот эффект обусловлен тем, что с ростом длины ряда растет вероятность реализации событий экстремально большой величины.
Неучет перечисленных важных специфических особенностей степенных распределений с "тяжелыми хвостами" может привести к существенным погрешностям в оценках и прогнозах величин ущерба. Так, выше на примерах было показано (табл. 1), что использование выборочных средних значений и дисперсии приводит к получению сильно неустойчивых оценок характерных величин ущерба.
В ряде случаев может оказаться ошибочным и вывод о сильном нелинейном росте величин ущерба от природных катастроф со временем, так как такой эффект может порождаться нелинейным ростом характерной величи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.