ПАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ЧАСТИЦ В СИЛЬНО НЕИДЕАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
О. С. Ваулина*
Объединенный институт высоких тслтсратур Российской академии наук 127412, Москва, Россия
Поступила в редакцию 26 мая 2011 1".
Предлагается новая полуэмпирическая модель для описания пространственной корреляции между взаимодействующими частицами в неидеальных системах. Разработанная модель описывает основные особенности поведения парной корреляционной функции для кристаллических структур, а также может использоваться для качественного и количественного описания пространственной корреляции частиц в сильно неидеальных жидкостных системах. Представлено сравнение предлагаемой модели с результатами моделирования парной корреляционной функции.
1. ВВЕДЕНИЕ
Равновесные свойства неидеальных систем полностью описываются набором функций плотности вероятности .дя(г1,г2, • • • , гя) нахождения частиц в точках Г1, г-2,... , г,. В случае изотропного парного взаимодействия физические свойства жидкости, такие как давление, плотность энергии и сжимаемость, определяются парной корреляционной функцией д(г) = <72(11*1 — г2|) [1 3], которая, в свою очередь, зависит от типа потенциала взаимодействия между частицами среды и ее температуры. Информация о парной функции д(г) необходима для расчета различных кинетических коэффициентов (например, коэффициентов вязкости или теплопроводности) по формулам Грина Кубо, а также может быть полезна для прогнозирования различных фазовых переходов в иеидеальных системах. В общем случае определение формы д(г) требует расчетов пространственных корреляционных функций более высоких порядков (дя при я > 2) или применения каких-либо аппроксимаций для таких функций. Так, например, для решения интегральных уравнений в кинетике взаимодействующих частиц для учета трехчастичной корреляционной функции (.ч = 3) наиболее часто используется суперпозиционное приближение Кирквуда [1,4]:
E-mail: olga.vaulinaö'bk.ru
.93 (Г1, Г2 , Гз ) « .9з''(г1. 1*2 , Г3 ) = .9(1*1 - 1*2 ).9(Г2 -
-г3).д(г3 1*1) •
Численное моделирование показывает, что для широкого круга изотропных парных потенциалов пространственная корреляция частиц в неидеальных системах определяется отношением второй производной и" потенциала Щг) в точке среднего межчастичного расстояния г = гр к температуре частиц Т, если имеет место эмпирическое условие [5 8]:
2тг > \и"гр/и'\, (1)
где и' первая производная {/(г) в точке г = гр. При этом пространственная корреляция частиц, а соответственно функция д(г), не зависит от трения и определяется величиной эффективного параметра неидеальности Г* = Ьгри"(гр)/2Т, в диапазоне от Г* ~ 15 20 до точки кристаллизации системы Г*, т.е. точки формирования «совершенного» кристалла, где отсутствует миграция частиц, а их коэффициент диффузии £> = 0. Здесь Ь = 1 для трехмерных систем, Ь = 1.5 для двумерного случая, Г* = Г;, « 154 ±4 [7] для двумерных систем, формирующих в процессе своей кристаллизации примитивную гексагональную решетку, и Г* = Г^ « 102 ± 3 [8] для трехмерных систем, кристаллизующихся в объемноцентрированную кубическую (ОЦК) структуру.
На настоящий момент существуют различные аппроксимации для парных корреляционных функ-
ции, основанные на подгонке результатов численного моделирования различными параметрическими функциями [9]. Однако такие аппроксимации не годятся для анализа парной корреляции частиц в системах с произвольной формой парного межчастичного взаимодействия. В данной работе предлагается простая полуэмпирическая модель для описания пространственной корреляции взаимодействующих частиц в сильно неидеальных системах с широким кругом парных потенциалов. Особое внимание уделяется двумерным системам. Одной из причин данного обстоятельства является возможность (простой) непосредственной проверки изложенных результатов, например, в экспериментах с монослойны-ми пылевыми структурами в плазме ВЧ-разряда [9]. Другая причина связана с преимущественно двумерным характером используемых средств диагностики.
Рис. 1. Иллюстрация расположения частиц в гексагональной кристаллической решетке с шагом (наиболее вероятным расстоянием) сцгр = си =
2. МОДЕЛЬ ДЛЯ РЕКОНСТРУКЦИИ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Простая модель для реконструкции парной корреляционной функции д(г) в сильно неидеалыгой системе может опираться на зависимость формы парной корреляционной функции д(г) от величины среднеквадратичного отклонения отдельных частиц (за счет тепловых флуктуаций) в узлах кристаллической решетки:
а максимальная вероятность дпь положения ближайших соседей будет определяться как
ЯпЬ
,у° Гт
" nb р
(4)
где п = г т, a N°b число ближайших соседей (для двумерной гексагональной решетки ui/rp ss 1.075, = 6, для ОЦК-решетки Ul/rp «1.09, N°b = 8).
g(r)
¿=1
i
in as
х охр
(r — Uj
2<rf
(2)
где т = 2,3 размерность системы, щ наиболее вероятное положение ¿-й частицы относительно «пробной» в кристаллической решетке (совпадает с расположением узлов анализируемой решетки), а1 = ((м/и 1)т-101. а среднеквадратичное от-
клопеиио частицы от ее наиболее вероятного положения относительно своих ближайших соседей. Иллюстрация положения частиц в решетке гексагонального типа представлена на рис. 1.
При таком подходе интегрирование функции д(г) позволяет легко оценить количество Лгс частиц, находящихся от пробной частицы на расстоянии г < Кс:
Не
Л> = 2т~1пп I д^г)'!-™1-1 (1г, (3)
"о
3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Для проверки предлагаемой модели были выполнены расчеты парных корреляционных функций д(г) для различных потенциалов, подчиняющихся условию (1), в широком диапазоне параметров неидеалыгости (величина Г* изменялась от 10 до 375) рассматриваемых систем. Техника моделирования подробно описана в работах [5 8].
Расчеты проводились для однородной трехмерной системы и для квазидвумерной системы, моделирующей протяженный пылевой слой. В первом случае при моделировании протяженной однородной системы внешние силы отсутствовали и задавались периодические граничные условия по всем трем направлениям х, у и г. Число ЛГР независимых частиц в центральной ячейке варьировалось от 250 до 686, соответственно потенциал межчастичного взаимодействия обрезался на расстоянии
Во втором случае, расчеты проводились для протяженного монослоя при периодических граничных
Рис.2. Максимум утах парной корреляционной функции в зависимости от Г* для двумерных (1) и трехмерных (2) систем
условиях в двух выбранных направлениях х и у, а в направлении оси г учитывалось действие силы тяжести Мд, скомпенсированное линейным электрическим полем. Число независимых частиц в счетной ячейке Np варьировалось от 256 до 1024, в зависимости от числа частиц длина обрезания потенциала Lcui менялась от 5гр до 25гр. Величина градиента ß электрического поля Е-, ограничивающего пылевой слой в направлении оси г, варьировалась от Ю-2 В/см2 до 100 В/см2 и для рассматриваемых случаев моделирования монослоя частиц находилась в согласии с критерием, предложенным в работах [10,11]:
Лгр
\eZft\ <2 ^[/'Ы/гь (5)
¿=1
где eZ заряд частиц. Какой-либо ощутимой зависимости динамики макрочастиц от величины градиента 3 поля и количества независимых частиц Np, принятых для расчетов, в процессе моделирования обнаружено не было.
Для всех анализируемых случаев форма найденных парных функций д(г) определялась параметром Г* для систем с Г* > 15 и не зависела от трения. Зависимости величины первого максимума gmar парной корреляционной функции от эффективного параметра иеидеальиости Г* для двумерных и трехмерных систем, полученные при численном моделировании задачи, показаны на рис. 2.
4. СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ И ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Сравнение предлагаемой модели с результатами численного моделирования проиллюстрировано на рис. 3 5. Так, на рис. 3 и 4 проиллюстрирована процедура суммирования вероятностей расположения частиц соответственно в двумерной и трехмерной системах. Сравнение численных результатов и аналитических данных (полученных в результате суммирования частиц первых четырех «оболочек» по формуле (2), количество учитываемых соседних частиц Ыпь = 60; см. рис. 1, ] = 1,2,3,4) для двумерных систем показано на рис. 5 для различных параметров Г*. Полученные результаты демонстрируют хорошее согласие между численными и аналитическими данными. Следует также отметить, что расчеты в рамках предлагаемой модели (2) хорошо описывают основные критерии кристаллизации двумерных систем. Так, для параметра Г* « 165 вблизи точки плавления двумерной системы (см. рис. 5«) величина первого пика парной корреляционной функции 9тах ~ 4 (критерий Хансена) [7,12], а относительная величина корня среднеквадратичного отклонения {6г2) частиц от их равновесного положения относительно центра масс системы на линии плавления 6ь = (бг2)1/2/гр « \/2(Т1 /гр « 0.13 [12] (критерий Лиидемапа). Также можно заметить расщепление второго пика парной корреляционной функции, наличие которого является феноменологическим критерием для кристаллического состояния двумерной системы [13].
Анализ полученных результатов позволяет предположить, что для сильно коррелированных двумерных систем (Г* > 20) величина первого максимума Ятах парной корреляционной функции равна
6г2 6
Я,пах « ЯпЬ = Н1<71 (2^)3/2 = 1.075Д (2тГ )3/2 ' ^
где А = егг/гр. Величина ЯпЬ (6), характеризующая максимальную вероятность положения ближайших соседей в двумерных системах, для значения а\, найденного наилучшей подгонкой формы парной корреляционной функции кривой (2), показана на рис. 6. (Отклонение между значениями дпь и дтах 110 превышало 5% для параметров Г* > 20.) На том же рисунке (рис. 6) показана кривая дтах{Г*), полученная по формуле (6) в предположении, что величина А = (Т\/гр « ¿»¿Г*/ \/2 Г*), где параметр Лиидемапа на линии плавления гексагональной решетки. Отметим, что для всех трех случаев при Г* > 20 полученные значения дтах находятся в пределах диа-
Рис.3. Иллюстрация реконструкции функции у (г) для двумерной системы при Г* к 102 и Д = сп/гр к 0.124. Кружки — функция у (г), полученная в численных экспериментах. Линии на рис. а— вероятности обнаружения частиц, расположенны
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.