ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 143, № 3 июнь, 2005
© 2005 г. А. И. Саичев*, С. Г. Уткин*
ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ ОТ АНОМАЛЬНОЙ К ЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ
Рассматриваются многомерные процессы "квазианомальных" случайных блужданий, имеющие линейно-диффузионную асимптотику на больших временах и подчиняющиеся аномально-диффузионным закономерностям на промежуточных (также достаточно больших относительно микроскопических масштабов) временах. Демонстрируется переход скачкообразного процесса от аномальной к линейной диффузии. С помощью численного счета подтверждается справедливость аналитических расчетов для двумерного и трехмерного случаев. ,, , .....
Ключевые слова: аномальная субдиффузия, аномальная супердиффузия, уравнения в частных дробных производных, промежутоная асимптотика, квазианомальные случайные блуждания.
1. ВВЕДЕНИЕ
Главным признаком аномальной диффузии служит нелинейный рост среднего квадрата случайного процесса со временем: >г: V» „
характерный, например, для таких физических явлений, как турбулентная диффузия [1], хаотическая динамика гамильтоновых систем [2], [3], перенос заряда в аморфных полупроводниках [4] и др. Динамика подобных явлений адекватно моделируется скачкообразными случайными процессами с теми или иными распределениями / (г) интервалов между скачками и распределениями w(x) величины скачков.
Известно также, что аномальная диффузия возникает из-за нарушения центральной предельной теоремы (ЦПТ) или закона больших чисел (ЗБЧ) (см., например, [5]). В свою очередь, неприменимость ЗБЧ обусловлена бесконечностью первых моментов времени ожидания скачков, а нарушение ЦПТ связано с бесконечностью вторых моментов скачков. Эти обстоятельства служат объектом критики теории аномальной диффузии со стороны физиков, справедливо замечающих, что для большинства физических явлений указанные моменты ограничены.
'Нижегородский государственный университет, Нижний Новгород, Россия. E-mail: saichev@hotmail.ru; sergei.utkin@mail.ru
Цена 18 ^уб. Переплет 1 р.
456 А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН ;
Целью данной работы является демонстрация того факта, что аномальная субдиффузия может возникать и в "классическом случае", когда ЗБЧ и ЦПТ справедливы. А именно, наряду с детально исследованными "чисто" аномальными диффузионными процессами существуют и "квазианомальные" случайные процессы, подчиняющиеся законам линейной диффузии на очень больших временах и пространственных масштабах, а на "промежуточных" временах демонстрирующие универсальные аномально-диффузионные асимптотики. Данная работа посвящена анализу именно таких квазианомальных случайных процессов в пространствах разной размерности. Обнаружено, в частности, что, в отличие от классической многомерной диффузии, случайные координаты аномально-диффузионного скачкообразного процесса статистически зависимы даже при независимых компонентах векторов случайных скачков.
2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ
Рассмотрим типичный процесс случайных блужданий, подчиняющийся простейшему стохастическому уравнению чч-.
dX(t) ■ dt
*-----. < к 1
Без ограничения общности предположим, что случайные интервалы ожидания скачков т~к = tk — ifc-i и сами случайные скачки hk взаимно независимы, а также имеют одинаковые распределения /(т) и w(x), соответственно. Очевидно, что
N(t)
X(t)=
к=1
где N(t) - число скачков к моменту t. Это функция, обратная времени n-го скачка Т(п):
ГО, п = О,
t = T(n) = ] ' '
Используя очевидное соотношение эквивалентности для этих функций ~ !! N(t)^n T{n)<t ■ ■
и разбиение единицы - м. .„• >».. л ■ •>.
1= ^IIn(z) = ^[x(z-n)-x(z-n-l)], z>0, "У ■
71 = 0 71 = 0 "
где x(z) - функция ступеньки, выведем уравнение для характеристической функции рассматриваемого процесса X (f):
©(«; t) = (¿»ХМ) = £ /ехр (ш £ hk) [X(t - Т(п)) - x(t - Т(п + 1))] V п=0 ^ ^ fc=1 ' '
Цена 18 дуб. Переплет Í р.
■го) аномальная субдиф-и ЦПТ справедливы. А ми диффузионными про-л, подчиняющиеся зако-анственных масштабах, ьные аномально-диффу-но таких квазианомаль-1. Обнаружено, в част-I, случайные координа-гически зависимы даже
шяющиися простеише-
1лы ожидания скачков а также имеют одина-)
1ени п-го скачка Т(п):
функций
о.
г > О, ^ " ической функции рас-
ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ . ..
457
Применим к обеим частям равенства преобразование Лапласа и просуммируем полученную геометрическую прогрессию:
1- /(*)
К Я? ¥
0(и;я) =
(2.1)
я[1 - ЭД/(я)]
Найденное выражение для лаплас-образа 0(u; s) характеристической функции представляет собой многомерный аналог уравнения Монтролла-Вейсса [3]. Здесь f(s) -лаплас-образ распределения интервалов между скачками, a w(u) - характеристическая функция скачков. Из последнего равенства видно, что Q(u; s) подчиняется уравнению
• 0(u;s) - w(u)Q(u;s) =
f(s)
........... ÎM (2-2)
f{s) sf(s)
Применив к нему обратные преобразования Фурье и Лапласа, легко получить (в зависимости от вида распределений /(г) и w(x)) как классическое уравнение Колмогоро-ва-Феллера, так и кинетические уравнения аномальной диффузии.
3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БЛУЖДАНИЙ X(t)
Как уже было отмечено выше, вид уравнения для плотности вероятностей W(x; t) зависит от вида распределений /(г) и tu (ж), а точнее - от их лаплас-образа f(s) и характеристической функции w(u). Далее будут получены асимптотические уравнения для W(x; t), справедливые на различных временных масштабах, в случае распределения/(г) с лаплас-образом
V "I + sp '•>
где S - малый параметр. Все моменты /(г) ограничены, что делает его физически более корректным, нежели родственное ему дробно-экспоненциальное распределение [6]-[8] (отвечающее значению 6 = 0), являющееся одним из ключевых в теории аномальной диффузии. Рассмотрим случай, когда параметр 6 мал настолько, что временной интервал между 1 и 1/(5 достаточно велик. Тогда процесс X(t) проходит последовательно три стадии. Вначале, на временах t 1, поведение процесса зависит от тонкой структуры распределений / (г) ию(х) ияе отражает универсальных законов диффузии. Далее, на временах между 1 и 1/6, за счет медленно спадающих степенных хвостов распределения /(т) процесс подчиняется аномально-диффузионным законам. Затем, при t 3> 1/6, процесс подчиняется нормальному линейно-диффузионному закону благодаря экспоненциально убывающим при т 1/6 хвостам распределения /(г).
Подставим f(s) (3.1) в уравнение (2.2) и обсудим его асимптотику при s 1, что соответствует вероятностным свойствам скачкообразного процесса на больших временах.
Применительно к лаплас-образу распределения /(т) выделим случай s <t; 6 <f. 1, соответствующий поведению скачкообразного процесса X{t) при t —> оо, а также случай 6 s 1, ответственный за "промежуточный" режим 1 <?С £ 1/6. В первом из них
m
Р60-1
м
и
Цена 18 ^уб. Переплет 1 р.
458
и (2.2) примет вид
А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН
1 + ¿0
в ©(«;«) + - ш(«)]в(«; 5) = 1,
а во втором/(в) ~ 1 — (1 + 8$) и, соответственно,
«"§(«; э) + (1 + - й(«)]в(и; «) = в"-1.
Применяя к полученным равенствам обратное преобразование Фурье и Лапласа, придем к уравнению Колмогорова-Феллера
> + [цг{х.^ _ * Ц*)] = < оо,
или к обобщенному уравнению Колмогорова-Феллера
+ а+б0)т*м) - ж{х-л)*ю(,х)} = 1«*«
Будем считать для определенности, что распределение величины скачков и>(х) обладает следующей асимптотикой фурье-образа:
■ш(и) ~ 1 —
<72и2
2 '
м О,
(3.2)
характерной, например, для многомерного нормального распределения с независимыми координатами и одинаковой дисперсией а2 по всем осям. Тогда из приведенных выше уравнений вытекают соответственно уравнения линейной и аномальной диффузии для разных временных асимптотик:
е- л '.( < '■
т? 2ч* '" ч"#'"' ' г(1 -0)
Решение первого из них хорошо известно:
/ 1 + \«/2
хШх), !«*<-. (3.3)
* ' И' (х О- ( 1 + 1 + -
(3.4)
где п - размерность пространства случайного процесса. Решение второго уравнения приведено в следующем разделе.
пв
Для того ч в п-мерном щ
компонентам ного аргуме! /3-устойчиво
¡г ■•>
Многомерна таг-Леффле
Таким обрг диффузии [I
Решая э в работе [6 ние одноме
где
Здесь Ер(ш).
Замета на [9] отн
0</ЗС
функции наприме! нал зада* тицы и р простот) которые
Цена 18 руб. Переплет 1 р.
ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ ... 459
4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ ' ^ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ ^
: Для того чтобы решить уравнение (3.3), введем вспомогательный векторный процесс в л-мерном пространстве п ,,
компонентами которого являются взаимно независимые винеровские процессы случайного аргумента д(Ь) - непрерывного аналога числа скачков за время причем Ь(д) -(3-устойчивое, безгранично делимое время:
Многомерная характеристическая функция процесса выражается через функцию Мит-таг-Леффлера (детали приведены в работе [5]):
■ ^ ©„(«;«) = Е0(-^и2).
Таким образом, его функция плотности вероятностей подчиняется уравнению дробной диффузии [6]
Решая это уравнение при помощи модельного процесса "дробного сноса", введенного в работе [6], обнаружим, что решение многомерного уравнения выражается через решение одномерного (см., например, [3], [6], [7]) и может быть записано в следующем виде:
0 = ), (4-1)
(4тг^)"/2-
где
1 гоо ,
2/(4з)_
(4тг)"/2 Уо «п/2-
Здесь р (у) находится обратным преобразованием Фурье от функции Миттаг- Леффлера Ер(т).
Заметим, что данный метод решения выгодно отличается от метода функции Грина [9] относительной легкостью и быстротой, однако может быть применим только для О < /3 < 2. Также следует отметить, что получено точное аналитическое решение для функции плотности вероятностей, а не только для характеристической функции, как, например, в работе [10], где, впрочем, авторами была поставлена несколько более сложная задача нахождения совместной плотности вероятностей координаты и скорости частицы и рассмотрена иная модель. В представленной работе упор делается именно на простоту модели и на многомерное обобщение, для которых уже просматриваются некоторые новые эффекты.
Цена 18 цуб. Переплет 1 р.
460
А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН
ПЕ1
Обратим внимание на качественное отличие распреде
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.