КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 3, с. 295-301
УДК 629.78.015
ПЕРЕХОД ПЛОСКОГО ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С АСИММЕТРИЕЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ
© 2004 г. Е. А. Кеньшов, И. А. Тимбай
Самарский государственный аэрокосмический университет Поступила в редакцию 10.12.2002 г.
Рассматривается движение относительно центра масс космического аппарата с малой асимметрией, восстанавливающий аэродинамический момент которого описывается рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми синусоидальными и первым косинусоидальным членами. Найдено решение для угла атаки в невозмущенном вращательном движении. Получено аналитическое выражение для интеграла действия, взятого вдоль сепаратрис, разделяющих вращательную и колебательные области фазового портрета системы. Исследуется переход плоского вращательного движения аппарата к колебательному, обусловленный медленным изменением коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов малой асимметрии и демпфирования. Получены аналитические формулы для определения времен перехода вращательного движения в колебательное, а также критической угловой скорости внеатмосферного вращения, при превышении которой вращение аппарата продолжается в течение длительного интервала времени (возникает плоская авторотация).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается плоское движение неуправляемого космического аппарата на верхнем участке траектории спуска в атмосферу, когда можно пренебречь изменением скорости центра масс и угла наклона траектории. Исследуются случаи, когда в процессе спуска вращательное движение переходит в колебательное или имеет место длительное вращение без перехода в колебательное движение (плоская авторотация). В [1] рассматриваются переходные режимы движения КА с синусоидальной, а в [2] с бигармонической моментной характеристикой без учета влияния малой асимметрии. В [3] исследуются условия возникновения плоской авторотации асимметричного КА, моментная характеристика которого представлена рядом Фурье. Получены в интегральном виде формулы для определения критического значения начальной угловой скорости вращения КА, при которой реализуется плоская авторотация. В данной работе рассматривается плоское движение относительно центра масс КА с малой массовой асимметрией, вызванной поперечным смещением центра масс, и аэродинамической асимметрией, обусловленной искажением поверхности аппарата. Пусть момент от указанной асимметрии может быть представлен в виде четного ряда Фурье по углу атаки с постоянным членом (средним значением момента) и первым косинусоидальным членом. Тогда, добавляя косинусоидаль-ную компоненту к основному восстанавливающему аэродинамическому моменту, описываемому
нечетным рядом Фурье с двумя первыми гармониками [2], считая среднее значение момента асимметрии и значение демпфирующего момента малыми величинами, учитывая, что коэффициенты моментов медленно меняются во времени из-за медленного изменения плотности атмосферы в процессе спуска, движение КА можно описать следующим уравнением [2], [4]
а + а (г) эт а + Ь (г) эт2а + с (г) еоэ а = = еа( г )а + г),
(1)
где а - угол атаки; а(г), Ь(г), с(г) - коэффициенты моментной характеристики; а(г) и^(г) - усредненные по углу атаки коэффициенты демпфирования и асимметрии; г - медленно меняющийся параметр, переменность которого связана с медленным изменением плотности атмосферы в процессе спуска; £ - малый параметр, характеризующий малость коэффициентов демпфирования и асимметрии.
Коэффициенты уравнения движения (1), если зависимость плотности атмосферы от высоты полета аппроксимировать экспонентой, могут быть представлены в виде [2], [4]:
а(г) = а0г, Ь(г) = Ь0г, с(г) = Сог, а(г) = Сог, £(г) = ^г, ао = -таБ1Уо р( ¿о)/(21),
П
5 Г
2 особые точки
3 -
4 особые ^ч 1 4 особые
точки у/ точки
-4 -2 / ^ 0 2 4 Z
-3 -
а + a sin а + b sin2 а + c cos а = 0.
(2)
Следует отметить, что уравнение движения физического маятника по углу его отклонения от вертикали, когда он установлен на вращающейся платформе и точка его подвеса смещена относительно оси вращения платформы [5], имеет вид аналогичный (2).
Для выяснения общих свойств движения системы (2) воспользуемся методом фазовой плоскости. Анализ фазового пространства рассматриваемой системы проведем аналогично [5]. Интеграл энергии системы (2) имеет вид
. 2
(X , 2
— - a cos а - b cos а + c sin а =
h.
(3)
2 особые точки
-51-
Рис. 1. Бифуркационная кривая.
Ьо = -шь31У20 р( )/(2I), Со = -ЛуСт1^У0р( 1о)/(2I), ^о = (Л уСт о + Л ш1) ^ р( 1о) / (21), <Зо = (т™/2/1- Суа0/т)5УоР(^)/2, г = ехр(Р(г - г{))), в = XУо^т0^, где та, ть - коэффициенты основного восстанав-
ю
ливающего аэродинамического момента; то -усредненный по углу атаки коэффициент аэродинамического момента демпфирования; С°уао - усредненная производная по углу атаки коэффициента аэродинамической подъемной силы; Ст0, Ст1 -первые два члена разложения коэффициента тангенциальной аэродинамической силы в четный ряд Фурье; Лтг - коэффициент аэродинамического момента асимметрии; Л у = Лу/1 - безразмерное смещение центра масс КА от оси его геометрической симметрии; I - характерный размер; 5 - характерная площадь; I - поперечный момент инерции; т - масса аппарата; У0 - скорость полета; 0О - угол наклона траектории; р(г0) - плотность атмосферы в начальный момент времени; X - логарифмический градиент плотности атмосферы по высоте.
2. НЕВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ КА
В случае невозмущенного движения (е = 0, г = = сош^ уравнение движения КА запишется в виде
Фазовым пространством рассматриваемой системы является цилиндр с координатами а, а. Уравнение (3) определяет связь между а и а, тем самым, является уравнением фазовых траекторий. Из (3) следует, что
а = ±V 2 (f (а) + h),
где
f (а) = a cos а + b cos а - c sin а. (4)
Экстремальные значения функции f (а) соответствуют состояниям равновесия уравнения (2), т.е. особым точкам на фазовом цилиндре а, а.
Из выражения (4) функции f (а) следует, что в зависимости от значений параметров a, b, c могут существовать или две, или четыре особые точки.
Бифуркационное соотношение параметров n = a
У и
и С, = - , разделяющее эти случаи, находится из условия слияния двух особых точек, что осуществляется при одновременном выполнении двух условий:
/'(а) = о и /"(а) = о.
Разрешая эти соотношения относительно п и получаем параметрическое представление бифуркационной кривой п = П(С):
П = ctg3 a, Z = -(2 sin3 a) \
(5)
Согласно (5) на плоскости п, С протекают четыре ветви кривой п = п(0, соответствующие изменению а в интервале [-п, п]. Данная кривая, изображенная на рис. 1, разбивает плоскость на три области. При параметрах п, С, находящихся внутри области, ограниченной бифуркационной кривой, на фазовом цилиндре имеются две особые точки, а в других областях - четыре особые точки. Для параметров, принимающих значения £ = ± 0.5, п = 0 происходит слияние трех особых точек: при а = 0 для £ = +0.5, п = 0 и при а = ±п для £ = -0.5, п = 0.
На рис. 2 показан фазовый портрет системы, когда имеются четыре особые точки, на рис. 3 -две особые точки.
Как видно, космический аппарат в зависимости от начальных условий (К) и величин а, Ь, с мо-
Рис. 2. Фазовый портрет: a = 3, b = 4, c = 1 (n = 3, Z = 4).
Рис. 3. Фазовый портрет: a = -3, b = 2, c = -1 (n = 3,
Z = -2).
жет совершать как вращательные, так и колебательные движения, области которых разделены сепаратрисами.
Найдем решение для угла атаки в невозмущенном вращательном движении. Вводя новую переменную и = Оа , уравнение (3) можно записать в виде
•2 1 г, ít4 1 3 1rj ,п2
и = 4 [h - а + b J и -2 см +2 L h - b J и -
-1 си +1L h + а + b J = G (и).
(6)
Разделяя переменные в уравнении (6), получим
, , йи йг = ± . .
(и)
Здесь знак выбирается в зависимости от знака йи таким образом, чтобы в любой момент времени правая часть уравнения была неотрицательной. После интегрирования имеем
t - 10
= J
du
JG (и)
(7)
Интеграл (7) относится к классу эллиптических интегралов и приводится к нормальному эллиптическому интегралу Лежандра первого рода [6]. Результат интегрирования зависит от типа корней полинома четвертой степени О(и). В случае вращения все четыре корня полинома комплексные. Введем следующее правило нумерации этих корней: Ь1 ± къ Ь2 ± г'с2, Ь1 > Ь2, с1 > 0, с2 > 0.
Приведение интеграла (7) к нормальному эллиптическому интегралу первого рода осуществляется посредством преобразования и = и(ф), отображающего интервал интегрирования [и0, и] в соответствующий интервал действительного аргумента [ф0, ф]. Вид преобразования и = и(ф) зависит от типа и сочетания корней, а также от знака
старшего коэффициента полинома О(и) [6]. Для рассматриваемого случая вращения все четыре корня полинома комплексные и преобразование может быть представлено в виде
и = bi + с i tg (ф + ф*),
(8)
где
ф*
е3 + е4
2 '
с! ± с2
63 4 = агйй--;— острые углы.
Ь1 - Ь2
Полагая, что в момент времени г = г0, а = а0, при этом
♦ ао и tg"2"- bi ф0 = arctg--ф*.
(9)
Тогда, учитывая (8), интеграл (7) преобразуется к следующему виду:
t - to = | [F(ф, k) - ^(фо, k)]'
(10)
где
яф, k) = J
dф
- эллиптическии ин-
11 - к sin ф
теграл первого рода, к2 = sin26s - модуль эллиптического интеграла,
s = J\h - и+ h\
27cos 65
2
05 COS63 1
tg4 = COSe4' 2 - острыи угол-
Обращая эллиптический интеграл, из равенства (10) получим
ф = am[5(t -10) + т0, kJ, где То = F(фo, k).
и
и
о
а, рад/с 3
2
1
0
-1
-2
30 а, рад
20 40 60 80
100
г, с
Рис. 4. Переход вращательного движения в колебательное.
Учитывая формулы (8), (11) и то, что u = tg
а
тельное. В этом случае фазовая точка, двигаясь по фазовому цилиндру, пересекает сепаратрису, разделяющую вращательную и колебательную области. На рис. 4 приведен случай такого движения (начальные условия движения: a0 = -0.02 с-2, Ь0 = -0.005 с-2, с0 = -0.005 с-2, = 0.0008 с-2, с0 = = -0.00001 с-1, а0 = 10 град, ао = 30 град/с, в = = 0.05 с-1).
Будем полагать, что критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска КА в атмосфере выполняе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.