АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 91, № 11, с. 969-977
УДК 521.131
ПЕРЕХОДНЫЕ ОБЛАСТИ МЕЖДУ УСТОЙЧИВЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ РЕШЕНИЯМИ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
© 2014 г. П. П. Ясько*, В. В. Орлов
Санкт-Петербургский государственный университет, С.-Петербург, Россия Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук, С.-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 30.08.2013 г.; принята в печать 21.05.2014 г.
В рамках общей задачи трех тел с компонентами равных масс и нулевым моментом вращения исследовано поведение тройных систем в промежуточных зонах между областями устойчивости. Как известно, существуют три устойчивые периодические орбиты: орбита Шубарта в прямолинейной задаче, орбита Брука в равнобедренной задаче и орбита Мура или "восьмерка". В пространстве начальных условий эти орбиты окружены множествами точек, в которых движения тел остаются ограниченными на значительном интервале времени. Рассмотрены переходные зоны между орбитой Шубарта и орбитой Мура и между орбитой Мура и орбитой Брука. Показано, что границы областей устойчивости могут быть как гладкими и резкими, так и размытыми. Вне этих пограничных областей динамическая эволюция тройных систем завершается далеким выбросом одного из компонентов или распадом системы. Построено распределение времен потери стабильности. Показано, что на больших временах это распределение имеет степенной закон. Выделены три этапа эволюции нестабильных тройных систем.
DOI: 10.7868/80004629914110073
1. ВВЕДЕНИЕ
Системы трех тел можно встретить в широком диапазоне параметров (расстояний, масс, времен) астрономических объектов: тройные астероиды, планетные системы, кратные звезды, группы галактик и др. Изучение динамической эволюции тройных систем позволяет ответить на различные вопросы, касающиеся формирования, развития и финальных стадий существования таких систем. Во многих случаях аппроксимация компонентов тройных систем точечными массами позволяет надежно отобразить характерные черты динамики реальных систем без учета других параметров таких систем (размеры тел, их строение, форма и т.д.). Такое приближение значительно упрощает динамическое описание системы и сводит ее рассмотрение к классической задаче трех тел.
Важную роль в динамике трех тел играют периодические орбиты (см., например, книги Мар-шаля [1], Валтонена и Карттунена [2], Мартыно-вой и др. [3]). Вокруг устойчивых периодических орбит существуют множества траекторий с ограниченными движениями, на качественном уровне повторяющими порождающую их периодическую орбиту. Согласно КАМ-теории1 , эти множества
E-mail: astromex@yandex.ru
1 Теория Колмогорова—Арнольда—Мозера
имеют конечную меру. Следовательно, существует ненулевая вероятность наблюдений принадлежащих этим множествам тройных систем реальных астрономических объектов (тройные звезды, триплеты галактик и т.д.).
В литературе известно большое количество семейств периодических орбит, среди которых особое место занимают семейства устойчивых периодических орбит. В общей задаче трех тел известно несколько семейств устойчивых периодических орбит. Эти семейства включают в себя орбиты тел в тройных системах равных масс с нулевым моментом вращения: орбиту Шубарта [4], орбиту Брука [5], орбиту Мура "восьмерка" [6], Б-орбиту (см. работу Мартыновой и др. [7]). Еще несколько вероятно устойчивых периодических орбит найдены Шуваковым и Дмитрашиновичем [8], которые также рассматривали задачу трех тел с равными массами и нулевым моментом вращения.
Особый интерес представляет исследование структуры областей начальных условий, соответствующих тройным системам с ограниченными движениями, связанных с устойчивыми периодическими орбитами. Такая работа была проделана Мартыновой и др. [7]. Этими авторами было исследовано двумерное сечение области начальных условий в плоской задаче трех тел равных масс с нулевым моментом вращения (способ задания
начальных условий описан ниже). Они показали, что существуют непрерывные области устойчивости, связанные с упомянутыми выше орбитами Шубарта, Брука, Мура и Б-орбитой.
В настоящей работе рассмотрены переходные зоны между областями устойчивости, найденными в [7]. Исследован характер движения и оценены времена распада для неустойчивых тройных систем, начальные условия которых находятся в этих переходных зонах.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим тройную систему с компонентами равных масс и нулевым угловым моментом. Используем способ задания начальных условий, предложенный в [7]. В начальный момент времени все три тела располагаются на одной прямой, одно из тел помещается в центр масс тройной системы. Вектор скорости центрального тела противоположно направлен относительно векторов скоростей двух крайних тел, которые равны по величине и направлению. Для выполнения закона сохранения импульса модуль вектора скорости центрального тела полагается в 2 раза больше, чем модули векторов скорости крайних тел. Полная энергия тройной системы принимается равной Е = —1.
Начальные скорости и координаты тел определяются через два параметра: вириальный коэффициент к, равный отношению кинетической энергии к модулю потенциальной энергии тройной системы; угол р между вектором скорости центрального тела и прямой, на которой лежат три тела. Параметры к
и р меняются в следующих интервалах: к € (0,1), п
у? € (0, —). Выражения для начальных координат
и скоростей компонентов тройной системы через параметры к и р имеют следующий вид:
5 5
Ж1 =--(1 -к), х2 = 0, х3 = -(1-к);
У1 = У2 = Уз = 0; ¿1 = ¿2 = ¿з = 0;
1 / 3k
Х\ = —
2 / 3k
з V i - k
COS р, Х2 = -
31k
cos р,
1 3k
Хъ = --
31k
cos р;
1 3k
У1 = -тг
2 3k
31k
Sin р, 2/2 = 77
31k
sin р,
1 / 3k
У з = -77
31k
sin р;
¿1 = ¿2 = -¿3 = 0.
В нашей работе, как и в [7], использовалась система динамических единиц:
1) единица расстояния — средний размер тройной системы
^ Е< тт
d =
\E\
где G — гравитационная постоянная, mi (i = = 1,2,3) — массы тел;
2) единица времени — среднее время пересечения компонентом тройной системы
_ VG(TLl тг?'2
(2|Я|)3/2 •
Мы полагаем, что G = 1, массы тел также принимаем равными единице.
Для каждой из рассмотренных нами тройных систем вычисления проводились до момента выполнения одного из двух условий:
1) максимальное взаимное расстояние между компонентами становилось больше, чем rmax = = 5d (происходит выброс из системы одного из компонентов — нарушается устойчивость системы; такие системы будем называть нестабильными; вероятно, дальнейшая эволюция системы приведет к ее распаду);
2) время существования системы до выброса t > 20 000т (движения тел ограничены в пределах сравнительно небольшого объема пространства — тройная система остается устойчивой на данном интервале времени; такие системы будем называть стабильными; согласно КАМ-теории в этом множестве должны существовать устойчивые по Лагранжу системы, сохраняющие ограниченные движения на бесконечном интервале времени).
Как и в [7], нами проводилось численное интегрирование уравнений движения общей задачи трех тел методом Булирша—Штера [9] с использованием регуляризации Арсета—Заре [10]. Все вычисления проводились по программе TRIPLE, составленной С. Арсетом (см. [11]). При вычислениях использовался параметр точности е = 5 х х 10"13.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
В [7, рис. 2] была построена карта областей устойчивости в координатах к и р при £ > 10 000т. На цитированном рисунке выделяются три большие области устойчивости, связанные с периодическими орбитами Шубарта, Мура и Брука. Б-орбита
(начальные условия: к % — и (р —^ находится в
3 3
верхней части области устойчивости, связанной с орбитой Шубарта.
В нашей работе было выполнено сканирование избранных участков плоскости (к,р) в зонах
Рис. 1. Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходной зоны от области орбиты Шубарта (слева) к области орбиты Мура (справа).
Т
20000
16000
12000
_I
0.49
к
8000
4000
0.45
0.46
0.47
0.48
Рис. 2. Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходной зоны от области орбиты Брука (слева) к области орбиты Мура (справа).
между областями устойчивости (переходные зоны). Проводилось одномерное сканирование вдоль отрезков прямых, попарно связывающих области устойчивости:
1) переходная зона между областью орбиты Шубарта и областью орбиты Мура р = 10к — 3.01;
2) переходная зона между областью орбиты Мура и областью орбиты Брука р = — 10к + 5.85.
Сканирование производилось с шагами длиной 5 х 10_6 по к и 5 х 10~5 по р. Для первой пере-
ходной зоны начальная точка (к, р) = (0.371, 0.70), конечная точка (к, р) = (0.411,1.10). Для второй переходной зоны начальная точка — (к, р) = = (0.485,1.00), конечная точка — (к, р) = (0.450, 1.35).
Результаты сканирования представлены на рис. 1 и 2. По оси абсцисс отложены значения координаты к вдоль сканируемых отрезков, по оси ординат — время Т нарушения устойчивости тройной системы. При Т = 20 000т система остается
Т
20000
8000 4000 0
(а)
Т
20000 16000 12000 8000 4000 0
(б)
0.37 0.38 0.39 0.40 0.41
0.37 0.38 0.39 0.40 0.41
Рис. 3. То же, что на рис. 1, при значениях параметра точности е = 5 х 10 12 (а) и е = 5 х 10 14 (б).
Т
20000
Т
опппп
0.45
0.46
0.47
0.48
0.45
0.46
0.47
0.48
Рис. 4. То же, что на рис. 2, при значениях параметра точности е = 5 х 10 12 (а) и е = 5 х 10 14 (б).
стабильной. Границы отрезков попадают внутрь соответствующих областей устойчивости, связанных с периодическими орбитами. В пограничных участках Т > 20 000т. Внутри переходных зон поведение тройных систем различно: в большинстве случаев системы нестабильны при Т < 20 000т; также наблюдаются островки стабильности, в которых Т > 20 000т. Как правило, время потери устойчивости не превышает 1000т. Границы областей стабильности, связанных с периодическими орбитами, могут быть как резкие (правая часть графиков на рис. 1 и 2, что соответствует области орбиты Мура), так и "размытые" (левая часть графиков на рис. 1 и 2, что соответствует областям орбит Шубарта и Брука).
Было проведено исследование зависимости результатов от принятого
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.