МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК 532.527.013.3:551.515.11
© 2008 г. М. В. КАЛАШНИК, В. О. КАХИАНИ, К. И. ПАТАРАШВИЛИ, С. ДЖ. ЦАКАДЗЕ
ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС В СЛОЕ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ПАРАБОЛОИДЕ ПРИ СКАЧКООБРАЗНОМ ИЗМЕНЕНИИ ЕГО УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
Теоретически и экспериментально исследован процесс установления состояния твердотельного вращения в слое жидкости во вращающемся параболоиде при мгновенном увеличении его угловой скорости. Теоретическое исследование выполнено в рамках линейной теории мелкой воды с учетом придонного экмановского трения. Получены аналитические решения, описывающие переходный процесс, исследована зависимость времени установления от глубины жидкости и радиуса кривизны параболоида. Показано, что эффект деформации свободной поверхности может приводить к значительному увеличению времени установления. Обнаружено хорошее согласие с результатами специально поставленных лабораторных экспериментов.
Ключевые слова: вращающаяся жидкость, экмановский пограничный слой, теория мелкой воды, спинап, спиндаун.
Если увеличить (уменьшить) угловую скорость вращающегося сосуда с жидкостью, то процесс установления нового состояния твердотельного вращения жидкости называется спинапом (спиндауном). В гидродинамике этих процессов, под которыми часто понимают общие процессы вязкой релаксации вращающейся жидкости, важную роль играют экмановские пограничные слои, формирующиеся у твердых границ и действующие как эффективные источники и стоки массы [1-4]. Возбуждаемая пограничными слоями радиальная циркуляция приводит к перераспределению углового момента жидкости и, в конечном итоге, к установлению стационарных состояний. Процессы спинапа (спиндауна) активно изучаются в связи с разнообразными геофизическими и техническими приложениями, такими как формирование атмосферных и океанических течений, вращение ядра Земли, гидродинамика вихревых аппаратов, см. [1-6] и цитируемую там литературу. В исследованиях этих процессов развиты эффективные аналитические и численные методы теории пограничного слоя [1, 7-9].
Теоретическим и экспериментальным исследованиям спинапа в замкнутых вращающихся резервуарах посвящена значительная часть известной монографии [1]. Гораздо менее полно переходные процессы исследованы для жидкости со свободной поверхностью. Такие исследования актуальны в связи с лабораторным моделированием вихревых течений мелкой воды во вращающихся параболических сосудах [10-14]. Затухание вихрей Россби на мелкой воде в параболоиде численно исследовалось в [10, 14]. В Приложении к монографии [10] представлена также экспериментальная зависимость времени спинапа от глубины жидкости в задаче с мгновенным увеличением (уменьшением) скорости вращения параболоида. В настоящей работе получено простое аналитическое решение этой задачи, которое сравнивается с результатами специально поставленных экспериментов.
1. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим параболоид с жидкостью радиуса Ь (параболический сегмент) с формой дна г = Нв(т) = кг2/2, вращающийся с угловой скоростью О вокруг вертикальной оси г (фиг. 1). Будем рассматривать осесиммет-ричные движения жидкости в цилиндрической системе координат, вращающейся вме-
Фиг. 1. Геометрия задачи: 1 - экмановский придонный пограничный слой
сте с параболоидом. При наличии относительных движений (отличных от твердотельного вращения) у дна параболоида формируется экмановский пограничный слой. Толщину этого слоя считаем постоянной, много меньшей глубины жидкости. Для описания движений жидкости во внутренней области вне погранслоя используем модель мелкой воды (длинноволновое приближение). В этом приближении распределение давления описывается уравнением гидростатики, и для горизонтальных компонент импульса имеем уравнения
йы V2 д О _.2
ТГТ-= - 8 дО + 0г (1Л)
иы2+ы = о, 1 = д+ы д (1.2)
йг ^ йг дг д г
Здесь ы, и - радиальная и тангенциальная компоненты вектора скорости и = (ы, и, w), / = 20 - параметр Кориолиса, 8 - ускорение свободного падения, О - высота свободной поверхности. В модели мелкой воды ы, и не зависят от координаты г, а вертикальная компонента w зависит от г линейно [2].
Вводя полную глубину жидкости Н = О - Нв(г), отсчитываемую от дна по вертикали, уравнение (1.1) можно записать в виде
й- и2 - и = - 8 дН " г (О** - о2), о* = (1.3)
где О* - стандартная угловая скорость вращения. Из (1.3) следует, что в отсутствие относительных движений
h = H -
Q N^-2
1-1
(1.4)
При вращении параболоида с угловой скоростью Q = Q* полная глубина h = H = const, при Q ф Q* появляется градиент полной глубины.
Влияние экмановского пограничного слоя на движение во внутренней области будем учитывать посредством граничного условия
N dhB
z = hB (r): (u, n) = (ub, n), n = ^ N = -— V + h (1.5)
где uB - вектор скорости на верхней границе погранслоя, n - единичная нормаль к поверхности параболоида, ir, iz - соответствующие орты цилиндрической системы коорди-
нат. С учетом явного выражения для нормали условие (1.5) можно записать в виде w - ы(йНв/йт) = |1Ч|(ив, п), или
г = Нв (т): * = и ^ + йЕ( т), 0Е( т) = (1 + к2 т2 )1/2( и в, п) (1.6)
Первое слагаемое в правой части (1.6) описывает вертикальную скорость, обусловленную движением вдоль наклонной границы, второе - дополнительную скорость ОЕ(т), создаваемую накачкой жидкости из экмановского слоя.
Граничное условие для * на свободной поверхности имеет обычный вид [2]
т дБ дБ ,1 „
г = Б (т, г): * = -=— + и (1.7)
дг д т
Интегрируя уравнение неразрывности по толщине слоя и используя условия (1.6), (1.7), получим уравнение баланса массы для внутренней области
д + ~т( тию = Ое( т) а.8)
Если экмановская скорость ОЕ(т) выражена через скорость и во внутренней области, уравнения (1.2), (1.3), (1.8) образуют замкнутую систему. Связь ОЕ(т) с и можно получить на основе методов теории пограничного слоя, развитых в [1].
Рассмотрим в рамках сформулированной системы следующую задачу. Параболоид с жидкостью вращается со стандартной угловой скоростью О = О*, которой отвечает постоянная глубина жидкости Н по вертикали. Затем в некоторый момент времени его угловая скорость увеличивается скачком на величину еО. Требуется описать процесс установления нового состояния твердотельного вращения.
Решение задачи получим в системе координат, вращающейся с угловой скоростью О*. В этой системе увеличение угловой скорости вращения параболоида отвечает мгновенному увеличению тангенциальной скорости дна от нуля до и = ит(т) = еОт. Будем считать е ^ 1, а также использовать допущение о малости радиальной компоненты скорости по сравнению с тангенциальной. При этих допущениях (1.2), (1.3) сводятся к линейным уравнениям
+ » = 0, /и = * и (1.9)
где п = П(т, г) - отклонение полной глубины от Н. Второе уравнение (1.9) описывает геострофический баланс, т.е. баланс между градиентом давления и силой Кориолиса.
Выражение для экмановского переноса массы (ив, п) в случае произвольного осесим-метричного резервуара и малой разности тангенциальной скорости стенки ит и скорости жидкости во внутренней области и получено в [1] (формула (2.6.13), стр. 46). В несколько отличной от [1] размерной векторной записи,
(и» п) = I(п ЧВД)) « = (и-%)!,. 5е = Д <1-'0>
где 5Е - так называемая толщина экмановского слоя, V - кинематическая вязкость жидкости. Используя (1.10) для вычисления ОЕ(т), линеаризованное уравнение баланса массы запишем в виде
дп „ 1 д , ч §е 1 д г „, ч, ч,
тГ! + Н - ти) = тК( т)(и-ит)]
дг тдт 2 тдт (1 11)
K(r) = 4
2 2 1 + К Г
При к = 0 (K(r) = 1) правая часть (1.11) представляет собой хорошо известную формулу для скорости экмановской подкачки QE(r) над плоским дном [2]. Коэффициент K(r) учитывает геометрические эффекты, связанные с кривизной параболоида.
Замкнутую систему (1.9), (1.11) рассматриваем в области 0 < r < L с нулевыми начальными условиями для и, и, п и граничными условиями и = 0, и = vT при r = L.
2. Аналитические решения. Система (1.9), (1.11) имеет очевидное стационарное решение
д пт
и = 0, и = vT = eQr, п = П т (r), f ит = g^^r
(2.1)
Это решение описывает состояние твердотельного вращения, устанавливающееся в процессе спинапа. Распределение цт(г) должно удовлетворять условию, вытекающему из условия сохранения полной массы
JnT (r) rdr = 0
о
С учетом (2.1), отсюда
Пт (r) = N
N
eQ2 L2
(2.2)
Для описания процесса установления стационарного решения удобно свести систему (1.9), (1.11) к одному уравнению для п, исключив и, и
dt
1 д д п 1
--r^ - — П
L2
rdr dr
+ (rK(r)dr(п - Пт)
L = -JgH Lr = f,
Te =
TErdr
H
0
(2.3)
JvQ
1 H Q5 „
В уравнении (2.3) LR - радиус деформации Россби, te - экмановский временной масштаб (spindown time). В выражениях для te из второго равенства следует, что в характерном случае H > SE этот масштаб много больше периода вращения системы.
Построим решения (2.3) для некоторых предельных случаев. Принимая радиус параболоида L в качестве пространственного масштаба, легко видеть, что отношение второго слагаемого в квадратных скобках (2.3) к первому (лапласиану) равно числу Фруда
F = L2/LR . Если L < Lr (F < 1), то вторым слагаемым можно пренебречь, что эквивалентно пренебрежению деформацией свободной поверхности. С учетом и = ^/^дп/д r уравнение (2.3) сводится к простейшему уравнению
ди K(r), — + —--i(v- ит)
t
0
E
решение которого
и
Ьт (r)
1 - exp( -
K (r )_tj
(2.4)
Как следует из (2.4), при F < 1 время установления стационарного состояния зависит от радиуса
Хр
% =
4Г1 ~2 4*1 + к r
(2.5)
причем на периферии оно меньше, чем в центре.
L
Рассмотрим теперь случай умеренных и высоких значений F. Аналитическое решение полного уравнения (2.3) при этом можно построить если K(r) = 1. Последнее условие выполняется для пологих параболоидов, таких, что параметр
P = к2 Ь = (L/R )2 ^ 1
Здесь R = 1/к - радиус кривизны параболоида в полюсе. Удобно представить П = Пт(т) + П*(т, г), и для нахождения п* (отклонения от стационарного решения) использовать стандартный метод разделения переменных. Полученное таким образом решение, удовлетворяющее нулевому начальному условию и дп/д т = дпт/д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.