ПЕРЕНОС ПРИМЕСИ В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОИ СРЕДЕ
С СОРБЦИЕЙ
Л. В. Матвеев*
Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук
115191, Москва, Россия
Поступила в редакцию 14 марта 2012 г.
Развита нестационарная модель переноса в двухпористой (трещиновато-пористой) среде, способной сорбировать примесь. Показано, что в течение большого промежутка времени отсутствие равновесия между растворенной и адсорбированной фазами приводит к возникновению неклассических режимов переноса. Указаны значения параметров, при которых поведение системы не описывается общепринятой моделью равновесной сорбции даже на больших временах, когда равновесие между растворенной и адсорбированной компонентами можно считать установившимся.
1. ВВЕДЕНИЕ
Как показывают многочисленные исследования миграции примеси в силыгонеоднородных средах, проведенные за последние десятилетия, в большинстве случаев перенос не описывается классическим режимом адвекции диффузии [1 4]. Скорее, имеет место аномальный характер переноса, когда среднее смещение (г) и дисперсия а(1) частиц зависят от времени как Р, где 7 < 1 для (г), и 7 ф 1/2 для и(1). В общем случае режим определяется геометрическими характеристиками сред (статистически однородные, регулярно неоднородные, фрактальные среды), а также физическими механизмами переноса (диффузия, адвекция). Одним из факторов, способных существенно повлиять на скорость и режим переноса, является возможность взаимодействия частиц примеси со средой [4]. Так, хорошо известно [5], что скорость переноса примеси в насыщенных влагой неоднородных (пористых либо трещиноватых) геологических средах в значительной степени определяется их способностью сорбировать эту примесь. В зависимости от того, происходит ли сорбция на поверхности каналов, по которым просачивается влага, или на подвижных коллоидах, скорость переноса может как уменьшаться, так и увеличиваться. Как правило, при моделировании переноса загрязнений в таких неоднородных средах используют модель равновесной сорбции, полагая, что концен-
E-mail: matweevöibrae.ac.ru
трации растворенной и адсорбированной компонент однозначно связаны коэффициентом распределения ко [5]. В случае, когда учитывается сорбция примеси только па стопках трещин, система уравнений сводится к уравнению для одной компоненты (концентрации в растворе), которое сохраняет свой вид адвекции диффузии, но параметры, описывающие перенос (скорость адвекции и и коэффициент дисперсии £>), уменьшаются в Я раз [5]: ис// = и/Я, Юсц = Б/Я. Параметр Я носит название коэффициента задержки и, в свою очередь, определяется коэффициентом равновесного распределения ко Я= 1 + ко-
Для обоснования справедливости такого подхода необходимо, чтобы время установления равновесия было мало. Если мы имеем дело с однородной пористой средой, то переносимая в растворе примесь адсорбируется на поверхности каналов, по которым происходит просачивание влаги. В этом случае время установления равновесия есть характерное время диффузии примеси в растворе на масштабах порядка апертуры канала, 2и. При и ~ 1 мкм и коэффициенте молекулярной диффузии примеси в растворе (1т « Ю-6 см2/с имеем т « и2/<1т ~ Ю-2 с, что в практически важных случаях оправдывает применение равновесного приближения для однородной пористой среды.
Однако часто, как, например, для трещиновато-пористых сред, приближение однородной пористости является недостаточным. В этом случае опи-
Схематическое изображение двухпористой среды
санио строится на базе двухпористой модели [6], в рамках которой среда представляется как совокупность двух подсистем: 1) хорошо проницаемых каналов (как правило, соответствующих сетке трещин) и 2) слабопроницаемых пористых блоков, заполняющих пространство между каналами (трещинами). Основным механизмом переноса примеси на большие расстояния здесь является адвекция по первой подсистеме, в то время как блоки играют роль ловушек, тормозящих перенос. Если вмещающая среда способна адсорбировать примесь, то процесс сорбции будет происходить не только на поверхности трещин, формирующих первую подсистему, но также на стенках мелких каналов, образующих слабопроницаемую пористость блоков. В этом случае характерное время установления равновесия будет т ~ Ь2/(1, где 2Ь характерный размер блоков (см. рисунок), а (1 эффективный коэффициент диффузии примеси в блоках, который существенно меньше коэффициента молекулярной диффузии в растворе, (1 -С (1т. Последнее является следствием двух факторов: 1) сильной изогнутости каналов, по которым происходит диффузия примеси внутри блоков и 2) уменьшения (1 в Я раз вследствие сорбции, поскольку для дайной подсистемы равновесие между растворенной и сорбированной примесями устанавливается быстро и внутри блоков приближение равновесной модели справедливо.
Характерные размеры Ь блоков порядка расстояния между трещинами и могут меняться в широких пределах (для геологических сред, например, см. [7]). Если для оценки взять Ь ~ 10 см, (1 ~ Ю-8 см2/с, то для характерного времени получаем т ~ Ю10 с « 300 лет. Для таких времен пользоваться равновесным приближением для описания миграции примеси нельзя.
Целыо настоящей работы является построение модели неравновесных режимов переноса примеси в
статистически однородной двухпористой сорбирующей среде. В разд. 2 содержится постановка задачи и выписаны основные соотношения. Раздел 3 посвящен описанию режимов переноса. Основные выводы и сравнение со стандартной равновесной моделью приведены в Заключении.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Перепое примеси внутри насыщенных влагой трещин описывается классическим уравнением адвекции диффузии
дс
— + СИУ(ус — <1тУс) = 0, (1)
где с концентрация примеси в растворе в трещинах, V = у(г, локальная скорость течения в трещинах.
После стандартного усреднения уравнения (1) по пространству на масштабах, много больших характерного размера Ь блоков (рисунок), получаем (см., например, [8])
л—
^-Ниу(у7=-ЯУ7=) = -д, (2)
где
- 1 Г ,3
с = — / с а г.
V .7
V
V объем усреднения (V Ь?'), и средняя скорость адвекции, О коэффициент (в общем случае, тензор) дисперсии, а С) плотность стока частиц примеси из раствора внутри трещин в блоки в пересчете на единицу объема. Коэффициент дисперсии О содержит две части, одна из которых определяется вкладом молекулярной диффузии с1т, а вторая флуктуирующим гидродинамическим переносом [8]. Согласно экспериментальным данным, приведенным в обзоре [9], £> ~ йт при Ре < 1 и при £) ~ (1т Ре при Ре 1, где число Пекле есть Ре = Ьи/(1т. Учитывая, что миграция примеси на большие расстояния определяется переносом по системе трещин, ниже примесь в трещинах с концентрацией с мы называем активной примесыо.
Решается задача с начальным условием
с(гЛ = 0) =г(0)(г). (3)
В представлении Фурье Лапласа уравнение (2) принимает вид
(р + ¿к • и + Б к2) срМ = -<ЭР1к + ?{0), (4)
где фурьо-образ начального распределения
примеси с(0)(г).
В силу линейности задачи связь между С)Р:к и к также должна быть линейной. Кроме того, считаем, что поступление примеси в блоки происходит только из раствора в трещинах, т.е. блоки не обмениваются примесыо непосредственно друг с другом. В итоге имеем
Яр, к = Л(р)сР;к,
(5)
где вид функции Л(р) будет определен ниже.
Из уравнения (4) и выражения (5) для концентрации активной примеси в представлении Фурье Лапласа следует
=
р + А(р) + 1к ■ и + Ш-2
(6)
С помощью обратного преобразования Фурье Лапласа сР:к находим
7=(*,г) = у (1т'С(1,т — г')г(0^(г'), (7)
где функция Грина Ст(1,т) после интегрирования по волновому вектору определяется выражением
^г)=^р(ц-г/2Д)х
4 -к В г
¿ + ¿00
с1р
——: ехр [—Ф(/>; г)1 2тгг
Ие/ > 0, (8)
/ — ¿ОС!
иг Г.-?—
и введено характерное время
/„ = \1)/,г.
А(р)} (9)
(Ю)
Для определения функции А(р) вычислим поток примеси на отдельный блок.
Уравнение для концентрации п примеси в растворе в порах внутри блока имеет вид
дп
Ж
= /.),„ А;/.
(П)
Усредняя уравнение (11) по пространству внутри блока (на масштабах, много больших размеров пор, но много меньших Ь) и учитывая, что для средней концентрации примеси в растворе п применимо приближение равновесной сорбции, получаем уравнение
т^дп
Г — = (/Атт. д1
(12)
где эффективный коэффициент диффузии й учитывает свойства среды блоков (пористость, искривленность путей миграции).
В начальный момент времени примеси в блоках нет,
п(гЛ = 0) = 0. (13)
Условие на границе блока (с учетом того, что с есть концентрация активных частиц, усредненная на масштабах, много больших Ь) имеет вид
где
1ъ\ьоипс1 — А. С,
= Рь/<Р/г
(14)
(15)
(рь величина пористости в блоках, а <р/г удельная доля объема, занимаемого трещинами.
Поток примеси из пространства внутри трещин на один блок определяется выражением
ц = -й у) УтйЗ,
(16)
где интегрирование проводится по поверхности блока Бь- Вводя объем Уь, приходящийся на один блок, для плотности стоков в уравнении (2) имеем
Я = ч/Уь.
(17)
Найдем выражения для функции А(р) в двух предельных случаях, больших и малых р. Для этого заметим, что режимы переноса примеси внутри блока существенно различаются на больших и малых временах. Именно, на временах I -С ¿ь, где
п~{Ю 7Г
(I = (1/К
(18)
(19)
примесь, ушедшая в блок, занимает лишь узкий слой вблизи поверхности блока. В этом случае задачу диффузии примеси в блок можно рассматривать как одномерную. Тогда в представлении Лапласа уравнение (12) принимает вид
р_ д2п (1 ' 9х'2 '
(20)
где ось х направлена в глубь блока по нормали к границе с началом на его поверхности. Решение, убывающее при х ос, с учетом граничного условия (14) имеет вид
п =
(21)
8 ЖЭТФ, выи. о (11)
945
Подставляя это выражение в (16), а затем в (17), получаем
I р _
Qp,k ~ 1 — (22)
где введено новое характерное время
н У21
SbARj à'
ta =
(23)
В итоге, замечая, что интервал t -С tb соответствует значениям переменной Лапласа р Э- t^1, с учетом (5) для функции А(р) при pt-ь 1 имеем
(24)
Перейдем к временам I Удобно выделить
в уравнении (12) малый параметр. Для этого приведем пространственную координату к безразмерному виду, разделив ее
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.