ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 2, 2015
УДК 531.36 : 534.1
© 2015 г. В. Н. Тхай
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОЙ ОБРАТИМОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Изучаются периодические движения в случае, когда на обратимую механическую систему действуют возмущения общего вида, и возмущенная система перестает быть обратимой. Находятся условия существования периодических движений возмущенной системы, которые при нулевом значении малого параметра переходят в симметричные периодические движения обратимой механической системы, не вырождающиеся в равновесия. Рассматриваются как автономные, так и периодические возмущения. Для исследуемых систем выводятся амплитудные уравнения, простые корни которых отвечают периодическим решениям возмущенной системы. В результате для автономной системы находятся циклы, для периодической системы — изолированные периодические движения. Исследуются как отдельная система, так и модель, содержащая связанные подсистемы. Подсчитываются характеристические показатели циклов. Доказывается, что в системе, описываемой уравнениями Лагранжа с позиционными силами, любое колебание симметрично и принадлежит семейству. Также выводится, что для реализации цикла или, в случае неавтономных сил, — изолированного периодического движения необходимы зависящие от скоростей силы определенной структуры. В качестве приложения исследуется задача о колебаниях спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов, в которой устанавливается существование несимметричных изолированных колебаний на слабо эллиптической орбите.
В механике обычно используются модели, которые не содержат в явном виде время (уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона, уравнения в квазикоординатах, задача трех тел, уравнения Эйлера—Пуассона и др.). Действие тел, не включенных в данную систему, учитывается в рамках теории возмущений. Возмущения могут сохранять автономность системы или же приводить к системе, близкой к автономной, — квазиавтономной системе. Другая сторона проблемы связана с учетом математического класса, к которому принадлежит механическая модель, и класса действующих возмущений. Например, модель может описываться гамильтоновыми уравнениями, а возмущения могут или сохранять гамильтоновый характер системы, или же возмущенная система будет описываться системой общего вида — системой обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши без каких-либо дополнительных ограничений. В теории и приложениях обычно принимается, что возмущения принадлежат к тому же классу, что и модель, или рассматриваются из более широкого класса. В качестве базовой механической модели можно выбрать обратимые механические системы, обладающие фундаментальным свойством пространственно-временной симметрии. Такие свойства имеют модели классической и небесной механики [1, 2], а также ряд других моделей природы [3].
Постановка задачи о периодических движениях возмущенной системы принадлежит Пуанкаре [4]. В ней выделяются грубый и негрубый случаи [5]. В грубом случае свойства порождающей системы таковы, что возмущенная система обладает периодическим решением независимо от конкретного вида возмущений. В негрубом случае факт существования периодического решения устанавливается привлечением к рассмотрению возмущений. Задаче Пуанкаре посвящены многочисленные исследования. Необходимые ссылки даются в тексте статьи.
При действии на обратимую механическую систему возмущений общего вида возникает негрубый случай, что связано с существованием в ней семейства периодических движений. Такой
случай исследовался для квазиавтономной системы, близкой к консервативной системе с одной степенью свободы [6], для локальных периодических движений системы произвольной размерности ([5] и [7], разд. 7), а также для эквивариантных (едшуапап!;) обратимых систем ([8], разд. 7).
Отметим, что полученные ниже выводы распространяются на случай, когда порождающая и возмущенная системы описываются системой общего вида. При этом можно получить обобщения ранее известных ([9], гл. 6, §2 и 8) результатов.
1. Анализ порождающей системы. Рассмотрим гладкую систему и = U(и, и) + ц U, (ц, и, и, t), о = V(и, и) + ц V,(ц, и, и, t)
U(и, -и) = -U(и, и), V(и, -и) = V(и, и);
Rl
и е Rn, l> n
(1.1)
(ц — параметр).
При ц = 0 имеем обратимую механическую систему с неподвижным множеством M = {u, и: и = 0} — систему A, которую выбираем в качестве порождающей системы. Тогда при ц Ф 0 получим возмущенную механическую систему. Возмущения Ul(ц., u, и, 0, ^(ц, и, и, t) могут сохранять или не сохранять свойство обратимости системы. Рассматриваются возмущения общего вида, не ограниченные каким-либо дополнительным условием.
Необходимые и достаточные условия существования симметричных периодических движений (СПД) в системе A известны [10].
Пусть порождающая система допускает СПД в виде колебаний. Тогда имеем [10]
U(Ui, ..., и,, T) = 0, s = 1,
n
(1.2)
((щ , ..., щ) — точка на неподвижном множестве, T — полупериод колебаний), причем система (1.2) допускает решение
и, = и
1
и, = и*
T = T*
(1.3)
(без ограничения общности ниже полагается 7* = п). Вычислим в точке (1.3) ранг матрицы
B =
дvs(u°0, ..., и, T)
д и0
(звездочка означает подстановку значений (1.3)).
Определение. Случай, когда rank B = n, назовем невырожденным для СПД с начальной точкой (1.3).
Лемма 1. В невырожденном для СПД случае решение принадлежит к семейству СПД, и на нем период зависит от одного параметра.
Доказательство. При выполнении условия rank B = n применяется теорема о неявной функции, и n начальных величин ы° в системе (1.2) находятся как функции оставшихся l — n начальных величин и полупериода T. Получим семейство СПД. Вторая часть утверждения следует из ранее полученных результатов [11].
Замечания. 1°. В системе второго порядка монотонная зависимость периода от одного параметра свидетельствует о невырожденном для СПД случае [11].
2°. Пример показывает [11], что даже в случае l = n размерность СПД может быть больше l — n + 1 (в задаче двух тел имеем l = n = 2, а семейство СПД — семейство эллиптических орбит зависит от двух параметров).
Ниже рассматривается семейство СПД с размерностью l — n + v, 1 < v < n, обозначаемое через Z(h) (h — параметр семейства). На Z(h) примем
и = ф(h, t + у), и = y(h, t + у)
(у — параметр сдвига по траектории). Тогда для решения с начальной точкой (1.3) имеем h = h*. Это решение называется далее опорным.
Составим для опорного СПД систему уравнений в вариациях
5 и = A_( OS и + A+(t)5 и, до = B+ (05 и + B (05 и; 5 и е R1, 8 и е Rn (1.4)
(параметр у опущен). Так как СПД задается функциями u — четной по t и и — нечетной по t, то в системе (1.4) коэффициенты — четные или нечетные функции времени; здесь и всюду ниже индексом плюс (минус) обозначены матричные, векторные и скалярные четные (нечетные) функции; период функций A±(t), B±(t) равен 2п.
Система (1.4) инвариантна относительно преобразований
(Su, Sv, t) ^ (±5и, -5 и, -t) т.е. обратима с двумя неподвижными множествами
M1 = {5 и, 5 и, t : 5 и = 0, sin t = 0} M2 = {5и,5и, t : 5и = 0, sint = 0}
Понятно, что наличие первого из этих множеств связано с обратимостью системы A и симметрией опорного СПД; множество Mx наследует в системе (1.4) неподвижное множество M системы A.
Лемма 2. Система (1.4) приводится к системе к постоянными коэффициентами посредством преобразования
= 5и) + (q- 5и), i = 1, I
(1.5)
П = (Pj, 5и) + (q+, 5 и), j = 1, ..n
(векторы p± , q± — 2п-периодические по t). При этом неподвижные множества Mx и M2 переходят в неподвижные множества M* = п : П = 0} и Mn = n : \ = 0}.
Доказательство. В приводящем преобразовании Ляпунова (см., например, [13], с. 216) учитывается обратимость сопряжений к (1.4) системы. При этом также устанавливается переход множеств Mx и M2 в множества M* и Mn.
Окрестность СПД характеризует важная лемма.
Лемма 3. В невырожденном для СПД случае система уравнений в вариациях (1.4) приводится по нулевым характеристическим показателям к виду
i- = 0, i = 0, n = j i = 1,., I - n, j = 1,...,v (1.6)
Доказательство. В невырожденном для СПД случае система (1.4) имеет только l — n периодических решений, симметричных относительно множества Mx [11, 12]. Обозначим их через р. Рассматривается семейство E(h) размерности l — n + v, поэтому уравнения (1.4), кроме решений в, имеют v периодических решений 8. Решения 8 симметричны относительно множества M2.
Решениям в соответствуют l — n простых нулевых характеристических показателей (ХП). Остальные ХП разбиваются на пары и вычисляются из полинома n-го порядка [12]. При этом в каждой паре нулевому ХП отвечает второй нулевой ХП. Поэтому, после применения приводящего преобразования (1.5) леммы 2, система (1.4) приобретает вид (1.6), где в подсистеме для переменных j г|у- нет периодических решений, симметричных относительно множества M*.
Замечание. Из леммы 3 также следует, что СПД, принадлежащему семейству размерности l — n + v, отвечают l — n + 2v нулевых ХП, из которых (l — n) — простые, а остальные образуют v жордановы клетки.
2. Существование цикла возмущенной автономной системы. Частные производные Зи/Зц, Зи/Зц от решения системы (1.1) по параметру ц при ц = 0 находятся из линейной неоднородной системы
5и = Л_(к*, г + у)5и + Л+(к*, г + у)5 и + и1 (0, ф, у, г) 5 и = В+ (к*, г + 7)5и + в_(к*, г + у)5и + ¥1 (0, ф, у, г) .
в которой в отличие от системы (1.4) вместо ? берется ? + у и учитывается значение к* для опорного решения. Применим к системе (2.1) замену (1.5). Тогда по нулевым ХП получим подсистему
= н/к*, г + у, г), ^ = 1.....1 - п + V
П = ^ + Н(к*, г + у, г), ] = 1,..., V (2.2)
н = Р+, н = Р-
где
I
Р± = X Р±а( к*, г + у) (0, ф( к*, г + У), у( к *, г + у), г) +
а = 1
п
+ X <£Р( к *, г + у) ^ (0, ф( к *, г + У), у( к*, г + у), г)
в = 1
В правые части уравнений время ? входит через опорное решение, а также непосредственно из возмущения.
В дальнейшем рассматриваются раздельно автономный случай, когда возмущения ^(ц, и, и), ^(ц, и, и) не зависят явно от времени, и неавтономный случай, когда возмущения Ц[(ц, и, и, 0,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.