АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 5, с. 395-407
УДК 523
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ © 2013 г. А. И. Мартынова*, В. В. Орлов**
*Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет **Санкт-Петербургский государственный университет, Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН
Поступила в редакцию 20.12.2012 г.
В окрестности периодических орбит выделены области устойчивости и исследованы особенности движений. Структура областей устойчивости исследована в окрестности орбит Шубарта, Мура, Брука, $-орбиты и орбиты Дукати. Выявлены следующие свойства движений вблизи этих периодических орбит: либрация, прецессия, симметризация, централизация, соскок — переход между типами траекторий, выбросы и др.
Б01: 10.7868/80320930X13040038
В общей задаче трех тел известно несколько периодических орбит: аналитические решения Эйлера и Лагранжа, орбита Шубарта, орбита Брука, орбита Мура, орбита Дукати, орбита Чена и др. Траектории движения тел в этих случаях показаны на рис. 1.
Moore (1993) получил ряд простых периодических решений в задаче трех тел со степенным потенциалом взаимодействия. Он использовал минимизацию функционала действия и топологическое представление движений в виде кос. В частности, он впервые получил периодические орбиты "восьмерку" и Дукати.
Три известные устойчивые периодические орбиты (Шубарта, Мура и Брука) обладают важным общим свойством в случае равных масс: во время движения одно тело проходит в точности через центр масс тройной системы между двумя другими телами. В этот момент все три тела располагаются на одной прямой, причем для орбиты Шу-барта угол между вектором скорости центрального тела и этой прямой равен нулю, для орбиты Брука он равен 90°, а для орбиты Мура — около 57°. Будем задавать начальные положения и скорости в этот момент с помощью двух параметров: вириального коэффициента k е (0, 1) и угла ф е (0, я/2) (см. рис. 2).
Вычисления всех траекторий проводим до выполнения одного из двух условий:
1) время вычислений t > 10000т;
2) максимальное взаимное расстояние rmax > 5 d (система переходит в состояние выброса).
Здесь т — среднее время пересечения, d — средний размер тройной системы.
На рис. 3 выделяются непрерывные области и отдельные точки с ? > 10 000т, для которых все время эволюции гтах < 5d.
Три самые большие непрерывные области связаны с тремя устойчивыми периодическими орбитами Шубарта, Мура и Брука.
Начальные условия на плоскости (к, ф) для этих орбит следующие:
1) орбита Шубарта (к, ф) = (0.206, 0°);
2) орбита Мура (к, ф) = (0.485, 56.9°);
3) орбита Брука (к, ф) = (0.418, 90°).
На рис. 4 представлены различные варианты траекторий из областей устойчивости.
На рис. 5 представлены различные варианты траекторий из области устойчивости, связанной с орбитой Шубарта. На левом рисунке наблюдается либрация витков траектории, а на двух других рисунках орбиты близки к резонансным.
В верхней части области устойчивости, порожденной орбитой Шубарта, была обнаружена близкая к периодической 8-орбита. Эта орбита представляет собой "разорванную" орбиту Мура, или ее можно считать криволинейной орбитой Шубарта с двумя точками возврата для крайних тел и двумя точками соударений центрального тела с каждым из крайних тел. Эта орбита обладает центральной симметрией.
На рис. 6 имеется область начальных условий для систем, в которых траектории движений тел похожи на 8-орбиту, согласно следующим критериям:
1) время эволюции системы ? > 1000т;
2) все величины минимумов модуля скорости внешнего левого тела не превосходят критическую величину УтП = 0.1;
Рис. 2. Начальные условия.
3) удовлетворяется неравенство <Р < 0.05т, где <Р — стандартное отклонение для интервала времени между последовательными прохождениями крайнего левого тела окрестности точки возврата (средний период Р тройной системы).
Внутри этой области имеются зоны, в которых условия критерия не выполняются.
На рис. 7 представлен пример траектории с начальными условиями в этой области и длительным временем жизни. В начале эволюции происходит прецессия витков траектории. Затем наблюдается серия "игольчатых" выбросов "взрывной природы" одного из крайних тел, а затем центрального тела. Траектория занимает компактную область.
В пространственном случае (с ненулевыми начальными координатами и/или скоростями вдоль оси I) происходит разворот прецессирующей орбиты (см. рис. 8).
Более детально был исследован процесс формирования игольчатых выбросов и короны. Происходит переход от квазиустойчивых регулярных движений к нерегулярному режиму. Сначала происходят движения, близкие к 8-орбите, с прецессией и либрацией (см. рис. 9). Затем происходят срывы траекторий крайних тел и наблюдаются выбросы одного из крайних тел. Два других тела при этом формируют тесную двойную систему в противоположной стороне.
Ф
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
к
Рис. 3. Области устойчивости.
Далее (см. рис. 10) приводятся отдельные типичные фрагменты эволюции. Выброшенное тело и каждый из компонентов двойной совершают запутанные движения вблизи вершин равностороннего треугольника (прилипание к точкам Лагранжа). Происходят взаимодействия тел и игольчатые выбросы, образуются короны из витков траекторий удаленного компонента и витков траекторий компонентов внутренней двойной, короны прецессируют и через некоторое время разрушаются. Разрушение корон приводит к новой серии выбросов. После этого вновь образуются короны. На некоторых этапах эволюции движения напоминают движения в окрестности периодической отбиты Брука. Происходит временное "прилипание" к этой орбите, названное нами ме-тастабильным режимом.
Рис. 4. Типичные траектории из областей устойчивости. АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 47 № 5 2013
0.5-1-1-1-1-1
0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
к
Рис. 6. Область устойчивости вокруг 8-орбиты.
На рис. 11 показан фрагмент траектории в окрестности точек Лагранжа и последующие игольчатые выбросы.
На рис. 12 показан фрагмент траектории в окрестности точек Лагранжа с последующими игольчатыми выбросами в другой интервал времени. Таким образом, траектория в тройной системе может несколько раз "прилипать" к точкам Лагранжа.
На следующей стадии эволюции формируется корона (см. рис. 13). В течение эволюции корона испытывает пульсации и прецессирует. При этом два других компонента образуют тесную двойную,
центр масс которой отслеживает пульсации витков траектории удаленного компонента. Кольца, образованные витками траекторий удаленного компонента и внутренней двойной, центрируются на центр масс тройной системы.
На рис. 14 показан выброс одного из тел из окрестности точки Лагранжа.
На рис. 15 показано "прилипание" траектории к окрестности периодической орбиты Брука.
На рис. 16 представлена эволюция короны в течение длительного времени. Корона испытывает пульсации и сужается. В ходе эволюции в некоторых частях корона вырождается в дуговые линии.
Рис. 7. Пример траектории из области устойчивости вокруг 8-орбиты. Начальные условия: (1x1 = 0.1, йу1 = 0.1. Время вычислений Г = 1500 Р.
2 х
-1 -2
2 -2
Рис. 8. Пример прецессирующей траектории с вращением вокруг центра. Начальные условия: dvyl = 0.01, Время вычисления Г = 1500 Р. Временные интервалы: Г = [0, 10] Р, Г = [50, 100] Р, Г = [450, 500] Р.
2 х
= 0.028.
Задача приближается к проблеме двух тел — удаленный компонент и центр двойной. В кольцах, образованных витками траекторий компонентов внутренней двойной и удаленного тела, в ходе эволюции происходит сближение центров и совмещение с центром масс тройной системы, названное нами централизацией.
В ходе эволюции тройных систем с начальными условиями в окрестности орбиты Брука также могут появляться те же стадии эволюции, что и в окрестности 8-орбиты. На рис. 17 видны короны, образованные витками траекторий разных тел. Вначале она образована витками одного тела, при
этом два других тела образуют двойную. Затем витки траектории тел "прилипают" к точкам Лагранжа. После этого образуется корона из витков траектории другого тела. При этом два других тела формируют тесную двойную.
Похожий характер эволюции наблюдается в окрестности орбиты Мура (см. рис. 18). Имеет место "соскок" с "восьмерки", игольчатый выброс одного из тел, его возвращение к точке Лагранжа и последующие выбросы двух тел из окрестностей точек Лагранжа. В дальнейшем образуется широкая корона из витков траекторий
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
х
Рис. 9. Стадии эволюции индивидуальной траектории с начальными условиями: йу^ = 0.03, йу2 = —0.01. Временные интервалы: (а) Г = [0, 488] Р; (б) Г = [488, 493] Р; (в) Г = [493, 497] Р.
У 0.8
0.4
0
0.4
0.8
1.2
(а)
(б)
_|_I_I_I_I_I
-2 — 1 0 1 2 3 4 —6 —4 —2 0 2 4 хх
У
2 1 0 —1 —2 —3 —4
(в)
(г)
_|_I_I_I_I
_|_I_I_I_I
6—4 —2 0 2 4 —6 —4 —2 0 2 4 хх
Рис. 10. Стадии эволюции отдельной траектории с начальными условиями: йу^ = 0.03, йу2 = —0.01. Временные интервалы: (а) Г = [497, 499] Р; (б) Г = [499, 510] Р; (в) Г = [510, 525] Р; (г) Г = [550, 575] Р.
У
6
4
х
Рис. 11. Стадии эволюции отдельной траектории с начальными условиями: йу1 = 0.03, йу2 = —0.01. Фрагмент траектории вблизи точек Лагранжа. Временной интервал: I = [570, 575] Р.
2
0
4
2
0
0
2
Рис. 12. Стадии эволюции той же траектории.
Начальные условия: dy = 0.03, dy2 = —0.01. Фрагмент эволюции вблизи точек Лагранжа и переход в состояние выброса. Интервалы времени: (a) t = [730, 732] P; (б) t = [730, 735] Р.
Рис. 13. Стадии эволюции той же траектории.
Начальные условия: dy = 0.03, dy2 = —0.01. Формирование и эволюция короны с переходом в игольчатый выброс. Интервалы времени: (a) t = [740, 800] P; (б) t = [800, 1000] P.
одного из тел, которая в дальнейшем сужается в течение нескольких оборотов прецессии.
Далее рассмотрим движение в окрестности периодической орбиты Дукати, которая была обнаружена в работах Moore (1993), Vanderbei (2004) и Петрова (2004). Мы использовали начальные условия Петрова. Одно из тел движется вдоль замкнутой кривой, похожей на окружность, а два других тела движутся по вытянутым замкнутым
кривым, ортогональным друг к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.