пределениях случайных величин и доверительного оценивания плотности вероятности.
Работа выполнена в рамках проектной части государственного задания Минобрнауки РФ № 2.914.2014/К.
Л и т е р а т у р а
1. Лапко А. В., Лапко В. А. Сравнение эффективности методов дискретизации интервала изменения значений случайной величины при синтезе непараметрической оценки плотности вероятности // Измерительная техника. 2014. № 3. С. 5—8.
2. Лапко А. В., Лапко В. А. Непараметрические методики анализа множеств случайных величин // Автометрия. 2003. Т. 39. № 1. С. 54—61.
3. Лапко А. В., Лапко В. А. Регрессионная оценка плотности вероятности и ее свойства // Системы управления и информационные технологии. 2012. Т. 49. № 3.1. С. 152—156.
4. Лапко А. В., Лапко В. А. Построение доверительных границ для плотности вероятности на основе ее регрессионной оценки // Метрология. 2013. № 12. С. 3—9.
5. Parzen E. On estimation of a probability density function and mode // Ann. Math. Statistic. 1962. V. 33. N. 3. P. 1065—1076.
6. Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятности и ее применения. 1969. Т. 14. № 1. С. 156—161.
7. Лапко А. В., Лапко В. А. Оптимальный выбор количества интервалов дискретизации области изменения одномерной случайной величины при оценивании плотности вероятности // Измерительная техника. 2013. № 7. С. 24—27.
8. Freedman D., Diaconis P. On the histogram as a density estimator: L2 theory // Probability Theory and Related Fields (Heidelberg: Springer Berlin). 1981. V. 57. N. 4. P. 453—476.
9. Heinhold I., Gaede K. Ingeniur statistic. München: Wien, Springler, 1964.
10. Scott D. On optimal and data-based histograms // Biometrika. 1979. V. 66. N. 3. P. 605—610.
11. Лапко А. В., Лапко В. А. Анализ аппроксимационных свойств регрессионной оценки плотности вероятности // Информатика и системы управления. 2014. Т. 39. № 1. С. 80—87.
Дата принятия 09.10.2014 г.
5 3.072(086.48): 53.088:5 3.089.6
Перспективы совершенствования способов калибровки при использовании аппарата
редукции измерений
М. В. ЗЕЛЕНКОВА, В. Л. СКРИПКА
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана,
Москва, Россия, e-mail: viz_zelen@rambler.ru
Обоснована возможность дистанционного проведения калибровочных работ на базе теории редукции измерений с использованием существующих цифровых телекоммуникационных сетей, что позволит оптимизировать алгоритм обработки измерительной информации и обеспечит повышение достоверности результатов калибровки в различных условиях ее проведения. Рассмотрен пример применения аппарата данной теории при калибровке средств измерений сложнопрофильных поверхностей при дистанционной оценке соответствия.
Ключевые слова: калибровка, редукция измерений, моделирование.
The possibility of remote calibration works based on the measurements reduction theory with use of existing digital telecommunication networks is presented. This theory usage allows to optimize the measuring information processing algorithm with accurance of higher calibration results reliability in different calibration conditions. The example of this theory application for complex profile surfaces measuring instruments calibration at distance estimation of conformity has been considered.
Key words: calibration, measurements, reduction, modelling.
Одним из перспективных направлений совершенствования поверочно-калибровочных работ является их проведение через удаленный канал обслуживания [1—3]. В настоящей работе на базе теории редукции измерений технически обоснована возможность дистанционного проведения калибровочных работ [4, 5]. Их проведение сводится к достоверной оценке двух малоразличимых функций, полученных эмпирически с помощью нескольких средств измерений
(СИ), одно из которых точнее остальных (или считается таковым). Математически эту процедуру можно описать системой уравнений, решения которых неустойчивы, т. е. при весьма малых отклонениях в исходных данных результаты могут сильно отличаться. Однако теоретически такие задачи можно доопределить при использовании дополнительной информации для построения устойчивых приближений к точным решениям [4].
В общем случае измерительный прибор преобразует измеряемую величину f в выходной сигнал у в виде
у = К + ^
где К — функция преобразования сигнала (передаточная характеристика СИ); h — случайная составляющая, не учитываемая моделью формирования К для выходного сигнала. Далее будем полагать Г h независимыми величинами — векторами, которые описываются соответствующими матрицами.
Пусть выходной сигнал у подвергается математической обработке в соответствии с алгоритмом Q, представленным в виде линейного оператора. Это означает, что для любых сигналов ^ и любых чисел а1, а2 выполняется равенство
Q(a1f1 + a2f2)
■■ а.^., + а20^ или Qy = QKf + Qh.
Обозначим К0 функцию преобразования калибратора или эталонного СИ, т. е. технического средства, которое наиболее достоверно воспроизводит сигнал f и является опорным (эталонным), тогда К0Г = Гоп и можно записать
Qy = + (ИК- Ко) f + Qh.
Из сравнения Qy, fоп следует, что Qh никак не связано с у, а (ИК - К0) f зависит от входного сигнала и является ложным. Значение последнего во многом определяется метрологическими характеристиками приборов, имеющих функции преобразования К, К0 и не зависит от шума Qh.
При известном значении Гоп математически можно подобрать такое Q, при котором преобразование Qy обеспечивает любую заранее заданную малую величину ложного сигнала (вплоть до нуля) для любого Гоп. Однако от подбора Q зависит не только ложный сигнал, но и шум Qh, который может быть недопустимо большим. Поэтому линейный оператор необходимо формировать таким образом, чтобы последовательное действие операций К, О минимально искажало ^ при заданном ограничении уровня шума Qhmax. При этом на Q будет влиять стабильность К0, Г которые можно рассматривать как дополнительные погрешности (дополнительный шум).
Изложенное выше можно геометрически интерпретировать следующим образом [4]. Пусть физическую величину, характеризуемую одним и тем же измерительным сигналом Г оценивают калибруемым СИ и калибратором при условиях, что погрешность последнего на порядок меньше погрешности СИ, а их законы преобразования — у = Kf+h, у0 = соответственно. Тогда,
если рассматривать в трехмерном пространстве (У, F, У0) измерение f (рис. 1), то точке ( на оси OF соответствуют точки у на оси ОУ и у0 на оси ОУ0. Таким образом, любая точка, лежащая на прямых ОА', ОВ', будет соответствовать измерению f в связи с преобразованиями у = КГ, у0 = К0Г, а точки прямой ОС' — измерению изменения Г указанными приборами.
Если решать обратную задачу и по значениям у, у0 определять Г, то при отсутствии погрешностей, восстановив перпендикуляр из точки С (у, у0) на плоскости УОУ0, получим пересечение с ОС' в точке С', координата которой по оси OF будет равна f. Если у, у0 соответствуют погрешностям h, h0, то точка С с координатами у, у0 на плоскости УОУ0 превратится в некую область неопределенности ц, размеры которой ограничены h, h0 по осям ОУ, ОУ0, соответственно, и в этом случае вероятность пересечения перпендикуляра, восстановленного из этой области с линией ОС', будет ничтожна (см. рис. 1). Тогда значение ^ определится в точке пересечения а указанного перпендикуляра с плоскостью Q, которая содержит линию ОС'. Однако плоскостей, реализующих преобразование Q и включающих прямую ОС', будет бесконечно много, а оцененное значение ^ в этом случае может сильно отличаться от его действительного значения. Иначе говоря, определение ^ по у, у0 будет неоднозначно и неустойчиво.
Задача математического преобразования Q — выбор из множества указанных плоскостей той, у которой угол наклона к плоскости УОУ0 приводит к минимальному значению [ИК - К0] при заданном ограничении Qh < е, где е — малая величина, которая может быть сопоставима с погрешностью калибруемого СИ. Следовательно, Q необходимо выбирать так, чтобы матричные элементы [ИК - К0] были как можно ближе к нулю или матрица QK — как можно ближе к К0. Близость к нулю измеряется суммой квадратов всех матричных элементов С, т. е. нормой вектора аС, что соответствует ||ИК - К0||2 = ||С||2. Следовательно, задача редукции измерений в рассматриваемом случае сводится к выбору Q и при фиксированной К0 формулируется как
тип -¡|\ОК-К0||2 ЕИ ||2 < е
(1)
где оператор Е соответствует математическому ожиданию (усреднению).
Рис. 1. Графическая интерпретация формирования результата калибровки при использовании редукции измерений
Рис. 2. Схема калибровки СИ геометрических характеристик формы сложнопрофильных поверхностей с помощью комплексной контрольной меры: ЦИМ ОЗ — цифровая идентификационная модель, сформированная по результатам измерений
исходным по точности СИ; ЦИМ СИ — цифровая идентификационная модель, сформированная по результатам измерений
калибруемым СИ
Если Q — решение сформулированной задачи (алгоритмы решения разработаны в [4, 5] и удобны для реализации
на ЭВМ), то Qy представляет выходной сигнал QK, отличающийся от функции преобразования К0 известного СИ на
||(3 К - К0| При этом погрешность на выходе СИ Qh ограничена значением е, а синтезированное СИ, обеспечивающее заданный уровень погрешности на выходе, имеет функцию преобразования, ближайшую к К0. Геометрическая интерпретация состоит в следующем: среди всех плоскостей, проходящих через точку О, выбирают лишь те, которые составляют с плоскостью УОУ0 углы, обеспечивающие отображение вектора Qh на ось OF так, чтобы средний квадрат его длины не превышал е.
Отличие характеристик калибруемого СИ и калибратора выражается параметром N = |^К - К0||2 и величиной S = Е|^||2, зависимость которых от е в задаче редукции применительно к калибратору можно назвать градуировочной характеристикой. Она позволяет для калибруемого СИ с заданной погрешностью ЛСИ = е определить соответствующее Q для конкретных значений у, е'. На практике при определенном N выбор Q однозначен, так как при е' < е = ЛсИ получаем S = е'. Даже при малых значениях N можно найт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.