ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ' .пчйьс.ал ,
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА ' ''' - -i"? д-> Uw-'i«s»-w О J<v» ."41..
Том 144, № 2 ''"¿3 '-* i'ij'i«» ж м ЫшЧ ГУэг^-Я fy
август, 2005
i»sav /-'ХНЕ. У - па »
Ca ,.>Яг - ч .* „<.-"Л"1 Л;1 .V .tfie« .* f. >г»«-!,.Ь .4 II;
. -fr -Я, -. ) ..... i' Ш T<iА ч j ü 4 ?-i . ,. t
. „ ''i-*- / -«aiti- ".W'^iO Л
) 8> .1 *г-Сt 'i '*T Sil .w«!«i i .i .'-^.j ii .«s • - .i^nV ' i/J ©2005 г. j, А. Векслер*, Й. Зарми* * q rttf ' .» ,
ПЕРТУРБАТИВНЫЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ *
Предложен новый способ преодоления препятствий к асимптотической интегрируемости в возмущенных нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных в рамках метода нормальных форм (НФ) для случая многоволновых решений.
- Вместо того чтобы целиком включать препятствие в НФ, туда включается только его резонансная часть (если таковая существует), а остаток относится к гомологическому уравнению. В результате НФ остается интегрируемой, а ее решения сохраняют характер решений невозмущенного уравнения. Произвол в разложении используется для построения канонических препятствий, которые ограничены областью взаимодействия волн. Для солитонных решений (например, в уравнении Кортевега-де Фриза) область взаимодействия является конечной областью вокруг начала координат; канонические препятствия при этом не порождают секулярных членов в гомологическом уравнении. Когда область взаимодействия является бесконечной (или полубесконечной - например, в решениях уравнения Бюргерса типа волновых фронтов), препятствия могут содержать резонансные члены. Препятствия порождают волны нового типа, которые нельзя записать в виде функционалов решений НФ. Когда препятствие дает резонансный вклад в НФ, происходит нестандартная корректировка волновой скорости.
Ключевые слова: нелинейные эволюционные уравнения, взаимодействия волн, препятствия к асимптотической интегрируемости, возмущенное уравнение Кортевега-де Фриза, возмущенное уравнение Бюргерса. , ,
1. ЗАДАЧА О ПРЕПЯТСТВИЯХ К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Исследования эффектов возмущения волновых решений эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) развивались в рамках двух различных подходов. В методе рассеяния решение невозмущенного уравнения рассеивается на возмущении, которое включается при t = 0. Поскольку невозмущенное решение не является решением возмущенного уравнения, его амплитуда убывает и его волновое число,
* Department of Physics, Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva, 84105, Israel. E-mail: vekslera@bgu.ac.il, zarmi@bgu.ac.il
t Department of Solar Energy & Environmental Physics, Jacob Blaustein Institute for Desert Research, Sede-Boqer Campus, 84990, Israel
скорость и фазовый сдвиг изменяются. Кроме того, в случай возмущенного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) солитонный хвост был обнаружен вне солитонного сектора. Использованные методы представляли собой комбинацию метода обратной задачи рассеяния и процедуры множественного разложения по времени [1]-[8].
Второй подход состоит в другом. Интегрируемые нелинейные эволюционные уравнения являются приближением низшего порядка к более сложным уравнениям, описывающим полные динамические системы (например, уравнения динамики жидкости в случаях уравнений Бюргерса и КдФ и уравнения Максвелла в случае нелинейного уравнения Шредингера (НУШ)). Для улучшения аппроксимации эффекты высших порядков включаются в исходную физическую систему. При этом возмущение не включается при £ = 0. Оно существует во все моменты времени начиная с £ = —оо.
В этом подходе ищется решение нулевого порядка, которое имеет ту же волновую структуру, что и решение невозмущенного уравнения, за исключением изменения волновой скорости за счет эффектов высших порядков. Метод нормальных форм (НФ) применялся для анализа солитонных решений возмущенных уравнений КдФ и НУШ [9]—[13] и решений типа фронтов возмущенного уравнения Бюргерса [14]—[16]. Метод множественных временных масштабов использовался для возмущенного уравнения КдФ [17]-[19] и для возмущенного НУШ [20].
Мы сконцентрируем внимание на задачах, возникающих при анализе волновых решений в рамках второго подхода. Большинство интегрируемых нелинейных эволюционных ДУЧП допускают как одно-, так и многоволновые решения. Многоволновые решения, как правило, асимптотически стремятся к отчетливо разделенным одиночным волнам в (х — ^-плоскости, за исключением областей взаимодействия, где многоволновой характер решения теряется. Области взаимодействия могут быть локализованными (например, в случай многосолитонных решений уравнения КдФ) или полубесконечными (например, многофронтовые решения уравнения Бюргерса). Основная цель данной работы состоит в том, чтобы исследовать влияние, которое возмущения, добавляемые к невозмущенному уравнению, оказывают на волновые решения нелинейных систем.
Возмущенные уравнения часто анализируют в рамках метода НФ [14], [21], [22], который в кратком изложении состоит в следующем. Пусть
щ = + €*^<*>[«;] <ч
- возмущенное нелинейное эволюционное ДУЧП (квадратные скобки означают, что соответствующий член является дифференциальным полиномом по и)(х, £)). Мы предполагаем, что и> (х, Ь) можно разложить по малому параметру е в степенной ряд дифференциальных многочленов от и(х, £) (почти тождественное преобразование (ПТП)):
-тммЧ/V: = ^£*и(*)[и] (и г и<°>). ^ ^ т. охо , кр / ; ,(2)
<! г* ТЧГл>ЭГ"г,йа& к=0 яц У» ц-ТЗДф» »И" .ОЙ --ль -f.tf.-J -Ы - ' •
Предполагается, что временная эволюция члена нулевого порядка и(х, £) управляется НФ:
€*ак5<*>[и] (<ю = 1). ' ""
.йж.;р..|Оп гг1оы<ху ¿ш&гч!-., * к=0 - ив • • •• • -г».*./; -
г
412
А. ВБКСЛБР, Й. ЗАРМИ
Здесь - резонансные члены, обычно называеммые симметриями. Их временная динамика эквивалентна динамике функции и{х, 4) с точностью до первого порядка, т.е.
(и + м5(п))4=^°)[и + м5(0)] (м«1)-В результате их скобки Ли [23] обращаются в нуль:
дщ
дщ
(4)
(5)
Симметрии (включая саму Р^) образуют иерархии [24], [25]. Можно установить рекуррентные соотношения между симметриями в каждой иерархии. Для многих уравнений (и всех уравнений, рассматриваемых в данной работе) первая симметрия имеет
ВИД ... •
' " 5(1)[и] = их. (6)
ПодставляяПТП (2) иНФ (3) в (1), получаемпоследовательностьгомологическш; уравнений для временной эволюции производных которую предстоит решить порядок
запорядком. ' .....
Мотивировка предположения (3) состоит в том, что пертурбативный анализ, в котором резонансные члены не переносятся из гомологического уравнения в НФ, обычно приводит к секулярностям, т.е. неограниченным членам в приближенном решении. С другой стороны, от НФ ожидается интегрируемость и сохранение природы невозмущенного решения. Это свойство тесно связано с другим, весьма важным: при добавлении членов высших порядков к НФ основной эффект сводится к изменению физически значимых параметров (как правило, соотношения волновой скорости и дисперсии).
После устранения резонансных членов из гомологических уравнений они принимают вид
'' С ~ " «<*>[«]]+Г(*>[«] = 0, " ' л " (7)
где Т^^и] - вклад всех нерезонансных членов порядка к. ПТП строится из решений этих уравнений. т , п ,
Однако начиная с некоторого порядка в разложении анализ может привести к выявлению препятствий к интегрируемости [9]—[13], [15]-[19], [26] - таких членов (дифференциальных полиномов), порождаемых в пертурбативном разложении динамического уравнения (1), которые нельзя учесть в формализме. Структура препятствий как дифференциальных полиномов не однозначна и зависит от способа, которым строится ПТП.
Для того чтобы сделать построение ПТП возможным, обычный способ действий состоит в добавлении этих неучтенных членов в НФ. Это делает НФ неинтегрируемой, откуда и происходит название "препятствие к интегрируемости". Включение препятствий в НФ возмущает волновой характер ее решений. В случае двухсолитонного решения возмущенного уравнения КдФ в НФ [9]- [11] эффект препятствий изучался в [13], [27]. Было найдено, что решению в нулевом порядке свойственны неупругие эффекты: появление излученной волны второго порядка, зависящие от времени поправки четвертого порядка к каждому из волновых чисел, а также генерация солитона восьмого порядка.
2.1. |
ния, обь циальнь не завис долевае ших пор в ПТП:
В уравн и 4 и сл} допуше*
где Я Ю Из-за
2. ПОДХОД К ПРЕОДОЛЕНИЮ ПРЕПЯТСТВИИ
2.1. Общиеидеи. Необходимость включения препятствий в НФ слецует из допущения, обычно принимаемого в НФ-разложении, что все члены в ПТП являются дифференциальными полиномами в приближении нулевого порядка (т.е. полиномами по и(х, £)) и не зависят явно от независимых переменных tиx.B нашем подходе эта проблема преодолевается за счет того, что допускается зависимость от этих переменных членов высших порядков в ПТП. Для этого мы предполагаем следующий вид члена к-го порядка в ПТП:
и^и^М + и^х,«). (8)
В уравнении (8) и^ [и] - дифференциальный полином по и, а и^ (х, £) явно зависит от х и £ и служит, как предполагается, для учета препятствий. Таким образом, подставляя допущение (8) в гомологическое уравнение (7), получаем . ""-о-;
«(*)(«, 0] +Д(*)М = 0, т ' (9)
V • —
где и] обозначает препятствие порядка к.
Из-за произвола, присущего пертурбативному разложению, конструкция для и^ [и] не является однозначной. За исключением случал, когда выбрано подходящим
образом, получающееся препятствие может не отражать следующие свойства, представляющие физический интерес:
а) препятствия не возникают в случае одноволновых решений НФ [13];
б) ожидание, что препятствия возникают из-за взаимодействия между волнами в многоволновом случае [12].
Оба свойства реализуются, если иа [и] выбрано так, чтобы оно имело структуру дифференциального полинома, который решает задачу в случае одноволнового решения НФ. Выбор, предложенный для и^[и], приводит препятствия к "каноническому" виду, выражаемому в терминах симметрий невозмущенного уравнения. Препятствия тогда обращаются в нуль, если подставить для и одноволновое решение НФ. Более важно, что в результате ожидается, что они обратятся в нуль за
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.