научная статья по теме ПЕТЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В НУКЛОННЫХ ПРАВИЛАХ СУММ КХД Физика

Текст научной статьи на тему «ПЕТЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В НУКЛОННЫХ ПРАВИЛАХ СУММ КХД»

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ПЕТЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В НУКЛОННЫХ ПРАВИЛАХ СУММ КХД

2015 г. Е. Г. Друкарев*, М. Г. Рыскин, В. А. Садовникова

Национальный исследовательный центр "Курчатовский институт", Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова, Россия

Поступила в редакцию 26.12.2014 г.

Показано, что нуклонные правила сумм, в которых учтены лишь кварковые петли, имеют нетривиальное решение. Его можно рассматривать как первое приближение к известному решению, воспроизводящему наблюдаемое значение нуклонной массы. Точность приближения возрастает при учете радиационных поправок.

DOI: 10.7868/80044002715100050

1. ВВЕДЕНИЕ

Правила сумм КХД были предложены в работе [1] для описания статистических свойств мезонов и в работах [2, 3] для описания нуклонов. Основой правил сумм являются дисперсионные соотношения для функции, описывающей распространение системы с квантовыми числами рассматриваемого адрона. В случае протона эта функция, обычно именуемая "поляризационным оператором", может быть записана как

П(д) = дП, (д2)+1П (д2), (1)

где д — 4-импульс системы; д = д^^; I — единичная матрица. Дисперсионные соотношения для функций П (последующее борелевское преобразование позволяет не заботиться о вычитаниях):

n?V) = £ (д2),

Щя2) = -

п

dk

■ Im Щк2)

k2 — д2 '

i = д, I, (2)

рассматриваются при д — —ж, где левую часть уравнений (2) можно представить в виде ряда по степеням 1/д2. Коэффициенты разложения представляют собой усредненные значения КХД-операторов ("конденсатов"). Эта процедура известна как "операторное разложение" [3]. Она учитывает вклады от малых расстояний по теории возмущений, а невозмущенческая физика содержится в конденсатах. Высшие члены операторного разложения содержат конденсаты высших размерностей.

Левая часть (2) может быть записана как

ПО

) = £ Ап(д2),

(3)

E-mail: drukarev@thd.pnpi.spb.ru

где нижний индекс п обозначает размерность соответствующего КХД-конденсата. Верхний индекс ОР означает, что включены несколько низших членов операторного разложения. Низший порядок вклада операторного разложения в структуру П°р(д2) дает кварковая петля, которая содержит только свободные пропагаторы, ей соответствует вклад А0. Низший порядок вклада в структуру Прр(д2) пропорционален скалярному кварковому конденсату (0|дд|0), который имеет размерность й = 3. Этот вклад содержит кварковую петлю. Следующим идет вклад с глюонным конденсатом (0с размерностью d = 4, также содержащий кварковую петлю. Члены операторного разложения высших размерностей не содержат петель. Петли дают логарифмические вклады (д2)п 1п д2 в левые части, тогда как вклады с й > 4 дают степенные поправки (д2)-п.

Спектр поляризационного оператора содержит одночастичные состояния р, N * и т.д., а также многочастичные состояния, например, протоны и пионы. Первые соответствуют полюсам в подынтегральном выражении в правой части (2), а многочастичные состояния описываются разрезами. Как логарифмические члены, так и степенные поправки в левой части дают вклады как в полюсы, так и в разрезы в правой части.

Правая часть соотношений (2) обычно аппроксимируется моделью "полюс + континуум" [1, 2], в которой низший полюс учтен точно, а остальные состояния описываются модельным континуумом.

903

4*

1.2 1.4

M2, МэВ2

Рис. 1. Перекрытие левых и правых частей правил сумм для а = 0.55 ГэВ3. Вклады А0, А4 и В3 включены в левые части уравнений (10) и (11). Радиационные поправки порядка а8 включены по теории возмущений (IV). Сплошная и штриховая кривые показывают отношение левых частей к правым для (10) и (11) соответственно.

Спектральная функция на разрезе, соответствующая континууму, аппроксимируется скачком логарифмических членов левой части. Дисперсионные соотношения (2) приобретают вид

Пор (я2) =

m2 — q2

+

+ J_ г |;2Апрг(*2)

2ni J k2 — q2 ' w 2

Здесь = 1; ^ = т. Протонная масса т, вычет в нуклонном полюсе Л2 и порог континуума Ш2 являются неизвестными, которые и предстоит найти.

Модель имеет смысл, только если вклад нук-лонного полюса (рассматриваемого точно) в правой части (4) превышает вклад континуума (рассматриваемого приближенно). Набор параметров, при котором выполняется это условие и который минимизирует разницу правых и левых частей уравнений (4), мы называем физическим решением. Если вклад нуклонного полюса превышает вклад континуума, мы говорим о нефизическом решении.

Для того чтобы получить величину т, близкую к физической величине т 940 МэВ, следует включить в операторное разложение вклады вплоть до ( = 9. Если в левые части (4) включены только петлевые вклады А0, В3 и А4 ("петлевое приближение"), то мы немедленно находим тривиальное решение

Л2

= 0, Ш2 = 0, в котором логарифмические члены в левой части соответствуют второму члену в правой части (2). Это решение существует при любой величине нуклонной массы т. Ранее полагалось, что это решение является единственным в петлевом приближении. Это считалось слабым местом модели "полюс + континуум" и правил сумм КХД в целом [4].

Здесь мы показываем, что, ограничиваясь вкладами с ( < 4 и даже с ( < 3, мы имеем еще одно

решение, которое может рассматриваться как хорошее приближение в низшем порядке к решению с (< 9.

2. УРАВНЕНИЯ ПРАВИЛ СУММ В ПЕТЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Сохраняя только логарифмические вклады, содержащие кварковые петли, мы находим П^р (д2) =

= Ао(д2) + А4(д2) и П?р(д2) = В3(д2). Точная форма вкладов зависит от вида оператора 3 (х) с протонными квантовыми числами, часто называемого "током". Оператор 3 (х) может иметь различный вид, мы остановились на 3 (х) = = (п^ (х)Сум иь (х))75 7м (с (х)еаЬс, предложенном в [5]. Следуя [2, 3], находим:

—QA In {Q2/С2) А) =-^r^i-r0,

64п 4

R aQ2 In (Q2/С2) Вз =-16^-Г3'

^4 =

—b\n(Q2/С ) 128тг4

(5)

Г4,

(4) где С2 — ультрафиолетовое обрезание; Ц2 = —д2 > > 0; а и Ь представляют собой скалярный и глюонный конденсаты, умноженные на ±(2п)2:

а = — (2п )2 (0|ад|0>, (6)

b = (2п)2( 0

-Lt LT^

Множители rd включают радиационные поправки. Следуя [6], мы рассматриваем несколько случаев.

I. Радиационные поправки не включены. В этом случае r0 = r3 = r4 = 1.

II. Радиационные поправки учтены в ведущем логарифмическом приближении. В этом варианте включены только члены (as ln Q2)n, просуммированные по n.

III. Учтены радиационные поправки в ведущем логарифмическом приближении и нелогарифмические поправки порядка as.

IV. Все радиационные поправки учтены в нижайшем порядке по as.

Вклады радиационных поправок в ведущем логарифмическом приближении, как известно, выражаются через функцию

. (ln Q2/Л2 У/9

L(Q2)

ln ц2 /Л2

(7)

где Л = Лдсэ; ß — точка нормировки (стандартное значение ц = 0.5 ГэВ).

Для варианта II мы имеем r0 = r4 = L 1 и r3 =

= 1. Для варианта III [6, 7]

ro = 1 +

71 ^s 12 7Г

L

1

Гз = 1 +

3as_ 2 7Г

0

m, МэВ 1.6

1.4 1.2 1.0

0.8 0.6

ПЕТЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В НУКЛОННЫХ ПРАВИЛАХ

X2, МэВ6 4.5

4.0

3.5

3.0

2.5

2.0

905

0.50 0.54 0.58

а, ГэВ3

W2, МэВ2 3.5

1.5

0.50

0.54

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.50

0.54

0.58 а, ГэВ3

0.58 а, ГэВ3

Рис. 2. Зависимость нуклонных параметров от величины кварковых конденсатов а. Точечная кривая — расчет с вкладами А0 и В3 в левые части правил сумм; штриховая кривая — расчет с А0, А4 и В3; сплошная кривая — все вклады (15).

с as = as(1 ГэВ2). В случае IV величина r0 становится следующей:

71

ro = 1 +

12 п 2 п

1 as Q m

2

(9)

тогда как г3 остается такой же, как в случае II. Поскольку вклад А4 мал, мы не включаем в него нелогарифмические поправки, сохраняя г4 = 1/Ь для вариантов II—IV.

Стандартная процедура состоит в том, чтобы рассмотреть правила сумм для оператора П0р(д2) = 32п4Прр(д2). Множитель 32п4 вводится для того, чтобы рассматривать величины порядка единицы (в ГэВ). Преобразование Бореля [1—3], примененное к обеим сторонам уравнений (2), превращает функции от д2 в функции от борелевской массы М2. Важное предположение состоит в том, что существует интервал значений М2, в котором подбором параметров можно обеспечить малую относительную разность левых и правых частей

уравнений (2) после борелевского преобразования. Для нуклонных правил сумм стандартный интервал 0.8 < M2 < 1.4 ГэВ2.

В результате уравнения правил сумм в петлевом приближении могут быть записаны для случаев I— III в виде

М6Д2(7)ГО(М2,7) + bM2f (T)r4(M2) = (10)

_ д2e-m2/M2

2аМ4 Ех (7 )гз = ш\2 е-™2 /м 2, (11)

где 7 = №2 /М2 и

Ео(7) = 1 — е-1, Е\(7) = 1 — (1 + 7)е-^, (12)

Е2 (7 ) = 1 — (1 + 7 + 72/2)е-1.

Если пренебречь всеми радиационными поправками (I), то г0 = г3 = г4 = 1. При учете радиаци-

и

т, МэВ 1.6

X2, МэВ6

4 -

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

в в

W2, МэВ2 4

Рис. 3. Поведение решений при "гладком включении" конденсатов высших размерностей (16). Штриховая кривая показывает, как тривиальное решение переходит в нефизическое. Штрихпунктирная кривая показывает переход в физическое решение. Радиационные поправки порядка а3 включены по теории возмущений (IV), а = 0.55 ГэВ3.

онных поправок в ведущем логарифмическом приближении (II) мы имеем г0 = г4 = 1/Ь(М2), г3 = = 1. В этих случаях уравнения (10) и (11) представляют собой низшие вклады в стандартные нуклон-ные правила сумм [2, 3]. Добавляя нелогарифмические поправки порядка а3 к вкладам (II), получаем вариант (III)

го = 1 +

71 с^ 12 7Г

Ь-1 (М 2),

(13)

гз = 1 +

3

2 7Г

Для случая, когда все поправки порядка а3 рассматриваются по теории возмущений (IV), первый член в левой части (10) приобретает более сложный вид [6]:

М6 Е2 го

(14)

М 6 Е2

1 +

ая

п

53 12

1п

V2

ая

п

М4^2 ( 1 + 77 ) е"7 + Мь£(-7)

3

где Е(х) = п=1 хп/(п • п!).

3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ

Теперь мы попытаемся найти величины нук-лонных параметров т, Л2 и Ш2, которые минимизируют разницу между левой и правой частями в уравнениях (10) и (11). Конкретизируем вначале численные значения параметров. Полагая Л = = 230 МэВ, получим а,(1 ГэВ2) = 0.475. Величину скалярного конденсата будем менять в районе (0|д"д|0> = (—241 МэВ)3, что соответствует а = = 0.55 ГэВ3. Также мы представляем результаты

3

2

1

3

2

1

0

—>

—>

ПЕТЛЕВОЕ ПР

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком