связанные с
. взяв слеш Лиодаемых. К зависимости, уемым систе-
Ввали, что если 13), то можно ли, что Я двумерно-были найдены
. рый интерес,
А \
О О
-ч/
Дегаспериса
■ьных исследо-■утдих научных
М С. 13-22.
i С. 1-21. fc-183.
I
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
© 2005 г. М. Палезе*
ПЕТЛЕВЫЕ АЛГЕБРЫ БЕКЛУНДА ДЛЯ КОМПАКТНОЙ И НЕКОМПАКТНОЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СПИНОВЫХ МОДЕЛЕЙ В РАЗМЕРНОСТИ (2 + 1)
Задача Беклунда решена как для компактного, так и для некомпактного вариантов (2 + 1)-мерной нелинейной спиновой модели Ишимори. В частности, для возникающей алгебры Беклунда дается реализация в виде бесконечномерной петлевой алгебры Ли типа алгебр Каца-Муди.
Ключевые слова: интегрируемые системы, нелинейные спиновые модели, продолжение алгебр, преобразования Беклунда, связности Беклунда-Картана.
1. ВВЕДЕНИЕ
При изучении нелинейных полевых уравнений используется метод структур Беклунда, известный также как метод продолженных структур (применение данного метода к ряду актуальных моделей размерности (1 + 1)и (2 +1) см., например, в работах [1]-[9]). Он представляет собой систематическую аналитическую процедуру, позволяющую, в принципе, связать с рассматриваемым уравнением линейную задачу. С помощью этого метода нелинейные алгебры Беклунда (алгебры продолжений) связываются с интегрируемыми нелинейными полевыми уравнениями, которые можно выразить в терминах замкнутых дифференциальных идеалов. Такие алгебры возникают при введении произвольного числа беклундовских форм, содержащих новые зависимые переменные (называемые псевдопотенциал ами), и при требовании алгебраической эквивалентности между генераторами продолженного идеала и его внешним дифференциалом, т.е. при наложении условия интегрируемости для продолженного дифференциального идеала. В работах [10], [11] указывалось, что свойства интегрируемости нелинейных полевых уравнений можно связать с существованием симметрий Беклунда и допустимых преобразований Беклунда. На самом деле, алгебры Беклунда появляются в виде структур
Эта заметка является частью совместной исследовательской работы с Е. Винтерротом.
"University of Torino, Department of Mathematics, Via C. Alberto 10, 10123, Torino, Italy. E-mail: marcella.palese@uiiito.it
1 CO
неполных (в том смысле, что не все коммутаторы известны) алгебр Ли как необходимые условия интегрируемости связности, индуцированной отображением Беклунда [3], а реализация таких алгебр (в особенности в виде петлевых алгебр) дает решение так называемой задачи Беклунда.
Распространение процедуры продолжения на случай более чем двух независимых переменных, вообще говоря, нетривиально и в ряде аспектов недостаточно исследовано (см., например, [2], [4], [7], [8]). Недавно на основе подходящего геометрического описания преобразований Беклунда [10] был достигнут определенный прогресс в развитии теории, и это дало некоторые подсказки к пониманию задачи в целом [9]. Исследование систем высших размерностей является центральной темой в теории интегрируемых систем. В работе [8] рассматривался общий подход, состоящий в получении новых (2 + 1)-мерных интегрируемых систем из данной абстрактной алгебраической структуры посредством расширения отображения Беклунда; там было показано, как можно индуцировать связность с помощью отображения Беклунда в терминах расслоений струй, а также было дано описание вполне интегрируемых систем в терминах структур Беклунда. В работе [9] мы доказали, что указанная связность является допустимой связностью Картана для подходящей jFf-структуры, т.е. для подрасслоения в расслоении реперов (высших порядков).
В этой заметке, используя анзациз работ [2]-[4], [8], который в действительности является подходящей версией структурных уравнений для допустимой связности Беклун-да-Картана [9], мы связываем структуру бесконечномерной алгебры Беклунда с (2 + 1 )-мерной спиновой моделью Ишимори как в ее компактном [12], так и в некомпактом [13] варианте. Построены гомоморфизмы в факторы конечно- и бесконечномерных алгебр Ли. В частности, ввиду возможных применений (например, к выводу всего семейства (2 + 1)-мерных нелинейных полевых уравнений, содержащих исходные спиновые модели Ишимори) дается реализация возникающей алгебры Беклунда в виде бесконечномерной петлевой алгебры Ли типа алгебр Каца-Муди.
2. ДОПУСТИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЕКЛУНДА
В этом разделе мы вкратце напомним несколько основных положений и введем обозначения. Мы предполагаем,что читатель знаком с основными понятиями теории расслоений, струйных продолжений, главных расслоений и связностей (по поводу ссылок и подробностей см., например, [14]).
Пусть ж: U Xит: Z X- два (векторных) расслоения с локальными приспособленными координатами (ха, иА) и (ха, zx), соответственно, где а — 1,..., m = dim X, А — 1,...,n = dimU — dimX, г = 1,...,N = dimZ — dimX. Система нелинейных полевых уравнений порядка к na.U геометрически описывается как внешняя дифференциальная система v на JkU. Решения полевых уравнений являются такими (локальными) сечениями а расслоения U —>• X, для которых (]ко)*и = 0. Мы также используем обозначение J°°v (j°°o) для продолжения и (а) на струи бесконечного порядка.
Пусть теперь В - группа контактных преобразований бесконечного порядка на J°° U.
Определение 1. Группой (инфинитезимальных) преобразований Беклунда для
системы. V называется замкнутая подгруппа К в В, которая оставляет инвариантными подмногообразия решений струйного продолжения Группой (инфинитезималь-
ных) обобщенных преобразований Беклунда для системы. V называется замкнутая подгруппа К в В, которая оставляет инвариантным [10].
Пусть 7Г ш.и —> X и т: —> X суть определенные выше векторные расслоения, а тг1: ^и —> X и г1: —> X - продолжения расслоений на струи первого порядка с локально приспособленными координатами (ха, иА, м„) и (ха, г*, г^), соответственно. Далее, пусть ((1хР, йиА, йи^) и (¿х'3, ¿¿г1, (¿г^) - локальные базисы 1-форм на 71{7 и соответственно.
Отображение Беклунда первого порядка есть расслоенный морфизм над ф: 71и хх г .ЛЯ: (ха,иА,и*;г*) ^ {ха,г\4), где 4 =
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Будем говорить, что расслоенный морфизм ф является допустимым преобразованием Беклунда для дифференциальной системы V, если фга = Т>афг (Т>а - формальная производная на ^и условия интегрируемости совпадают с
внешней дифференциальной системой и.
Замечание 1. С помощью обратного образа контактной структуры морфизм Беклунда индуцирует горизонтальное распределение - индуцированную связность Беклунда -на расслоении (У1!/ хх тгд*(г^)) [3].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть К" - нормальная подгруппа, К С {К п К) с В, оставляющая инвариантными дифференциальную систему V (ее продолжение бесконечного порядка) и ее решения. Назовем К группой (инфинитезимальных) обобщенных допустимых преобразований Беклунда для системы и.
Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны [8]:
(1) морфизм ф является допустимым преобразованием Беклунда для дифференциальной системы и;
(2) индуцированная связность Беклунда К-инвариантна.
3. АЛГЕБРЫ БЕКЛУНДА ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ИШИМОРИ
Рассмотрим нелинейную спиновую модель, введенную Ишимори [12] для обобщения непрерывной изотропной спиновой модели Гейзенберга в случае размерности (1 +1) на случай размерности (2+1) (по поводу исследования свойств интегрируемости спиновой модели Гейзенберга см., например, [5], [15]). Пара Лакса былаприведена в работе Ишимори, а мультивертексные решения были выведены с помощью метода Хироты, и тем самым было показано, что динамика вертексов интегрируема. В [13] была установлена калибровочная эквивалентность между некомпактным вариантом спиновой модели Ишимори и уравнением Дэви-Стюартсона.
Классическую непрерывную изотропную спиновую цепочку Гейзенберга можно обобщить до следующей системы связанных нелинейных (2 + 1)-мерных дифференци-
альных уравнении в частных производных:
Ев* = Э х (Эхх + е28уу) + фуБх + фх8у, (1)
Фхх ~ е2Фуу = —2е2Е8 • (вх х Я»), (2)
где Б = - вектор классического спинового поля, Е = diag(l, 1, к2)-диагональ-
ная матрица, к2 = ±1, нижние индексы обозначают частные производные, а символ х обозначает обычное векторное произведение. Предполагается, что компоненты спинового поля з " 1, 2,3, удовлетворяют связи
Ев • Э = к2, (3)
где к2 = +1 и к2 — — 1 относятся к компактному [12] и некомпактному [13] случаям, соответственно. Другими словами, при к2 = 1 величины Sj принадлежат унитарной сфере Яи (2)/{/(1), тогда как при к2 = — 1 область значений Sj представляет собой щит над двулистным гиперболоидом 5{/(1,1)/{/(1).
Введем на (векторном) расслоении У1?/ с локальными координатами1) (а;, у, Э, Р, <3; ф,а,(м) замкнутый дифференциальный идеал, определенный (векторно-значными) 3-формами
01 = (¿Э - Р ¿х) А ¿у А <#, (4)
02 = №-С1 ¿у) Л<1хЛ гй, (5)
03 = «¿Ев Л(1уЛ<1х + 8х{(1РЛс1уЛ(И-е2(1С1Лс1хЛ сЙ)+
+ (рР + аЦ) ¿х А йу А Л; (6)
скалярными 3-формами
а также формами
71 = (<1ф — а <1х) Л ¿у Л (И, (7)
72 = (<1ф- ц ¿у) Лс1хЛ «Й, (8)
73 = ¿а Л ¿у Л ей + е2 ¿ц Л йх Л сЙ+
+ 2е2Ев • (Р х (Э) в.х Л ¿у Л Л; (9)
= (в,ЕЭ • Р + ЕЭ • (1Р) Л ¿у Л Л, (10)
#2 = (¿ЕЯ • <5 + ЕЯ • <Й5) Л <*с Л Ж, (11)
где Л обозначает внешнее произведение форм. Легко проверить следующее предложение.
ля удобства мы ввели следующие изменения в обозначениях: х = х, х— у, х3 = и
Э, и\ = Р, «2 = С}, и2 = ф, и2 = а, и2 = кроме того, в дальнейшем г =
Предложение 1. На каждом интегральном подмногообразии, определенном (локальными) сечениями в = в(х,у,Ь), Р = Эх, —" Бу, ф = ф(х,у,£), а = фх, ц = фу (для которых с1х А ¿у А сИ Ф 0 в силу трансверсальности слоев), идеал (4)—(11) эквивалентен уравнениям (1), (2) со связью (3).
Рассмотрим теперь (векторное) расслоение (расслоенное над той же базой, что и выше) с локальными координатами (х, у, £; £т), а также определенные на расслоенном произведении Зхи хх ^ 2-формы
Пк = Нк <1х А ¿у + ** ¿у А (И + С* в.х А (И+
+ (АкТп<1х + Вкгп<1У + 5кгп<И)М1Г, (12)
где £ = {£т} и Нк, Ек, С?* - соответственно псевдопотенциал и функции на Зх\] хх
подлежащие определению, к, т. = 1,2,..., N (./V произвольно на данной стадии). Далее в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.