пинчевая неустойчивость цилиндрического течения куэтта с неоднородным осевым
магнитным полем
Д. А. Шалыбков*
Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук 194021, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 29 сентября 2011 1".
Рассмотрена линейная устойчивость несжимаемой неидеальной жидкости, находящейся между двумя вращающимися соосными бесконечными цилиндрами, по отношению к осесимметричным возмущениям при наличии неоднородного осевого магнитного поля. Для проводящих цилиндров результаты для однородного и неоднородного магнитных полей качественно совпадают. Это же имеет место для непроводящих цилиндров при наличии магнитного поля неизменного направления. Для непроводящих цилиндров и магнитного поля переменного направления с величиной, превосходящей некоторое критическое значение, возникает неустойчивость. Эта новая неустойчивость существует и в отсутствие вращения и, следовательно, не зависит от его параметров. Кроме того, величина критического магнитного поля не зависит от магнитного числа Прандтля, что является благоприятным фактором для экспериментального наблюдения новой неустойчивости.
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача об устойчивости вращающейся жидкости привлекает в последнее время большое внимание. Этот интерес вызван, в частности, проблемой устойчивости аккреционных дисков [1]. Согласно классическому критерию Рэлея (см. ниже формулу (1)), аккреционный диск с кеплеровским законом вращения устойчив. Однако наблюдаемые светимости аккреционных дисков столь высоки, что для их объяснения требуются такие значения вязкости вещества диска, которые могут быть объяснены только турбулентным состоянием диска. Долгое время причина турбулентности оставалась неясной. В настоящее время наиболее вероятной причиной турбулентности аккреционных дисков считается магнитовраща-тельная неустойчивость [2], которая была теоретически предсказана Велиховым более 50 лет назад [3] при изучении устойчивости цилиндрического течения Куэтта с однородным осевым магнитным полем.
Цилиндрическое течение Куэтта это ламинарное вращение жидкости, которое наблюдается между вращающимися соосными цилиндрами при их медленном вращении. Задача об устойчивости ци-
* E-mail: dasha'fflastro .ioffe.ru
линдрического течения Куэтта является классической проблемой в теории гидродинамической и гидромагнитной устойчивости [4 7]. Согласно классическому критерию Рэлея для идеальной вращающейся жидкости [8], идеальное течение Куэтта является устойчивым по отношению к осесимметричным возмущениям при выполнении условия
¿(Я2П)2>0. (1)
где использована цилиндрическая система координат (Я, ф, г), а П угловая скорость вращения. Условие (1) является необходимым и достаточным и физически означает, что для устойчивости вращения по отношению к осесимметричным возмущениям необходимо и достаточно, чтобы угловой момент возрастал по модулю с ростом радиуса. Вязкость стабилизирует течение Куэтта и вязкое течение, неустойчивое согласно условию (1), реально теряет устойчивость только при достаточно больших скоростях вращения (или при больших числах Рей-ноль дса ).
Общее условие устойчивости вращающейся жидкости по отношению к асимметричным возмущениям до сих пор неизвестно. Однако установлено, что условие (1) является для асимметричных возмуще-
ний необходимым [9, 10], по по достаточным [11] условием устойчивости. Например, в работе [12] была показана неустойчивость вращающегося цилиндра по отношению к асимметричным модам на линии Рэлоя.
(2)
Однако этот результат существенно зависит от граничных условий [13]. Он был получен для свободных границ и полностью отсутствует для жестких границ [14], которые используются в качестве граничных условий в цилиндрическом течении Куэтта. Кроме того, устойчивая осевая стратификация плотности может приводить к дестабилизации асимметричных мод, которые становятся неустойчивыми за линией Рэлоя (2) и вызывают стратовращательную неустойчивость [15, 16]. Отметим, что стратовраща-тельная неустойчивость существенно зависит от величины зазора между цилиндрами [16].
Тем не менее, хорошо известно, что для классического неидеалыгого течения Куэтта осесиммот-ричная мода является наиболее неустойчивой модой для цилиндров, вращающихся в одном направлении [4 7]. Асимметричные моды могут стать наиболее неустойчивыми только для цилиндров, вращающихся в разные стороны [17]. Легко, однако, проверить, что течение с цилиндрами, вращающимися в разные стороны, будет, согласно условию (1), всегда неустойчивым. Таким образом, устойчивость течения Куэтта без магнитного поля подчиняется критерию (1). При этом вязкое течение устойчиво, если критерий выполняется, и теряет устойчивость при достаточно быстром вращении, если критерий нарушен.
Согласно работе [3], при наличии однородного осевого магнитного поля критерий устойчивости вращающейся идеальной несжимаемой жидкости по отношению к осеснммотрнчным возмущениям меняется с условия (1) на
(1
dR
П2 > 0
(3)
и для устойчивости вращения по отношению к осе-симметричным возмущениям необходимо и достаточно не возрастание с ростом радиуса модуля углового момента, а возрастание модуля угловой скорости. Очевидно, что однородное магнитное поле является само по себе устойчивым. Однако в сочетании с устойчивым же вращением оно может приводить к неустойчивости. В настоящее время эту неустойчивость принято называть магнитовра-гцателыгой неустойчивостью.
Существенной особенностью магнитовращатель-ной неустойчивости является то, что она до сих пор не наблюдалась экспериментально (последние экспериментальные результаты представлены в работах [18 20]). В работах [21,22] с помощью детальных численных расчетов было показано, что основной причиной экспериментальных трудностей является чрезвычайная малость магнитных чисел Праидтля (Ю-5 и меньше), которые имеют используемые в эксперименте жидкие металлы (ртуть, натрий, галлий). Недавно было показано [23], что свойства магнито-врагцателыгой неустойчивости могут быть крайне чувствительны к неоднородности осевого магнитного поля. К сожалению, работа [23] выполнена в приближении идеальной жидкости. Целыо настоящей работы является изучение влияния неоднородности осевого магнитного поля па магнитовращательную неустойчивость для неидеалыгого цилиндрического течения Куэтта. При этом нас в первую очередь интересует проблема экспериментальной реализации магнитовращателыгой неустойчивости.
В настоящей работе мы ограничимся осесиммот-ричными возмущениями, которые, как было сказано ранее, являются наиболее неустойчивыми как для течения Куэтта без магнитного поля, так и для течения Куэтта с однородным осевым магнитным полем.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Несжимаемая вязкая жидкость с конечной проводимостью, находящаяся между двумя бесконечно длинными соосными вращающимися цилиндрами, описывается при наличии магнитного поля стандартными уравнениями магнитной гидродинамики:
ЛТ Т 11
—+(иу)и = —УР+1/Ди+—СШ-1В х В.
ОТ () /¡О
№
= curl(U х В) +J/AB, divU = divB = 0.
(4)
где U скорость, В напряженность магнитного поля, Р давление, v кинематическая вязкость, // коэффициент магнитной диффузии, //о магнитная константа.
В цилиндрической системе координат (R, ф, г), выбор которой предопределен геометрией задачи, система (4) допускает решение вида (в дальнейшем нам не понадобится явное выражение для давления, которое мы опускаем)
1235
10*
Р = P(R), р = ро = const, Ur = U- = BR = Вф = 0, ¡j^
dçi
иф = Ríl = caR + -77, В- = с- + d- 111 (i?.). ti
Здесь cq, (1q, с- и d- константы, которые определяются граничными условиями
1
(-й = Í2¿
fin - >Т
1
Ч
dn = í}inR2in
m
1
ч
с- = В-
d-_ = В.
1 - р~ 1п (//)
1 - р
In (Rh
ln(jy)
(6)
где
значениями. Осесимметричные возмущения соответствуют тп = 0.
Для приведения величин к безразмерному виду используем длину R0 = (Rin(R0ut.— Rm))1^2 как единицу длины, скорость г,/До как единицу возмущенной скорости, угловую скорость вращения внутреннего цилиндра П ,„. как единицу частоты и угловой скорости, магнитное поле на внутреннем цилиндре B-jn как единицу магнитного поля (основного и возмущенного) и давление ро^'у/До как единицу давления.
Безразмерными числами задачи будут магнитное число Прандтля Pili, число Гартманна На и число Рейнольдса Re
V =
Ri,
R
fin =
П
oui
oui
il;
fl~- =
в
zout
B-
(7)
Rin и Roui радиусы, iîin и iïoul угловые скорости, В-jn и B-out напряженности осевого магнитного поля на внутреннем и внешнем цилиндрах. Отметим, что выражения для угловой скорости и напряженности магнитного поля (5) являются наиболее общими стационарными выражениями, допустимыми для неидеалыгой жидкости в цилиндрической системе координат. В этом смысле неидеальная жидкость существенно отличается от идеальной жидкости, для которой в качестве выражений для угловой скорости вращения и напряженности магнитного поля допустимы произвольные функции радиуса, удовлетворяющие граничным условиям.
Нас интересует устойчивость основного состояния (5). Представим возмущенное состояние в виде
ur(R, ф, г), lñl(l!) - и,:.(Н.о. :). и АН. о. B'2(R)
(8)
где возмущения «д, и-, Ьф, Ь-, р предполагаются малыми по сравнению с невозмущенными величинами.
Коэффициенты линеаризованной системы (4) зависят только от радиуса и мы для любого возмущения Д можем использовать разложение на нормальные моды
F = F(R) exp[i(кг + гпф + urt )],
O)
где гп произвольное целое число, к произвольное вещественное число, и; произвольное комплексное число. Симметрии задачи позволяют нам ограничиться для гп и к только положительными
Г, V тт B-in.Ro
I'm = —. На = j .
V s/И-оРоЩ
Ro=ívrg (10)
Линеаризуя систему (4), разлагая неизвестные на нормальные моды (9), приводя их к безразмерному виду (для безразмерных величин используем те же символы, что и для размерных) и представляя линеаризованную систему в виде системы уравнений первого порядка, получим
du ц ur . in
-TiR+-R+lR"* + lk'h=0■
duф
dR ' R
du -
Ir
% - A', = 0,
dp dR
■m V
lRX2
X3 = 0, ikX?, + I k2
m" Д2
2
ur
+iR.c(^+rl^^Л)uR—2Rfí^hJ.ф—ik^îа'J B-J)R = 0, dX2
dR
, ■> nr \ m
Д2 j
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.