АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2014, том 48, № 3, с. 198-210
УДК 550.383
ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМО
© 2014 г. М. Ю. Решетняк
Институт физики Земли РАН, Москва Поступила в редакцию 23.07.2012
Используя Лагранжев подход, автор рассмотрел временную эволюцию ансамбля взаимодействующих между собой магнитогидродинамических циклонов, подчиняющихся уравнениям ланжеве-новского типа, во вращающейся среде. Задача актуальна для быстровращающихся конвективных объектов: ядер планет и ряда звезд, где числа Россби много меньше единицы, и наблюдается геострофический баланс сил. В работе приведены результаты моделирования как для двумерного случая, когда оси циклонов могут вращаться только в вертикальной плоскости, так и для трехмерного случая, когда оси вращаются по двум углам. Показано, что изменение теплового потока на границе оболочки влияет на частоту инверсий среднего дипольного магнитного поля, что согласуется с результатами моделирования в трехмерных моделях планетарного динамо. Рассмотрены приложения модели для планет гигантов и предложено объяснение некоторых эпизодов геомагнитного поля в прошлом.
DOI: 10.7868/S0320930X14030049
ВВЕДЕНИЕ
Генерация магнитных полей является предметом изучения теории динамо, суть которой состоит в объяснении последовательного превращения тепловой и гравитационной энергии, связанной с дифференциацией вещества, в энергию кинетических движений проводящей жидкости и последующее превращение кинетической энергии в энергию магнитного поля (Rudiger, Hollerbach, 2004). Современные модели динамо включают в себя уравнения в частных производных конвекции и генерации магнитного поля, которые в силу ряда ограничений должны быть трехмерными. Обычно точность наблюдений внутреннего магнитного поля астрофизических объектов не превышает первого десятка гармоник в разложении по сферическим функциям. Так, для Земли сферические гармоники с номерами, большими 13, экранируются слоем проводящей мантии. Для других объектов точность измерений еще хуже. В то же время для выдерживания правильного баланса сил в моделях необходимо разрешение малых масштабов, связанных как с большими числами Рейнольдса (для Земли Re ~ 108), так и с возникновением циклонической конвекции с малыми горизонтальными масштабами. Анизотропия течений в жидких ядрах вызвана быстрым планетарным вращением, приводящим к появлению геострофического баланса сил: баланса градиента давления и силы Кориолиса (Pedlosky, 1987). Конвекция в ядрах планет имеет циклонический характер. Сами циклоны и антициклоны вытянуты вдоль оси вращения, а их диаметр много меньше их длины.
Циклоническая конвекция является источником средней гидродинамической спиральности, имеющей принципиальное значение для генерации крупномасштабных магнитных полей в планетарных ядрах. Поскольку вычисление турбулентных коэффициентов переноса для высоко анизотропных сред (Hejda, Reshetnyak, 2009) является лишь предметом будущих исследований, то к анализу уже имеющихся результатов численного моделирования следует подходить очень осторожно.
Для того чтобы хоть как-то приблизиться к требуемому режиму в жидком ядре, необходимо использование моделей с сетками 1283 и выше, и для получения даже небольшого количества инверсий вычисления занимают месяцы, поскольку магнитные времена существенно больше гидродинамических и требуется длительный счет для получения необходимой статистики инверсий. Пространственное же разрешение имеющихся геомагнитных наблюдений уже на нескольких характерных магнитных временах в прошлое не превышает первых гармоник в разложении по сферическим функциям, т.е. сравнение высокоточных численных моделей с наблюдениями является неоднозначным.
Несмотря на упомянутые технические сложности, современным моделям динамо удается воспроизводить многие черты современного и палеомагнитного поля, в том числе инверсии геомагнитного поля, когда магнитный диполь меняет свою полярность, см. подробнее (Jones, 2011). Очевидно, что при наличии сложных трехмерных моделей, дающих детальную пространственно-
(a)
(б)
Рис. 1. Спины расположены на окружности и могут изменять угол относительно оси I. (а) Спины могут изменять направление в меридиональной плоскости, направление спина 8(- задано углом 9;; (б) спины вращаются в пространстве, направление спина 8(- задано двумя углами 9;, ф;.
временную структуру физических полей в жидком ядре и на поверхности планет, хотелось бы иметь в своем распоряжении и простые модели, позволяющие воспроизводить основные черты геомагнитного поля в прошлом на больших временах. Данные модели должны основываться на современном представлении о циклонической конвекции в жидком ядре и давать сходную картину эволюции магнитного диполя. Для это цели мы рассмотрим модель домино, предложенную в (Nakamichi и др., 2012; Mori и др., 2013), являющуюся развитием уже известных спиновых моделей, см. подробнее об использовании моделей домино в других областях физики (Stanley, 1971). Суть модели состоит в том, чтобы представить магнитное поле планеты в виде суперпозиции магнитных полей отдельных спинов, имеющих постоянную амплитуду и закрепленных на окружности единичного радиуса. Спины могут менять угол по отношению к оси z, проходящей через центр данной окружности и перпендикулярной плоскости окружности. Далее ось z будет совпадать с осью вращения всей системы в целом. Спины взаимодействуют между собой так, что минимальная энергия взаимодействия соответствует сонаправ-ленным спинам. Вращение системы приводит к появлению предпочтительного направления спинов вдоль оси вращения, задаваемого введением потенциала в систему. Ниже мы сначала рассмотрим, как система таких спинов, поворачивающихся в вертикальной плоскости, может быть использована для объяснения существования тепловых ловушек магнитного поля, когда флуктуации теплового потока запирают магнитный диполь вблизи полюсов (режим редких инверсий геомагнитного поля), или вблизи экватора (магнитное поле Нептуна и Урана). Далее мы приведем обобщение данного подхода на случай трехмерия, когда направление спинов определяется двумя перемен-
ными во времени углами и возможна прецессия диполя вокруг географической оси.
ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДОМИНО
Рассмотрим модель домино (Nakamichi и др., 2012), являющуюся развитием XY-моделей Изинга— Гайзенберга взаимодействующих магнитных спинов (см. подробнее классификацию и терминологию в (Stanley, 1971)). Идея модели домино сводится к рассмотрению системы N взаимодействующих двумерных спинов S¡, i = 1 ...N, во вращающейся среде с угловой скоростью ß = (0,1). Спины расположены равномерно по единичной окружности и могут менять во времени t угол 9 относительно оси вращения, перпендикулярной плоскости окружности так, что S, = (sin Qi, cos 0i) (см. рис. 1а). На каждый спин S, действуют случайная сила, трение, а также сила со стороны двух ближайших соседей S,- _1 и S,-+1.
Прототипом спинов являются магнитные поля, генерируемые циклонической конвекцией. Согласно аналитическим оценкам (Busse, 1970) и трехмерным моделям геодинамо (Jones, 2000), конвективные ячейки в жидком ядре вытянуты вдоль оси вращения и вращаются вокруг своей собственной оси вращения, параллельной оси вращения всей системы, так что их спиральность оказывается разного знака в разных полушариях. Если конвекция достаточно интенсивна, то такая система может генерировать магнитное поле. Возникающее магнитное поле слабо меняет форму течений (Jones, 2000). Для наблюдателя, находящегося сравнительно далеко от объема генерации (на Земле — это на расстоянии мантии), доступна лишь осредненная картина, воспринимаемая как осесимметричный магнитный диполь.
Для вывода динамических уравнений воспользуемся лагранжевым подходом. Лагранжиан системы равен сумме лагранжианов отдельных спинов. Запишем лагранжиан /-го спина в виде 1 ' 2
Ж, = К 1 - и, где = -0(- — кинетическая энергия
спина, и = X[(8, • 8,+1) + (в, • 8М)] + • 8, )2 - потенциальная энергия спина, включающая взаимодействие с соседними спинами и эффект вращения, сводящийся к стремлению спина расположиться вдоль оси вращения, у, X — константы.
Рассмотрим уравнения Лагранжа для переменных (0,0), добавив диссипативную функцию
^, = к02 и источник энергии Ш , = 0, еХ: 2 л/х
dд% -д№1 + + = 0 dt dQi 8Qj dQi d%¡ '
(1)
где к, е, т — постоянные параметры, х — случайная функция. Подставляя значения r£¡, и в (1), получаем систему уравнений ланжевеновского типа:
(3,- - 2у cos 0,- sin 0,- + X[cos 0,(sin 0г-1 + sin 0i+1) -- sin 0,(cos 0M + cos 0/+1) ] + K0, + eX = 0, (2)
VI
0O =0 N, 0 N+1 = 0b - = 1 ••• N-
Система нутационных уравнений (2) описывает эволюцию углов отклонения Q¡ спинов во времени относительно оси вращения в форме второго закона Ньютона с периодическими граничными условиями. Суммарному аксиальному диполю будет соответствовать величина
N
m =1 у
N ,
n=1
cos к
(3)
В работе (Nakamichi и др., 2012) для решения системы (2) использовался метод Рунге—Кутты 4-го порядка точности. Наши численные эксперименты показали, что уже использование стандартных явных схем второго и первого порядка для второй и первой производных по времени в (2) и взятой с предыдущего шага по времени нелинейной правой части, дает близкие результаты. В дальнейшем мы рассмотрим и более сложный численный метод.
Интегрируя по времени (2), уже при небольших N = 8 удается получить весьма разнообразную динамику поведения M, близкую в ряде случаев к палеомагнитным наблюдениям геомагнитного диполя, включающую как периоды редких инверсий поля, так и частых (Jacobs, 2005). Рассмотрение поведения во времени индивидуальных спинов в модели домино указывает на лавинообразное перевертывание спинов, приводящее
к инверсии поля, что и определило название модели. Все расчеты проведены для близких к предложенным в (МакашкЫ и др., 2012) значениям параметров у = -1, X =-2, к = 0.1, е = 0.65, т = 10-2, N = 8, со случайным распределенным по нормальному закону, с нулевым средним и единичной дисперсией, и обновляемым на каждом временном шаге, равном т. Исследования показывают, что результаты слабо зависят от выбора формы случайного шума х, и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.