РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 9, с. 896-901
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566.2;621.372.8
ПЛАЗМОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ В КВАРЦЕВОЙ НАНОНИТИ, ПОКРЫТОЙ СЛОЕМ СЕРЕБРА © 2015 г. А. П. Анютин, И. П. Коршунов, А. Д. Шатров
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 141190 Фрязино Московской обл., пл. Введенского 1 E-mail: anioutine@mail.ru; korip@ms.ire.rssi.ru Поступила в редакцию 16.02.2015 г.
Для случая ТМ-поляризации рассмотрена двумерная задача дифракции плоской волны на кварцевой нити, покрытой слоем серебра. В диапазоне видимых световых волн (400—700 нм) проведены численные расчеты полного сечения рассеяния. Установлено, что при определенных геометрических параметрах структуры в исследуемом диапазоне волн реализуются не только дипольные, но и мультипольные плазмонные резонансы. Рассчитаны диаграммы рассеяния на резонансных частотах. Показано, что при нанесении на кварцевую нить слоя серебра может в несколько раз уменьшиться сечение рассеяния нити.
DOI: 10.7868/S0033849415080021
ВВЕДЕНИЕ
На оптических частотах серебро проявляет свойства закритической плазмы поскольку его комплексная диэлектрическая проницаемость е = е' - 1г" удовлетворяет соотношениям б' < 0, б" <§ |е'| [1]. При этом величина £'(X) монотонно убывает от —1 при длине волны X = 340 нм до —30 при X = 800 нм. Такое поведение диэлектрической проницаемости приводит к резонансным явлениям, возникающим при рассеянии электромагнитных волн на частицах, размеры которых значительно меньше длины волны X [2]. Так, в трехмерной задаче дифракции плоской волны на диэлектрической сфере дипольный плазмонный резонанс происходит при б' = -2, а в двумерной задаче дифракции на круговом диэлектрическом цилиндре — при б' = -1. Для серебра соответствующие резонансные частоты лежат в ультрафиолетовой части спектра X = 354 нм и X = 340 нм.
Известно, что положение плазмонных резо-нансов в шаровом диэлектрическом слое (нано-оболочке) может изменяться в широких пределах при изменении соотношения между внутренним и внешним радиусами оболочки [2]. В случае цилиндрической диэлектрической оболочки частоты плазмонных резонансов также подчиняются этой закономерности [3].
В данной работе рассмотрена наноструктура, состоящая из кварцевой нити, покрытой слоем серебра. Цель работы — установить условия, при которых плазмонные резонансы реализуются в видимой части оптического диапазона (400—700 нм),
и исследовать как дипольные, так и мультипольные резонансы.
1. ФОМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается двумерная задача дифракции плоской линейно поляризованной волны
ЕХ = ехр(-'кх), Н°о = ехр(-гкх), к = 2п/Х, (1)
на кварцевой нити, покрытой слоем серебра (рис. 1). Используется гауссовская система физических
Рис. 1. Геометрия задачи.
Рис. 2. Зависимость действительной части диэлектрической проницаемости серебра б' от длины волны.
Полное поле и(г, ф) удовлетворяет уравнению Гельмгольца
единиц; зависимость от времени выбрана в виде ехр('юг), где ю = кс, с — скорость света в вакууме.
Зависимость диэлектрической проницаемости от радиуса в исследуемой трехслойной структуре имеет вид
6(r) =
6кв, 0 < r < a, 6, a < r < b, 1, r > b,
(2)
где £„, и £ - диэлектрические проницаемости кварца и серебра соответственно.
Вещественную и мнимую части диэлектрической проницаемости серебра в видимом диапазоне электромагнитных волн будем аппроксимировать функциями, графики которых получены путем интерполяции кубическими сплайнами экспериментальных данных работы [1] и представлены на рис. 2, 3.
В отличие от серебра кварц в исследуемом диапазоне частот имеет существенно меньшие тепловые потери, а его диэлектрическая проницаемость слабо зависит от X. Поэтому будем полагать диэлектрическую проницаемость кварца вещественной величиной: £кв = 2.16.
Исследование сформулированной дифракционной задачи удобнее проводить, используя г-компоненту магнитного поля и (г, ф) = Hz (г, ф). Краевая задача для функции и (г, ф) является скалярной.
д 2U (r, ф) + 1 dU (r, ф) + дг2 r dr 1 д2U(r, ф) ,
(3)
2 -2 r дф
+ k s(r)U(r, ф) = 0.
Граничные условия для функции и (г, ф) имеют вид
U(a - 0,ф) = U(a + 0,ф),
1 6U, п х 16U, , п х --(a - 0,ф) =--(a + 0,ф),
6 кв dr 6 dr
U(b - 0,ф) = U(b + 0,ф),
1 dU (ь - 0, ф)(Ь+0, Ф).
6 dr dr
Падающее поле задано функцией
U0 = exp(-ikr cos ф).
(4)
(5)
В области г > Ь полное поле состоит из падающего и0 и рассеянного и3 полей:
U = U0 + US, r > b.
(6)
Рассеянное поле в дальней зоне должно удовлетворять условию излучения
иБ ~ Ф(ф)л/— ехр (-кг + Iп), кг ^ да, (7) \пкг \ 4/
где Ф(ф) — диаграмма рассеяния. Компоненты электрического поля могут быть выражены через функцию и (г, ф):
ди, = ди. (8)
iks(r)r дф
iks(r) dr
2. КВАЗИСТАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМОННЫХ РЕЗОНАНСОВ
Если размеры рассеивателя малы по сравнению с длиной волны (кЬ < 1), то в области кг < 1 волновое поле и (г, ф) будет приближенно удовлетворять уравнению Лапласа
д 2и +1 ди +1 д2и = 0
дг2 г дг г2 дф2
(9)
ит(г, ф) = Ят(г) ео8(тф), т > 1. Из соотношений (9), (10) следует
(10)
Атгт, 0 < г < а, Д,(г) Автгт + Стг-т, а < г < Ь, (11)
Бтг Л г > Ь.
Из граничных условий (4) можно получить систему однородных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов Ат, Вт, Ст, Бт. Приравняв к нулю детерминант этой системы, получим дисперсионное уравнение для нахождения е:
(12)
(б + 1)(б + бКв) - (б - 1)(б - бКв)а2т = 0,
Величины е и екв в это уравнение не входят, одна- где ко они содержатся в граничных условиях (4).
При некоторых дискретных значениях диэлектрической проницаемости е существуют достаточно быстро убывающие при г ^ да решения однородной краевой задачи (9), (4) [4]. Эти собственные колебания могут быть получены методом разделения переменных:
а , а -- < 1.
Ь
(13)
В работе [3] дисперсионное уравнение (12) выведено из строгого решения краевой задачи (3)—(7), полученного методом разделения переменных. В указанной работе исследовались резонансные знаменатели в фурье-разложении поля, при этом использовались асимптотические представления для цилиндрических функций малого аргумента.
Решения квадратного уравнения (12) обозначим
±
через б т:
± £ т
(1 + а2т)(1 + бкв) ± У(1 + а2т)2(1 + бкв)2 - 4(1 - а2т)2£к
2(1 - а2т)
(14)
Оба корня отрицательные, причем -да < е^, < -£кв,
—1 < ^т < 0 и ^т = ^кв.
При б кв = 1 выражение (14) переходит в формулы, полученные в работе [4] для цилиндрической оболочки. Там же исследованы особенности поведения собственных функций Л,±(г), соответствующих двум ветвям собственных чисел: и
6т. Отличительной особенностью функций Д+(г) является их обращение в нуль в некоторой точке, расположенной внутри интервала (а, Ь).
Факт существования нетривиальных решений однородного уравнения Лапласа (9) означает, что при малых значениях параметра кЬ решение неоднородной краевой задачи для уравнения Гельмгольца (3)—(7) будет резко возрастать при приближении диэлектрической проницаемости е
к собственным значениям 6 т. При этом в фурье-разложении поля будет преобладать единственная гармоника ео8(тф).
Собственные числа 6т существенно зависят от параметра а и могут изменяться в широких пределах. Так, при а = 0.85 имеем 6+ = —19.5. Как следует из рис. 2, в этом случае дипольный плазмон-ный резонанс (т = 1) реализуется в длинноволновой части видимого диапазона.
Важнейшей характеристикой структуры является полное сечение рассеяния
2п
а = п2к 11ф(Ф)|2 лФ.
(15)
Вычислив из статической задачи дипольную поляризуемость структуры, получим следующее выражение для полного сечения рассеяния, которое справедливо при кЬ ^ 0:
(е - 1)(е + Е кв) - (Е + 1) (Е — Е кв)а2
(Е + 1)(Е + Е кв) - (Е — 1) (Е — Е кв)а2
а = — Ь(кЬ)3 2
При отрицательном значении е, равном
(16)
60 = -
(1 + а2)(Екв -1) + У(1 + а2)2(Е
-1)2 + 4(1 - а2)2ек
2(1 - а2)
(17)
0
2
ко 101
10'
10-
10-
400
500
600
700 X, нм
Рис. 4. Зависимость полного сечения рассеяния структуры с параметрами Ь = 40 нм, а = 0.75 от длины волны. Сплошная и штриховая кривые соответствуют е = е' и е = е' —ге''.
|Ф(ф)| 2
90
120
60
150
180
210
30
330
270
300 Ф, град
Рис. 5. Модули диаграмм рассеяния структуры с параметрами Ь = 40 нм, а = 0.75 при дипольном резонансе (X я 540 нм). Сплошная и штриховая кривые соответствуют е = е' и е = е' —ге''.
сечение рассеяния (16) обращается в нуль. Разумеется, строгое выражение (15) не может обратиться в нуль. Однако ниже будет показано, что формула (17) позволяет определить длину волны X, на которой функция ст(Х) имеет минимум.
3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Все численные расчеты волновых полей выполнены при помощи модифицированного метода дискретных источников [5—7], который авторы ранее применяли при исследовании задач дифракции на плазменных объектах [8—10].
Рассмотрим рассеивающие свойства наноструктуры с параметрами Ь = 40 нм, а = 0.75. На рис. 4 представлена зависимость полного сечения рассеяния от длины волны X. Видно, что в исследуемом диапазоне волн существуют два плазмонных резонанса (т = 1,2). Найденные по формуле (14) собственные значения диэлектрической проницаемости равны 6+ = -11.1; 6 + = -5.7. При помощи графика, приведенного на рис. 2, можно определить значения соответствующих резонансных длин волн. Полученные величины согласуются с положением резонансных пиков на рис. 4. Из формулы (17), определяющей нули квазистатического сечения рассеяния, получим б 0 = -4.6. Согласно рис. 2 этому значению соответствует длина волны X ~ 400 нм. Из рис. 4 следует, что вблизи X = 400 нм функция ко(Х) действительно имеет минимум.
Покажем, что вдали от резонансных частот при расчете сечения рассеяния по приближенной квазистатической формуле (16) и расчете строгими численными методами получены близкие результаты. Действительно, при X = 700 нм согласно
рис. 2 имеем б « —23 и по формуле (16) получим к а ~ 0.2. Эта величина согласуется с результатами численных расчетов, представленных на рис. 4.
На рис. 5, 6 приведены модули диаграмм рассеяния Ф(ф) на частотах, соответствующих диполь-ному (т = 1) и квадрупольно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.