научная статья по теме ПЛОСКАЯ ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧА ЛЭМБА: ВОЛНЫ В ЭПИЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗОНЕ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОГО СИЛОВОГО ИСТОЧНИКА Физика

Текст научной статьи на тему «ПЛОСКАЯ ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧА ЛЭМБА: ВОЛНЫ В ЭПИЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗОНЕ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОГО СИЛОВОГО ИСТОЧНИКА»

^^^^^^^^ ОБРАБОТКА АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

539.3

ПЛОСКАЯ ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧА ЛЭМБА: ВОЛНЫ В ЭПИЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗОНЕ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОГО СИЛОВОГО ИСТОЧНИКА

© 2015 г. С. В. Кузнецов*, Е. О. Терентьева**

*Институт проблем механики РАН 119526Москва, просп. Вернадского 101, корп. 1 E-mail: kuzn-sergey@yandex.ru **Московский государственный строительный университет 129337Москва, Ярославское ш. 26 E-mail: xelena-elena@yandex.ru Поступила в редакцию 02.03.2014 г.

Анализируются волновые поля в эпицентральной зоне для внутренней задачи Лэмба о действии сосредоточенной силы внутри упругой полуплоскости. Проводится сравнение решений, полученных с помощью интегральных представлений, методов геометрической оптики и конечноэлементных аппроксимаций.

Ключевые слова: Задача Лэмба, поверхностные волны, исчезающие волны, эпицентр. DOI: 10.7868/S0320791915030119

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 3, с. 387-399

УДК

1. ВВЕДЕНИЕ

Ниже анализируются методы, применяемые при решении внутренней задачи Лэмба о динамическом действии сосредоточенных силовых особенностей, расположенных внутри упругой полуплоскости или полупространства. Рассматриваются, в основном, решения для изотропного и однородного полупространства или полуплоскости.

1.1. Постановка задач и метод Лэмба

В [1] Лэмб рассмотрел две внешние задачи о распространении волн в изотропном упругом полупространстве и изотропной упругой полуплоскости от сосредоточенного силового воздействия, приложенного нормально к свободной границе. В этой работе были рассмотрены также две внутренние задачи о волнах в упругом полупространстве и полуплоскости, вызванные центром расширения, находящимся на некоторой глубине под поверхностью. Решение этих задач в [1] было сведено к интегральным уравнениям относительно скалярного и векторного потенциалов. В [2] внутренняя и внешняя задачи были обобщены на случай сосредоточенных нагрузок, движущихся с постоянной скоростью.

Надо отметить, что в [1, 2] в случае произвольных по времени нагрузок замкнутое решение удалось построить лишь в пространстве изображений (по Фурье для пространственных перемен-

ных и по Лапласу для временной переменной). С помощью асимптотических оценок в [1] было показано, что в случае внешних плоской и пространственной задач основной вклад в поле смещений на свободной поверхности вносят рэлеев-ские волны. Помимо этого, в [1] было получено аналитическое решение для плоской внешней задачи в случае нормальной к границе сосредоточенной нагрузки, изменение во времени которой описывается ядром Пуассона.

Кроме того, в [1] было показано, что в случае гармонического источника при решении внешней задачи магнитуды рэлеевских волн на свободной поверхности на достаточном удалении от эпицентра в случае плоской задачи не зависят от \гх\, а в случае трехмерной задачи убывают пропорционально \гХ —2, где |х| — расстояние от эпицентра, а г — волновое число. Далее, в той же работе с помощью асимптотических оценок было найдено, что наряду с волнами Рэлея точечный источник вызывает появление объемных продольных (Р) и поперечных волн.

Заметим, что при распространении объемных волн, порожденных точечным гармоническим источником в безграничной среде, убывание их магнитуд происходит быстрее. Например, в случае плоской задачи магнитуда убывает как \гх\ 112,

а в случае трехмерной задачи, как \гх\— [3]. Таким образом, в [1] впервые было дано теоретическое

обоснование утверждения Рэлея [4] о том, что поверхностные (рэлеевские) волны убывают медленнее объемных волн с увеличением расстояния от источника.

Для построения решений как внутренней, так и внешней задач Лэмба уравнения движения На-вье в [1, 2] записывались в форме Ламе—Клапейрона [5, Sect. 59]:

+ 2ц) Vdivu -^rotrotu + b = pii, (1)

где X и ц — константы Ламе, u — поле перемещений, b — поле массовых сил, р — плотность среды. Для массовых сил использовалось представление Гельмгольца [5, Sect. 67]

b = -Va- rotp, (2)

где a и в — скалярный и векторный потенциалы, и аналогичное представление [5, Sect. 67] для поля перемещений

u = Уф + roty, (3)

где ф — скалярный, а у — векторный потенциалы. Представление (3) аналогично представлению Папковича—Нейбера для поля перемещений при решении уравнений статики. В качестве начальных условий в [1, 2] рассматривались однородные условия вида

u(x, t)t=0 = 0, 51u(x, t)t=0 = 0. (4)

Подстановка представлений (2), (3) в уравнения движения и применение преобразования Фурье по временной переменной (или предположение о гармоническом изменении во времени нагрузки) позволили свести уравнения движения к неоднородным уравнениям Гельмгольца для скалярного и векторного потенциалов:

д + Ш_

Ci J

д + Ш_

C2 J

¥' = i в'.

(5)

(6)

Штрихи у потенциалов в (5) означают освобождение от гармонического множителя в"0'. При получении уравнений (5) использовались три легко проверяемых тождества [5, Sect. 5]

rot rot rot у = -rotAy, divroty = 0, го^ф = 0.

На внешней поверхности nv полупространства или полуплоскости задавались условия второй краевой задачи (в напряжениях)

tv = (A,tr (г)I + 2цг) • v = px', t)v, x' e nv, (7)

где v — вектор единичной внешней нормали к плоской границе; I — единичная диагональная матрица, г — тензор (малых) деформаций; p — нагрузка на свободной поверхности.

Далее, для внешней задачи Лэмба массовая сила b в (1) и соответствующие потенциалы в (2) принимались равными нулю. В этом случае граничные условия (4), записанные в терминах потенциалов (5), имели вид

( . ( .1( . / . V ^

ХАф01 + 2ц УУфо + 2 Уго1у0 + (Уго1у0) V V V ' ' )))

х V = р(х', Рц*, х' еП,.

В уравнениях (8) потенциалы ф0 и у0 отвечают однородным решениям уравнений (5).

В случае внутренней задачи Лэмба массовые силы в (1), (2) задавались градиентом только скалярного потенциала Уа, поскольку в [1, 2] рассматривалось только решение осесимметричной задачи о центре дилатации. Если обозначить через фО, скалярный потенциал в (5), отвечающий

потенциалу а', а через ф0 и у 0 — соответствующие потенциалы, отвечающие однородным уравнениям (5), условия (7) принимают вид

(9)

ХДфОД + 2цУУфа + ХДф01 + 2ц УУфО +

V V

1Г . I .V ^

+ 2 Уго1у0 + 1Уго1у0) • V = 0, хеПу.

2V ^ ' )))

Для построения решения пространственного уравнения Гельмгольца в [1, 2] использовалось фундаментальное решение уравнения Гельмгольца:

Ф

1 ¿1 |x|

4п

ю

Ci

(10)

Аналогичный вид имеет фундаментальное решение у' векторного уравнения Гельмгольца с заменой г1 на г2 и с1 на с2, где с1 и с2 — скорости продольной и поперечной объемных волн соответственно:

Ci =

я + 2ц

_ 0.87 + 1.12v cr = : c2.

„ 1 2 (11) р VP 1 + V

В (11) V — коэффициент Пуассона, а ек — скорость волны Рэлея, вычисляемая по приближенной формуле Бергманна—Викторова, впервые полученной в [64].

В плоском случае фундаментальное решение скалярного уравнения Гельмгольца представимо в виде

Ф

- 1 и

-- 4 H 0

(i)

(ii |x|),

ю

(12)

где Н 0:) — функция Ганкеля первого рода нулевого порядка. Аналогичный вид имеет фундаментальное решение у' для векторного уравнения. При решении задачи с нагрузкой, произвольно зависящей от времени, круговая частота ю в выражениях (10), (12) заменялась на параметр преобразования Фурье (или комплексный параметр преобразования Лапласа).

Далее, в работах Лэмба [1, 2] осуществлялось решение граничных задач (8), (9) с помощью интегральных преобразований по пространственным и временной переменной. Надо отметить, что обратить полученные интегральные пред-

ставления оказалось весьма непросто: в замкнутом виде решение удалось получить лишь для гармонической нагрузки. В случае произвольной зависимости от времени замкнутое решение было получено в пространстве изображений, точнее, решение на поверхности было представлено в виде несобственного интеграла от некоторой алгебраической функции.

1.2. Метод Лэмба, асимптотические оценки

В дальнейшем представления Гельмгольца (2), (3) и потенциалы Ламе—Грина (3) использовались в большинстве подходов, связанных с решением внутренней и внешней задач Лэмба, однако техника вычисления сингулярных интегралов, появляющихся при сужении потенциалов на граничную поверхность, менялась. В [6, 7] с помощью комбинации методов наискорейшего спуска и стационарной фазы при обращении интегральных уравнений были получены асимптотические оценки (при больших х/И, где х — расстояние от эпицентра, И — глубина источника) для компонент перемещений на границе полуплоскости для некоторых внутренних и внешних задач, обобщающих задачу Лэмба, например в [6] рассматривалась нагрузка под произвольным углом к поверхности.

Особый интерес представляет работа [7], где исследовалась плоская внутренняя задача о действии сосредоточенной силовой особенности в виде центра расширения. В этой работе рассматривалось два вида нагрузок: гармоническая и меняющаяся во времени по закону, задаваемому функцией Хэвисайда. С помощью асимптотических оценок было найдено, что в случае гармонической нагрузки рэлеевские волны не возникают вблизи от эпицентра. Точнее, на расстояниях d1, удовлетворяющих условию

СкН

d1 <

2 2 ' - Cr

(13)

где ак — скорость волны Рэлея, а Н — глубина источника, — рэлеевских волн нет. На более удаленных от эпицентра расстояниях рэлеевские волны появляются, однако вплоть до расстояния

d2 <

CrH

J

(14)

С2 - Cr

объемные волны доминируют. При выводе оценки (13) сделано упрощающее предположение о том, что обе объемные волны, а также рэлеевская волна распространяются независимо друг от друга. Отсутствие рэлеевских волн в эпицентральной зоне, удовлетворяющей оценке (13), объяснялось интерференцией с объемными волнами, полностью поглощающими рэлеевскую волну. Приближенные оценки, аналогичные [7], получены в [8] для внутренней плоской задачи Лэмба и центра

расширения, меняющегося во времени по закону, задаваемому функцией Хэвисайда. Несмотря на асимптотическую природу оценок (13), (14), они весьма часто применяются при исследовании волновых процессов вблизи эпицентров.

Еще одна особенность, связанная с эпицентральной зоной, состоит в обнаружении в [7] исчезающей (evanescent) волны, называемой

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком