МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Я. М. ПАСТЕРНАК, Г. Т. СУЛИМ
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА С ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ТОНКИХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ
В работе построена система интегральных уравнений метода граничных элементов для исследования двоякопериодических систем тонких включений в анизотропном теле. Получены зависимости для определения средних напряжений и деформаций композита с регулярными системами тонких неоднородностей. Реализованы численные процедуры предложенного метода и вычислены обобщенные коэффициенты интенсивности напряжений, а также эффективные модули упругости композита с двоякопериоди-ческими системами тонких упругих включений.
Ключевые слова: метод граничных элементов, обобщенные коэффициенты интенсивности напряжений; тонкое включение; трещина; анизотропия; эффективные характеристики композита.
1. Введение. Все материалы, в частности и конструкционные, часто содержат дефекты в виде трещин и тонких включений. При исследовании взаимодействия таких дефектов, как правило, сосредотачиваются на изучении регулярно расположенных неоднородностей, ведь, как указано в работах [1—4], такими можно считать системы трещин в слоистых кристаллах, горных породах и композитных материалах. Периодические системы трещин в изотропном материале рассмотрены в монографиях [5—7] и большом количестве статей, в частности, [1—4]. Значительно меньше работ касается периодических систем трещин в анизотропной среде. Среди них можно отметить труды [8-11].
Важность исследования двоякопериодических задач обусловлена также возможностью решить с их помощью проблему определения и оптимизации эффективных механических свойств композитного материала с регулярной структурой [4, 6, 7]. При построении соответствующих моделей армированного волокнами или пластинками композита подкрепляющие элементы чаще всего представляют тонкими абсолютно жесткими включениями [4, 12, 13]. В монографии [7] и статье [14] для антиплоской деформации эти результаты обобщены на случай систем тонких упругих включений. В книге [15] методами рядов по полиномам Фабера рассмотрены периодические задачи для анизотропных пластинок с криволинейными глобулярными включениями. В работе [16] исследованы эффективные свойства композита с анизотропной матрицей, армированной системой тонких гибких включений. Трехмерная задача для периодической системы включений рассмотрена с помощью метода граничных элементов в работе [17].
При построении аналитических или аналитико-численных решений двоякопериодических задач характерным является использование двух подходов. В первом ядра интегральных уравнений, записанных для формально неограниченного количества неоднородностей, полностью [5, 6] или частично [7] суммируются и на их основе
строятся общие соотношения двоякопериодической задачи. Во втором [4] рассматривается лишь один представительный элемент объема, на границе которого задаются соответствующие условия контакта с соседними представительными элементами с учетом их повторяемости. Недостатком последнего подхода является дополнительное введение границы параллелограмма периодов, что может вызвать снижение точности расчетов и увеличение времени решения результирующей системы алгебраических уравнений. Краевые условия в этом случае также не всегда просто сформулировать.
Целью публикуемой работы является построение общего аналитико-численного подхода, позволяющего рассматривать двоякопериодические системы тонких упругих неоднородностей (в том числе и щелей-трещин) в анизотропных телах. Как средство для численного решения построенных сингулярных интегральных уравнений соответствующих задач выбрана модификация [18, 19] метода граничных элементов, показавшая свою эффективность при изучении влияния тонких включений на физико-механические поля, действующие в анизотропных и пьезоэлектрических материалах, в частности, при вычислении коэффициентов интенсивности напряжений возле вершин неоднородности.
2. Постановка задачи. Рассмотрим плоскую задачу теории упругости для бесконечной анизотропной среды с системой тонких упругих включений. Согласно принципу сопряжения континуумов разной размерности [7, 20, 21] последние будем моделировать линиями Г5 (. е Ъ) разрыва полей напряжений и смещений. Тогда интегральные уравнения задачи для тела с линиями разрывов приобретут вид [18]:
Ъик (у) = 1?( у) + X
ЯРУ | и у (х, у)Ъг.(х)Щх) - СРУ | Ту (х, у)Ди.(х)Щх)
Д^ (У) = п+ (У)
СРУ | Бт(х, у)Е4(х)йГ(х) - НРУ | ух, у)ДиЦх)йГ(х)
(2.1)
Ди, = и+ - и-, Дг,- = г+ - г-, Ъи, = и+ + и-, Ъг, = г+ + г-, г- = с±п±
где у е Гк (к е 2) — точка коллокации; и,, г, — компоненты векторов смещений и напряжений; п± — компоненты векторов внешних нормалей п± к образованным разрезом Г. поверхностям Г±; Су — компоненты тензора напряжений Коши; знаками + и — обозначены величины, относящиеся соответственно к поверхностям Г+ и Г-. Функции
I(у), (у), определяющие смещения и напряжения в соответствующей задаче при отсутствии включений, заданы выражениями
I? (у) = 4 [иу (х, у) У (х) - Ту (х, у) иу (хЖГ (х), ну (у) = С,
Г (у)
lJmq± т,д )
(.2)
где Г™ — бесконечно удаленный контур, на котором заданы составляющие вектора
напряжений и соответствующие им компоненты и-° вектора смещений. Нижние индексы в обозначениях соответствуют проекциям векторов на оси глобальной системы координат Ох]Х2, а также компонентам соответствующих тензоров. В формулах принято правило суммирования по повторяющемуся индексу.
Ядра интегральных уравнений для плоской задачи теории упругости анизотропного тела согласно зависимостям формализма [22] имеют вид [18]:
2
г
Щ (х, у) =11ш[Л-аAjalnZа (х - у)], Ту (х, у) = 11т п п
А B
.1а^ уа
(п2 - п1 Pa ) Zа (х-у)_
Пу; (х, у) = Су
$ук (х, у) = Су
ди
рк
1
дУт
1т
(§2у -§1 уРа)ВгаАка
Zа (х - у)_
(2.3)
дТрк 1
= - 1т
дУт п '¿а (х) = Х1 + Рах2
(§2у -§1 уРа)ДаВка
п2 - П1 Ра [а (х - у)]2]
Комплексные постоянныера (с положительной мнимой частью) и матрицы А = [Л1а] = [аа], В = [Ва ] = [Ь а ] определяются из следующих характеристических уравнений и условий нормирования [22]:
(О + ра(К + Ит) + рОГа а = 0, Ьа = (Кт + раТ)а0
Вт А + А ТВ = I, Вт А + А тВ = 0
(2.4)
где Qik = Сцк1, ^к = Сцк2, Тк = Сакъ Ciуkm - компоненты симметричного тензора (Сукт = Сукт = Скту = Сутк) упругих постоянных, определяющихся согласно закону Гука Су = Суктикт выражениями Фойгта
С1111 = с11> С1122 = С12' С1121 = С16 > С2222 = С22' С2212 = С26> С1212 = С66 Для плоского напряженного состояния постоянные Су = Сц равны
„ _ а22а66 - а26 „ _а16а26 - а12а66 „ _ а12а26 - а16а22
С11 --1-, С12 --:-, С16 --:->
А А А
2 2
„ _а11а66 - а16 „ _ а16а12 - а11а26 „ _ а11а22 - а12 .
С22 --:-, С26 --:-, С66 --:->
А А А
А =
а11 а12 а16
а12 а22 а26 а16 а26 а66
Здесь aij — коэффициенты деформации (модули податливости) [23]. При изучении плоской деформации постоянные а^ необходимо заменить величинами [23]
ву = ау - авауз1 ап (;, у = 1,2,4,5,6)
Для решения поставленной задачи к интегральным уравнениям (2.1) необходимо приобщить определенные соотношения модели тонкого упругого включения
Ъик (у) = ^(у, А«;, Щ), Аг;к (у) = 4(у, А«;, Щ)
(2.5)
связывающие между собой разрывы (скачки) и средние значения векторов напряжений и смещений на противоположных берегах неоднородности. Конкретизацию выражений (2.5) можно найти в работах [18, 24].
По найденным значениям краевых функций А«;, смещения, напряжения и функции напряжений в произвольной точке \ среды вычисляются с помощью следующих интегральных представлений [18]:
« (4) = XI [иу (х,4) Щ(х) - Ту (х,4) Аи»КГ(х) +1Г (4)
(2.6)
1 5
°J (4) = X J [Dijk (x, 4) Stsk(x) - SiJk (x, 4) Auk(x)]dr (x) + S^ (4)
seZ Г+
1 s
(2.7)
P, (4) = Z J [^iJ (x,4) St;(x) - Fj (x, 4) Au»]rfT (x) - Jsy (x) nj (x) dT (x)
Г+ x„
где ядра Gy (x, y), Fy (x, y) заданы выражениями
Gy (x, y) = 1 Im [Aja ln Za (x - y)], Fy (x, y) =1 Im
B¡r,B¡,
П2 - П1 Pg
Za (x - У)_
а функции напряжений ф, определены зависимостями [22]:
%
Од = -ф/,2 > ЪЦ = Фф Ф; (4) = - j Gij (x) nj (x) dГ (x)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
3. Суммирование ядер при двойной периодичности. В случае двоякопериодической системы идентичных тонких включений или их групп (все разрезы Г5 идентичны некоторому базовому контуру Г0), а также существования аналогичной повторяемости факторов нагружения вследствие трансляционной симметрии можно утверждать, что
разрывы напряжений и смещений Аи/ являются одинаковыми для каждого включения. Поэтому систему уравнений (2.1) можно записать в форме
и о,
IEu0 (y) = RPV j U¡p (x, y)Zty0(x)dr(x) - CPV J Tf (x, y) Au0(x)dr(x) + IT (y)
2 Г+ Г+
Г 0 Г 0
i At,0 (y) = nj (y)
1 + CPV j Dyk (x, y) Ztk(x)dr (x) - HPV j (x, y) Au°(x)dr(x)
(3.1)
0
щий вид:
Kdp (x, y)= X X K(x + jmw + ий(2), y)
где Г0 — один из берегов базового разреза Г0, а ядра Кйр = [и|!р,ТуР,Ад,БщР] имеют об
ад ад
(i)
Л2)
(3.2)
т=-адs=-ад
о (1) / (1) (1К (2) / (2) (2)ч
Здесь ю = (ю , ю ), ю = (ю , ю ) — векторы соответствующих периодов повторяемости.
Таким образом, исходя из уравнений (2.3) и (3.2), для решения поставленной задачи необходимо сначала вычислить двойные суммы
ад ад
Sidp = X X ln(ua + s^ + тш<2)), S2а = dSdP, Syp = -^
du„ du,
dp
т=-ад s=-ад
(3.3)
ua = Za (x - y), Ю® = Za(»W), ©a2' = Za(»^
(i)\
Л2)
Л(2)\
Обозначим та = , выбирая порядок нумерации периодов так, чтобы мнимая
часть их отношения была положительной: 1т(та) > 0. Поскольку 1т(ра) > 0, для этого необходимо выполнение условия
x
(1) (2) (1) (2) (2) (1) п ю х ю • е3 = ю ю - ю V > 0
^ Х1 Л2 Х1 Л2
где е3 = е1 х е2; е(- — орты осей 0x1. Перепишем сумму ¿'{О' в виде
(3.4)
^ар = 1п
да (
ю,
(1)
п п
1 + -
ю® (И + тта )
+ 1п ю® + С
(3.5)
да да
И+И * о
сдаа=1п п п (+т%а)
т=-да И=-да
И+1И *о
Поскольку согласно (20.5.14) [25] при условии 1т (та) > 0 первая тэта-функция Якоби равна
М N /
01 (2Та )= 201 (0|та) 11т П 11 т П |1 +
М m=-MN И^
п (и + тта)
И+| И *о
то равенство (3.5) можно записать так:
<Р = 1п
- ( Л"
61 пиа Та 1
- 1п(л91 (0|т а)) + 1пю0а) + С£
(3.6)
Согласно [25] тэта-функция 91 (2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.