ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 5, с. 807-821
УДК 519.624.2
ПЛОСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
© 2015 г. В. П. Варин
(125047Москва, Миусская пл. 4, ИПМ РАН) e-mail: varin@keldysh.ru Поступила в редакцию 13.10.2014 г.
Рассматриваются полиномиальные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) вблизи вырожденной особой точки. Изучаются семейства решений таких ОДУ, экспоненциально близких решению, представленному формальным степенным рядом. Показано, что для систем таких уравнений на плоскости все решения этого семейства однозначно определяются в виде ряда из плоских функций. В настоящее время такие (плоские) разложения мало изучены. Степенные ряды, входящие в плоские разложения, могут как сходиться, так и расходиться. Приводятся примеры вычисления плоских разложений и рассматриваются их приложения. Вычислено плоское разложение решения проблемы Блазиуса вблизи бесконечности и показано, что это асимптотическое разложение сращивается со степенным разложением Блазиуса вблизи нуля. Библ. 15. Фиг. 2.
Ключевые слова: асимптотические разложения, плоские функции, особенности ОДУ, проблема Блазиуса.
Б01: 10.7868/80044466915050178
1. ВВЕДЕНИЕ
Разложения функций и, в частности, решений ОДУ вблизи особой точки в асимптотические ряды по элементарным и специальным функциям имеет не только теоретическое, но также и большое практическое значение особенно в вычислительной математической физике.
В настоящее время эта классическая область анализа бурно развивается, вероятно, не в последнюю очередь благодаря новым техническим возможностям, которые предоставляют компьютеры.
Здесь невозможно дать даже краткого обзора новых направлений исследований в этой области и новых понятий, таких, например, как гиперасимптотики, суперасимптотики, и обобщающее их понятие трансряда (см. [1], [2] и приведенные в них ссылки).
В этой статье рассматривается весьма частный случай трансрядов, который мы называем плоскими разложениями.
Смысл этого понятия можно пояснить на элементарном классическом примере обычного степенного асимптотического разложения, который можно найти в любом руководстве по асимптотическому анализу (см., например, [3, с. 17]).
Примеры такого рода приводятся обычно вместе с пояснением, что степенной асимптотический ряд представляет функцию лишь приближенно, т.е. с точностью до некоторой плоской функции, которая не влияет на степенной ряд, так как она асимптотически меньше (или больше) любого члена асимптотического разложения.
Плоские разложения возникают естественным образом, когда мы пытаемся выяснить природу плоской добавки к степенному асимптотическому разложению.
Если эту плоскую добавку удается вычислить, то немедленно возникает необходимость вычислить следующую плоскую добавку, так как квадрат плоской функции асимптотически меньше ее самой, и т.д.
В такой общей формулировке эта проблема не обозрима и не представляет для нас интереса, так как в настоящей работе мы будем рассматривать не асимптотические ряды вообще, а лишь асимптотические ряды, которые являются формальными решениями ОДУ.
Асимптотические ряды, вообще говоря, нельзя дифференцировать, но эти последние дифференцировать по определению можно.
Рассмотрим простейший из возможных нетривиальных примеров алгебраических ОДУ: полиномиальную автономную систему на плоскости, которая записывается в виде одного уравнения первого порядка:
р(х, у)йу - д(х, у)йх = 0, (1)
где р и # — полиномы от х, у.
Предположим, что начало координат является немонодромной особой точкой системы (1). Тогда существуют характеристические траектории, входящие в особую точку (см. [4], с. 89]). Качественное поведение таких траекторий хорошо изучено.
Однако, если рассматривать проблему конструктивного описания таких траекторий, т.е. представления этих траекторий вблизи особенности в виде некоторых рядов или разложений, то сразу возникает ряд нерешенных проблем, одна из которых — это какого типа разложение следует искать.
Проблема конструктивного описания траекторий, входящих в особенность, возникает, например, в численном анализе. Применение стандартных численных процедур возможно только в области, где векторное поле аналитично. Вычисление начального участка траектории по его разложению вблизи особой точки позволяет отступить от сингулярности и свести задачу к стандартной для численного анализа. Для этих целей главный член асимптотики решения редко бывает достаточным, так как вблизи сингулярности траектории могут быть сильно неустойчивыми, и приближение к решению требуется с большой точностью.
До недавнего времени были хорошо изучены два типа трансрядов для решений уравнения (1), входящих в особую точку:
1) степенные разложения по целым или рациональным степеням независимой переменной, в том числе включающие произвольную константу;
2) так называемые пси-ряды (см. [5, с. 249]), т.е. степенные ряды по иррациональным степеням независимой переменной; или степенные ряды с коэффициентами, зависящими от логарифма независимой переменной.
Но возможные типы разложений этим не могут исчерпываться, что показывает классический (слегка модифицированный) пример Эйлера (см. [6, с. 220]) — уравнение
х2у' = у - х, (2)
которое имеет решение в виде формального степенного ряда
да
уо(х) = £ (к - 1 )!хк. (3)
к = 1
На самом деле, каждому формальному разложению решения ОДУ соответствует некоторая функция, которая является фактическим решением этого уравнения (см. [7]). Иногда такая функция может быть восстановлена по ее степенному (расходящемуся) ряду с точностью до плоской функции.
Решение (3) является частным решением уравнения Эйлера. Общее (формальное) решение уравнения (2) записывается в виде
у (х) = уо(х) + С е-1/х, (4)
где С — произвольная константа.
Решение (4) дает простейший пример плоской добавки к частному степенному решению (3), представленному асимптотическим рядом.
Если взять возмущение уравнения (2), добавив к правой части нелинейные по х и у члены, то главный член асимптотики степенного решения (3), т.е. у « х, сохранится, что легко проверить. Если предположить, что плоская добавка сохранится (или вообще имеется) у решения модифицированного уравнения (мы покажем, что это так), то эта добавка умножится сама на себя и даст плоские функции большего порядка малости, т.е. ряд из плоских функций.
Как будет показано, общее решение в таких случаях представляется в виде формального ряда по плоским функциям, т.е. функциям, убывающим (либо возрастающим) быстрее любой степени.
Решения ОДУ в виде трансрядов этого типа мало изучены. Примеры таких (экспоненциальных) трансрядов приводились в качестве решения некоторых интегрируемых уравнений Рикка-ти (см. [2, с. 46]).
В настоящей работе будет дано необходимое и достаточное условие существования формальных разложений решений уравнения (1) вблизи особенности (начала координат) по плоским функциям. Будет показано, что такое разложение (если существует) единственно и записывается в следующем виде:
да
у (х) = £ СкеШх)ук (х), (5)
к = 0
где С — произвольная вещественная константа; у0(х) — формальный степенной ряд по рациональным возрастающим степеням х; ук(х), к = 1, 2, ... — формальные степенные ряды по рациональным или вещественным возрастающим степеням х (коэффициент при младшем члене ряда у1(х) равен 1 ввиду произвольности С); Я(х) — конечная сумма мономов (кратко: полином), имеющих отрицательные рациональные степени х.
Формальные степенные ряды ук(х), к = 0, 1, ..., входящие в разложение (5), могут как расходиться, так и сходиться, а также обрываться (т.е. быть полиномами). В уравнении (2), например, у0(х) расходится, у1(х) = 1, ук(х) = 0, к = 2, ... .
Более содержательный пример можно сконструировать следующим образом.
Пример 1. Рассмотрим функцию
у (х) = -т-ш), (6)
1 - С0( х) еК(х)
где Р и О — рациональные функции, а Я(х) — полином по отрицательным степеням х. Разлагая правую часть уравнения (6) по степеням С, получаем разложение вида (5), где все ряды сходятся, включая у0(х) = Р(х). Если продифференцировать уравнение (6) по х и подставить туда константу С, найденную из уравнения (6), то в результате получается нелинейное уравнение вида (1), имеющее функцию (6) в качестве общего решения.
Статья имеет следующую структуру.
В разд. 2 приводится необходимое и достаточное условие существования разложения вида (5). Необходимость при этом эквивалентна существованию полинома Я(х) нужного вида, который находится однозначно вместе с первой плоской добавкой. Условие существования плоской добавки является и достаточным, что доказывается построением разложения (5) по индукции.
В разд. 3 приводятся примеры вычисления рядов (5). Ряды ук(х), к = 1, 2, ..., вычисляются методом неопределенных коэффициентов. При этом результаты разд. 2 гарантируют разрешимость всех линейных уравнений для коэффициентов, и логарифмы в степенных разложениях ук(х), к = = 1, 2, ..., не возникают.
В разд. 4 рассматривается приложение плоских рядов к классической проблеме Блазиуса (см. [8]).
Блазиус был, вероятно, одним из первых, кто вычислил плоский трансряд (по крайней мере, первые 2 его члена), и попытался применить его для решения задачи о погранслое.
По-видимому, никто (включая самого Блазиуса) не обратил внимания на новую природу того объекта, который удалось вычислить Блазиусу. Напротив, Блазиус подвергся критике за то, что без всякого обоснования использовал асимптотические ряды в вычислениях и, соответственно, получил весьма грубое приближение.
Мы покажем, что трудности, с которыми столкнулся Блазиус, были скорее технического, нежели принципиального характера. Иными словами, метод Блазиуса, который состоит в сращивании степенного разложения в окрестности нуля с асимптотическим разложением в окрестности бесконечности, работает.
С другой стороны, мы покажем, что оптимизм Блазиуса относительно того, что его асимптотический ряд может быть продолжен с помощью тех же функций, что участвовали в вычислении первых двух членов, оказался неоправданным.
На самом деле, начиная с третьей плоской добавки появляются новые т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.