М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014
УДК 532.517.2
© 2014 г. К. Г. ШВАРЦ
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ АДВЕКТИВНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ТВЕРДЫМИ ГРАНИЦАМИ
Представлено точное решение уравнений Навье—Стокса, описывающее плоскопараллельное адвективное течение в плоском слое несжимающейся жидкости с твердыми границами, на которых задано линейное распределение температуры разных знаков, либо линейный горизонтальный температурный градиент.
Ключевые слова: неизотермическая жидкость, адвективные течения, точное решение.
Адвективные течения возникают в горизонтальном слое жидкости под действием продольного градиента температуры [1]. Их специфика состоит в отсутствие вертикальной компоненты скорости, вектор скорости в потоке ориентирован перпендикулярно силе плавучести, которая — основная причина движения. Это свойство не изменяется для различных граничных условий для скорости [2]. В случае, когда температура на границах слоя является линейной функцией (Т = Ах, где х — продольная координата, А — постоянный горизонтальный температурный градиент на границах слоя), течение описывается аналитически, являясь точным решением уравнений Навье—Стокса. Впервые оно было описано в монографии [3], в работах [4, 5] дан обзор таких плоскопараллельных адвективных течений для различных граничных условий. Течения стационарные и, как правило, замкнутые, с нулевым расходом. В монографии [6] приведена процедура получения точных решений уравнений Навье—Стокса, описывающих широкий класс замкнутых адвективных течений во вращающемся плоском слое несжимаемой жидкости. В ней было отмечено, что аналитические решения могут быть найдены не только в случае линейного распределения температуры, но и при линейном распределении потока тепла на горизонтальных границах слоя. Была рассмотрена задача о влиянии вращения на структуру адвективного течения в горизонтальном слое при линейном распределении температуры разных знаков. В монографии [7] было показано, что подобные аналитические решения могут быть использованы для вывода квазидвумерных моделей, применяющихся в технологических и геофизических приложениях [8—10].
В данной работе представлена процедура получения точного решения и исследуется плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое жидкости с твердыми границами при отсутствии вращения, которое возникает под действием постоянного или линейного распределения горизонтального градиента температуры на нижней и верхней границе.
1. Математическая модель. Рассмотрим плоский бесконечный горизонтальный слой несжимаемой жидкости шириной 2Н с твердыми границами, помещенный в однородное поле тяжести. Движение жидкости описывается уравнениями конвекции в приближении Буссинеска [1] в декартовой системе координат Оху1 (г — вертикальная, х, у — горизонтальные координаты). Выбрав в качестве единиц измерения длины, времени, скорости, температуры и давления к, g в АН31V, АН, р0 gPAk3 (где V — кине-
матическая вязкость, Р — коэффициент теплового расширения, g — ускорение свободного падения, р0 — средняя плотность), получим исходные уравнения в безразмерном виде
ди + Ог
дг
^ + Ог
дг
^ + Ог
ди , ди , ди и--+ и--+ ж—
дх ду дг_
ди , ди и--+ и--+ ж—
_ дх ду дг,
= -— + Ли
дх
= -дР + Ли
дг
ди + ди + дж _ о дх ду дг
и ¿Ж + и ¿Ж + ы
дх ду дг _
ду
др 'дг'
= -дР + дж + т
дТ д г
+ Ог
дТ дТ дТ и--+ и--+ ж—
дх ду дг,
= —АТ Рг
(1.1) (1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
ог=^
V
Рг =* X
Здесь и, и, ж — компоненты вектора скорости V, T — температура и р — давление, зависящие от времени t и пространственных координат x, у, z; Ог — число Грасгофа, Рг — число Прандтля, х — коэффициент температуропроводности, оператор Лапласа
А = 5 7 д х2 +5 V ду2 +5 7 дг2 . На твердых границах
г = ±1: и = 0 (1.6)
Граничные условия для температуры определим ниже.
2. Адвективное течение. Учитывая граничное условие (1.6) и условие несжимаемости жидкости (1.4), точное решение системы (1.1)—(1.5) будем искать в следующем виде:
и = ио(г), и = 0, ж = 0, т = То = хто (г) + Т1(г), р = ро (х, г) (2.1)
Подставив формулы (2.1) в систему (1.1)—(1.5), получим систему уравнений для скорости, температуры и давления
дро
дг
дро
= То
(2.2)
ио(г) =
дх
ОгРгто (г) ио (г) = хт0' (г) + т" (г) Граничные условия для скорости имеют вид
ио (±1) = 0
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Заметим, что — это температура жидкости при х = 0. Учитывая условие непротиворечивости, получаем, что уравнение теплопроводности (2.4) разбивается на два
(2.6)
т0' (г) = 0
ОгРгто (г) ио (г) = т1' (г)
Из первого уравнения (2.6) следует, что т0 (г) = С1 + С2г. В случае, когда на границах слоя при г = ±1 задано линейное распределение температуры одного знака, константы С1 = 1, С2 = 0. Это соответствует решению Бириха [4], которое описывает адвективное
0.008
-0.008
-1.0
£
Фиг. 1. Профиль скорости и0(г) адвективного течения жидкости
течение с кубическим профилем скорости. Безразмерная функция т0 (г) = г, если безразмерная температура Т на границах (линейная функция горизонтальной координаты х) удовлетворяет одному из двух следующих условий:
г = +1: Т = +х (2.7)
г = +1: — = х
дг
(2.8)
Заметим, что во втором случае условие (2.8) в размерном виде записывается как дТ/ дг = А1х, где — константа. Тогда температура и давление должны будут измеряться в А1к2 и р0 gPA1Н4 соответственно, а число Грасгофа Ог = g РА1Н5 / и2.
Продифференцируем (2.2) по х, а (2.3) по г. Избавившись от давления, получим уравнение для скорости
«0" (г) = г
К граничным условиям (2.5) добавим условие замкнутости течения
1
| и0 (г) йг = 0
-1
В результате находим 1
«0(г) = —(5г4 - 6г2 +1) 120
(2.9)
На фиг. 1 представлен симметричный профиль скорости плоскопараллельного течения, описанного формулой (2.9) в виде полинома четвертого порядка. Вблизи верхней и нижней границы образуются две струи, направленные вдоль оси х справа налево, скорость отрицательная, третья струя в центре слоя имеет положительную скорость и направлена вдоль оси х слева направо. Скорость равняется нулю на границах
слоя, а также при г = ±10.2. Максимальная скорость, равная 1/120, достигается в середине слоя при г = 0, минимальная безразмерная скорость, равная —1/150, достигается при г = ±10.6. Профиль (2.9) совпадает с профилем скорости конвективного течения, возникающего в вертикальном слое жидкости с однородно распределенным по объему внутренним источником тепла [1], однако распределение температуры адвективного течения в горизонтальном слое существенно отличается.
и
0
0
Т1 0.0002
0
-0.0002
Т1 0.001
0
-0.001
б
-1.0 -0.5 0 0.5 г -1.0 -0.5 0 0.5 г
Фиг. 2. Профиль т1(г) в случае линейного распределения температуры разных знаков (а) и линейного горизонтального температурного градиента (б) на границах слоя при Ог = 1 и Рг = 1
Пользуясь вторым уравнением системы (2.6), граничными условиями (2.7), решаем следующую краевую задачу:
т1' (г) = ОгРггмс (г) , тх (±1) = 0
Получаем, что
тх(г) = О52Р02 - 1)(25г4 - 38г2 - 3) (2.10)
На фиг. 2,а представлен график антисимметричной функции т:(г) при Ог = 1 и Рг = 1 (полином седьмого порядка). В верхней половине слоя она положительная, максимальное значение 0.000221312 достигается при г = 0.694491. В нижней половине слоя ^(г) отрицательная, минимальное значение —0.000221312 достигается при г = -0.694491. Температура жидкости при х = 0 в верхней половине слоя выше, чем в нижней половине.
Если же на границах слоя горизонтальный градиент температуры — линейная функция с граничными условиями (2.8), то приходим к краевой задаче
т1' (г) = ОгРгг«0 (г) , т1 (±1) = 0
Она имеет решение
Т1(г) = (25г7 - 63г5 + 35г3 + 35г) + С3 25200 3
где С3 — произвольная постоянная.
В частности, если, как и в случае (2.10), среднюю поперек слоя температуру взять равной нулю, то С3 = 0. На фиг. 2,б представлен график т:(г) при Ог = 1 и Рг = 1. Максимальное значение монотонно возрастающей т:(г) достигается на верхней границе слоя, минимальное — на нижней т1 (±1) = ± 2/1575 + С3. Температура при х = 0 в верхней половине слоя также выше, чем в нижней.
Рассмотрим пару следующих несимметричных граничных условий для температуры:
1 дТ , гт
г = -1: — = х, г = 1: Т = х
дг
г = _1: т = -х, г = 1: — = х
дг
Для таких граничных условий получим
тх(г) = -Огрг(25г7 - 63г5 + 35г3 + 35г + 32) 25200
Графики т:(г) совпадают с фиг. 2,б с точностью до константы. Температура при х = 0 монотонно возрастает, она либо принимает минимальное значение —0.00253968 на нижней границе в первом случае, либо максимальное значение 0.00253968 на верхней границе во втором случае.
Заключение. Представлено точное решений уравнений Навье—Стокса, записанное в приближении Обербека—Буссинеска. Описано адвективное течение несжимаемой жидкости в бесконечном горизонтальном слое с твердыми границами при наличии на них линейного распределения температуры разных знаков, либо линейной зависимости горизонтального градиента температуры. Продемонстрирована возможность аналитического определения скорости и температуры такого рода течений. Профиль скорости имеет не обычный для адвективных течений кубический профиль, а описывается биквадратным уравнением. Поперек слоя образуются три струи. В случае одинаковых граничных условий для температуры в верхней половине слоя она положительная, в нижней половине — отрицательная. При наличии линейных тепловых потоков на обеих границах или только на одной из них профили температуры с точностью до константы совпадают.
Работа поддержана грантом РФФИ (№ 13-01-96001 р_урал_а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 319 с.
2. Gershuni G.Z., Laure P., Myznikov V.M., Roux B., Zhukhovitsky E.M. On the stability of plane-parallel advective flows in long horizontal layers // Microgravity Quart. 1992. V. 2. № 3. P. 141—151.
3. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 256 с.
4. Андреев В.К. Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения // Препринт № 1-10. Красноярск
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.