ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 5, с. 815-816
УДК 536.75
ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ
ПОЧЕМУ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ
© 2004 г. А. М. Семёнов
Московский энергетический институт (технический университет) Поступило в редакцию 01.03.2002 г.
1. В ряде статей [1-3], опубликованных в весьма престижных научных изданиях, в том числе зарубежных, развивается "обобщенная больцмановская физическая кинетика". Ее основой является предложенное Б.В. Алексеевым (см. ссылку [3]) "обобщенное кинетическое уравнение Больцмана", которое помимо обычных "лиувиллиевского" и "столк-новительного" членов включает дополнительное слагаемое, содержащее вторые производные по времени, координатам и проекциям скорости молекул от функции распределения.
Несмотря на впечатляющие успехи применения развиваемого подхода к решению сложных задач гидродинамики (см. цитируемую литературу и ссылки [3]), методологические основы "обобщенной больцмановской физической кинетики" недостаточно ясны. Более того, несложный анализ, проведенный ниже, показывает, что следствия из "обобщенного кинетического уравнения Больцмана" вступают в противоречие с фундаментальными законами физики.
2. Согласуем используемые обозначения, чтобы избежать недоразумения в истолковании смысла утверждений, которые содержатся в последующем тексте.
Уравнение Больцмана относительно функции распределения молекул /(г, г, с) (г - время, г - радиус-вектор точки в пространстве, с - скорость молекул) имеет вид
О-Бг
= 1 {/, /}.
(1)
В левой части (1) находится "лиувиллиевский" дифференциальный оператор, воздействующий на функцию распределения:
//с.д/ + Е. д/,
Бг дг дг т дс'
(2)
где Е - внешняя сила, действующая на молекулу; т - масса молекулы. В правой части (1) - столк-новительный член уравнения Больцмана, который представляет собой интегральный оператор,
преобразующий функцию распределения в нелинейный (квадратичный) функционал.
Заметим, что (1) вытекает из уравнения Лиу-вилля для функции распределения О(г, гь ..., гд, Сх, ..., сд) замкнутой Д-частичной системы, проинтегрированного по координатам и скоростям всех частиц, кроме одной "выделенной":
О/ Д д г ,з Г ,з г ,з Г — = — =т-. \а г2... \а гД\а с2 ... Бг т дс J 2 J М 2 J
а сД х
X -
дФд
дг
(3)
О(г> г> г2> •••> гN с> с2' сN)
В (3) ФД - потенциальная энергия взаимодействия N частиц, зависящая от их взаимного расположения. Для последующих целей нам не требуется преобразовывать уравнение (3) к виду цепочки Боголю-бова-Борна-Грина-Киривуда-Ивона (ББГКИ).
Правая часть кинетического уравнения (1) выводится из правой части (3) весьма нетривиальным путем, однако обе части определяются взаимодействием молекул. Если взаимодействие отсутствует, то подынтегральное выражение, а вместе с ним и интеграл в правой части (3) обращаются в нуль. Это приводит к исчезновению столкновительного члена уравнения Больцмана (1). В результате оба эти уравнения превращаются в уравнение Лиувилля для одночастичной функции распределения, которому и должна удовлетворять функция распределения системы невзаимодействующих частиц.
Вследствие особой структуры больцмановско-го "интеграла столкновений" из уравнения (1) вытекают уравнения локального баланса массы, импульса и энергии разреженного газа, удовлетворяющие фундаментальным законам сохранения массы, импульса и энергии.
Так, например, умножим (1) на массу молекулы т и проинтегрируем по скоростям. Учитывая, что локальные плотность р и скорость течения V газа равны соответственно
р(г, г) = |/(г, г, с)/с;
V(г, г) = рТг)!с/(г, г, с)аъс,
816
СЕМЁНОВ
а также используя соотношение
13{/, /}с?е = 0,
получим уравнение локального баланса массы (уравнение неразрывности)
M<p v ) = 0.
(4)
M(t) - jp(t, r)dtr.
(5)
dM
^ = -J(pv V dX,
(б)
%- J i f, f } - т &
Dt Dt
(Т)
4. Далее, действуя с уравнением (7) как при выводе уравнения локального баланса массы (4), получим вместо (7) соотношение, содержащее в правой части "источниковый" член
Уравнение (4) является математическим выражением закона сохранения массы. В самом деле, масса М вещества, находящегося в объеме V системы, равна
| + £ (pv) - a(t, r);
Ч f D f ,3 a(t, r) - -|т —--d c.
J Dt
(S)
(9)
Естественно, что "лишний" член (9) уравнения (8) внесет дополнительный вклад в уравнение интегрального баланса массы системы (6)
Дифференцируя (5) по времени и используя (4), получим уравнение
dM
dM dt
- -j(pv),• dX + j
a dir.
(10)
в котором интегрирование выполняется по поверхности, ограничивающей объем V. Если система закрыта, т.е. нормальная к границе системы составляющая скорости течения вещества всюду равна нулю, то из (6) следует, что M = const.
3. Согласно "обобщенной физической кинетике" "обобщенное уравнение Больцмана" содержит в правой части (1) дополнительное слагаемое
В (7) D2f/Dt2 - результат повторного действия на (2) оператора D/Dt, а т - параметр, имеющий размерность времени и порядок величины среднего времени между столкновениями. Следует отметить, что не только вид, но даже тип уравнений (1) и (7) различен: уравнение Больцмана - параболического или эллиптического типа, в то время как "обобщенное" уравнение Больцмана (7) - гиперболическое.
Если взаимодействие между молекулами "исчезает", то больцмановский интеграл столкновений в правой части (7) обращается в нуль. Вместе с тем нет никаких причин для исчезновения второго слагаемого в правой части (7): по мере "ослабления" взаимодействия параметр т может только возрастать. Следовательно, в рассматриваемом пределе уравнение (7) не переходит в уравнение Лиувилля для функции распределения системы невзаимодействующих частиц. А это противоречит как исходному уравнению (3), так и фундаментальным принципам механики.
Если система закрыта, то первое - "потоковое" - слагаемое в правой части (10) по-прежнему обращается в нуль. Однако нет никаких причин для исчезновения второго слагаемого. Тем самым из (10) следует, что существует некий "внутренний источник массы", обусловленный наличием "гиперболического" члена в "обобщенном" кинетическом уравнении (7). А это означает, что рассматриваемое кинетическое уравнение противоречит закону сохранения массы.
Действуя аналогично, нетрудно показать, что (7) противоречит и другим фундаментальным законам сохранения - импульса и энергии.
Заметим, что тип уравнений локального баланса этих величин, как и тип уравнения локального баланса массы (8), (9), оказывается в "обобщенной физической кинетике" гиперболическим (уравнения содержат вторую производную по времени от локальной плотности балансируемой величины). Однако "интегральные" законы сохранения могут вытекать из локальных уравнений только параболического или эллиптического типов, имеющих первый порядок по времени.
Автор выражает благодарность О.А. Синке-вичу за обсуждение точки зрения, высказанной в данном письме.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Alexeev B.V. The generalized Boltzmann kinetic theory // Phylos. Trans. R. Soc. Ser. A. London, 1994. V. 349. P. 417.
2. Alexeev B.V. The generalized Boltzmann equation // Physica A. 1995. V. 216. P. 459.
3. Алексеев Б.В. Физические основы обобщенной больцмановской кинетической теории газов // УФН. 2000. Т. 170. № 6. С. 649.
V
ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР том 42 < 5 2004
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.