Почему звучат струнные музыкальные инструменты?
(роЬи)
Ю.А.Демьянов, А.А.Малашин
Когда человек впервые берет музыкальный инструмент, ему не нужно изучать физические законы, лежащие в основе его звучания. Достаточно просто начать играть или хотя бы дергать за струны, нажимать клавиши, чтобы понять, как рождается звук.
Наверняка первые музыкальные инструменты человек изготавливал без серьезной «теоретической» подготовки, просто основываясь на чувственных представлениях.
Возможно, мастерам-создателям музыкальных инструментов прошлого и не нужно было изучать сложные математические закономерности, описывающие звучание изготавливаемого инструмента. Все они были хранителями и продолжателями великих тайн и традиций предшествующих им поколений мастеров, найденных эмпирическим путем. Материалы, из которых изготавливались скрипки, гитары и виолончели, их размеры, пропорции, рецепты покрытий (лаков) были известны только им, хранились в строжайшем секрете, передавались от поколения к поколению. Многовековой опыт искусства создания музыкальных инструментов привел к появлению шедевров, подобных творениям таких мастеров, как Страдивари, Амати, Гварнери, Стейнвей.
© Демьянов Ю.А., Малашин А.А., 2008
Юрий Андреевич Демьянов, доктор технических наук, профессор Московского государственного университета леса, главный научный сотрудник Центрального научно-исследовательского института машиностроения. Лауреат Ленинской премии (1961). Заслуженный деятель науки РФ (2002). Специалист в области механики сплошной среды и ее приложений.
Алексей Анатольевич Малашин, кандидат физико-математических наук, доцент того же университета. Изучает распространение волн и колебаний в упругих средах, любит играть на гитаре.
Однако трудно добиться совершенства в массовом производстве, не постигнув сущности процесса. Во все времена ученые пытались с математической и физической точки зрения описать процесс звучания инструментов, найти связь между колебаниями струны и тем, как человек воспринимает музыкальные звуки. Перефразируя известное выражение, возникала потребность проверить гармонию алгеброй.
Формулы тона
Первые исследования природы звука, физических и механических основ строения музыкальных инструментов, дошедшие до нас, появились в Древней Греции. Еще Пифагор отмечал, что существует
связь между высотой тона и длиной струны, его порождающей. Он же создал первый музыкальный строй, основу для которого составляла квинта*. Древние греки связывали появление звука со сжатием и разрежением воздуха. Первое же аналитическое решение для задачи колебаний музыкальной струны было получено лишь в начале восемнадцатого века англичанином Бруком Тейлором. Он нашел формулу для выражения частоты колебания через отношение силы натяжения к массе и длине струны.
Задача распространения волн в гибкой однородной струне решалась уже в XVIII в. Даниилом Бернулли, Леонардом Эйлером, Жозефом Луи Лаг-ранжем. Уравнение распространения поперечных волн в струне
д 2У ду2
= Ь 2IX2,
где Ь — скорость распространения волн, и его общее решение в виде двух бегущих волн
у = /1(х - Ы) + /2(х + Ьг)
были даны французским ученым Жаном Лероном Д'Аламбером еще в 1750 г.
Постановка задачи колебаний струн музыкального инструмента восходит к фундаментальным работам Джона Уильяма Рэлея, в частности к его классической книге «Теория звука» [1], в которой подробно обсуждаются различные виды возбуждения колебаний в натянутых струнах музыкальных инструментов, таких как щипковый музыкальный инструмент гитара, смычковые — скрипка, виолончель, клавишные музыкальные инструменты.
Традиционно задача колебаний и динамических нагружений натянутой гибкой музыкальной струны сводилась к анализу только лишь поперечных колебаний. Считалось, что основным источником звука, который может восприниматься ухом человека, служат именно колебания частиц струны поперек первоначального направления. А продольные колебания (вдоль первоначального направления), их вклад в динамику движения самой струны и присоединенной к струне деки (корпуса), которая собственно и является генератором звука любого музыкального инструмента, не учитывались. Продольные колебания рассматривались как колебания, которые не оказывают влияния на процесс формирования звука. Возможно, это связано с малостью «невидимых глазу» продольных перемещений струн по сравнению с поперечными. Более того, основной тон собственных продольных колебаний лежит намного выше основного тона поперечных колебаний — так, для струнных музыкальных инструментов он
* Квинта — это музыкальный интервал между первой и пятой нотой (например, между до и соль).
Рис.1. Геометрия начальных условий простейшей задачи о колебании струны.
находится вообще в верхней части акустического спектра, который воспринимается человеком. Лорд Рэлей рассматривал это обстоятельство как отрицательное, негативно сказывающееся на качестве звучания инструмента.
В частности, Бернулли в 1755 г. показал, что свободные поперечные колебания струны, возбуждаемой произвольным образом, могут быть представлены в виде
у(х,() = 2(А„со8ю„г + Впэтю„^эт ппх ,
п = 1 1
где I — длина струны, ю „ = п „Ь/1 — частота колебаний, х, у — продольная и поперечная координаты, А„, В„ — амплитуда колебаний струны.
Например, в основе простейшей теории возбуждения колебаний струн щипкового музыкального инструмента была задача, когда начальное отклонение струны представлялось в виде треугольника с высотой в точке воздействия исполнителя х = с (в точках х = 0 и х = I предполагалось жесткое закрепление струны в местах заделки), рис.1.
Как уже упоминалось, продольные колебания в данной постановке во внимание не принимались. Также здесь не учитывается процесс воздействия возбудителя колебаний на струну, считается, что это воздействие снимается мгновенно. Но в таком случае, например, не очень понятно, чем отличается хороший исполнитель от плохого, как особенности звукоизвлечения отражаются на звучании музыкального инструмента.
Куда влечет струна
В последние годы мы провели цикл работ, из которых стало ясно, что «невидимые» глазу продольные колебания струны играют такую же роль в рождении звука, как и поперечные (а для некоторых инструментов и большую). Установлено, что вклады продольных и поперечных составляющих в динамическое нагружение оказываются одного порядка. Также обнаружено, что вынужденные продольные колебания происходят на частотах поперечных. Поперечные составляющие
играют роль вынуждающей силы для продольных движений частиц струны, при этом возможны резонансные явления. Это означает необходимость рассмотрения продольных составляющих как одного из основных источников колебания деки и, следовательно, формирования звука в музыкальных инструментах.
Впервые на это обстоятельство (распространение продольных волн в струнах музыкальных инструментов) в 1945 г. обратил внимание выдающийся советский ученый Х.А.Рахматулин в работе «О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при наличии трения» [2]. (Интересно отметить, что данная работа была выполнена в рамках сугубо военной темы защиты Москвы аэростатами заграждения от самолетов противника.) Автор подчеркивал, что «при ударе по струне вдоль нее также побежит волна продольного растяжения, которая в обычной теории колебаний струны во внимание не принимается».
В процессе движения струна не только смещается поперек своего первоначального положения, но и испытывает дополнительное растяжение. Простая задача из курса школьной физики поможет понять важность учета продольных движений. Пусть струна закреплена между двух опор. В середине струны (рис.2) поперек ее первоначального направления действует сила F.
Возникающие силы T в струне определяются следующим образом: T = F/2sina (а — угол отклонения струны от первоначального положения).
Очевидно, что в процессе колебаний струны ее отклонения очень малы (порядка одного градуса и меньше). Поэтому знаменатель дроби можно оценить как 2sina = 0.005—0.01. А следовательно, 7 ~ (100—200^, т.е. продольные силы, возникающие в струне, более чем в 100 раз больше поперечных сил. Поперечные силы оказываются источником продольных движений. Они будут раскачивать деку и станут основным источником звука музыкального инструмента. Понятно, что не учитывать их нельзя.
Из курса физики известно уравнение движения колебательной свободной системы ё2х/ёг2 + а02х = = 0. Здесь ю 0 — собственная частота колебаний системы. Для движения под действием периодической вынуждающей силы это уравнение приобретает вид ё2х/ёг2 + ю02х = ^тюг, где ю — частота колебаний вынуждающей силы. Хорошо известны яв-
Рис.2. Передача напряжения струне.
ления резонанса при совпадении собственной частоты системы и частоты вынуждающей силы.
Конечно, процессы колебаний струн или деки более сложны, чем движение маятника. Уравнения поперечно-продольных колебаний гибкой предварительно натянутой струны, полученные в работе [3], таковы:
Э у
—— = Ь2 дг2 д х2
д 2у д2Х
д г2
= а2
д 5
1
д X
д х 2(1 + ее)
18
где Ь, а — скорости поперечных и продольных волн, е0— первоначальная деформация струны.
Первое уравнение представляет собой традиционное уравнение поперечных колебаний. Второе — уравнение продольных колебаний. Это уравнение неоднородно, наличие в правой части второго члена говорит, что роль вынуждающей силы для продольных колебаний играют поперечные составляющие. Значит, решение второго уравнения представляет собой суперпозицию продольных колебаний на собственных частотах и вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных, при этом возможны резонансные явления, когда амплитуда продольных колебаний резко возрастает.
Аналогичные процессы связывают крутильные и продольные колебания, когда рассматриваются смычковые инструменты. Мы показали, что при игре на смычковых инструментах крутильные и продольные составляющие движения необходимо учитывать наряду с поперечными, для того чтобы наиболее полно описать музыкальное звучание скрипки, виолончели.
Чтобы лучше понять на практике, как все это работает, те читатели, которые имеют свою гитару или скрипку, могут
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.