ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 83-86
= ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 517.977
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОНФЛИКТНО УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ СО МНОГИМИ УЧАСТНИКАМИ*
© 2007 г. А. И. Благодатских
Ижевск, Удмуртский государственный ун-т Поступила в редакцию 28.02.06 г.
Для нестационарного конфликтно управляемого процесса с равными возможностями участников получены достаточные условия поимки группой преследователей одного и заданного числа убегающих.
Введение. В работе рассматривается линейный нестационарный конфликтно управляемый процесс с равными динамическими и инерционными возможностями участников в предположении, что фундаментальная матрица системы является почти периодической и ее первая производная равномерно ограничена на [Г0, <»). В ее первой части получены достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего при дискриминации последнего, во второй - достаточные условия поимки заданного числа убегающих при условии, что первоначально убегающие выбирают свои управления на [Г0, а каждый преследователь ловит не более одного убегающего. Статья продолжает исследования [1-5].
1. Групповое преследование одного убегающего. В пространстве RV(v > 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей P1, P2, ..., Pn и убегающего E. Движение каждого преследователя Pi описывается системой
х, = A(t)х, + ui, и е V, (1.1)
закон движения убегающего Е имеет вид
у = А(t)у + V, V е V. (1.2)
Здесь и далее х,у, щ, Vе Rv, i е I = {1, 2, ..., п}, А(Г) -непрерывная на [Г0, квадратная матрица порядка V, V - строго выпуклый компакт Rv, такой, что 1п1^ Ф 0. При t = Г0 заданы начальные условия
хг (t0) = X0, у (t0) = У0,
причем X0 Ф У0 для всех i.
Вместо (1.1)—(1.3) рассмотрим систему
^ = А(t)гг + иг - V, иг, V е V,
(t0) = 20 = X0- У0. Отметим, что 20 Ф 0.
(1.3)
(1.4)
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект < 06-0100258).
Определение 1. Управления и/О, v(t) из класса измеримых функций, удовлетворяющие соответственно ограничениям из (1.1), (1.2), называются допустимыми.
Определение 2. В игре Г возможна поимка, если существует момент Т0 = Т0( 20), при котором для любого допустимого управления v(t) найдутся допустимые управления и (Г) = и ¡(Г, 20, v(5), 5 е [0, Г]), такие, что для некоторых т е [Г0, Т0] и а е I выполнено га(т) = 0.
Пусть Ф - фундаментальная матрица системы ( = А (Г )ю,
такая, что Ф(Г0) совпадает с единичной матрицей.
Предположение 1. Матрица Ф(Г) является почти периодической в смысле Бора и ее первая производная равномерно ограничена на [Г0,
Условие 1. Начальные позиции участников таковы, что
0 е 1Шсо{ 20}.
Через П(с, г) обозначим замкнутый шар с центром в точке с радиуса г. Из леммы 2.1 [5] следует, что если выполнено условие 1, то при некотором значении £ > 0 справедливо следующее условие. Условие 2. Для любых / е Б( 20, 2£)
0 е Шсо{/г} и 0 й Б(20, 2£) для всех i.
Далее считаем, что £ > 0 выбрано исходя из условия 2.
Определим функции X,
Х^, /) = 8ир{Х : X > 0, (V - X/) е V} при h Ф 0,
í
Т( Г) = |Х( V (5 ),Ф(5 )20 ).
Отметим, что Ф(Г) 2г- Ф 0, так как 2г- Ф 0.
Лемма 1. Пусть имеют место предположение 1 и условие 1. Тогда существует момент Т > Г0, та-
84
БЛАГОДАТСКИХ
кой, что для любого допустимого управления v(t) найдется номер а е I, что Ja(T) > 1.
Доказательство. Введем обозначения
Д = {t > t0 : Ф(0Z0 е D(Z0, 2е) для всех i}, Q = {q е I : Ф(0Z°q е D(Z0, 2е) для всех t > t0}, |(G) - мера Лебега множества G с R1. Возможны два случая.
1. Q = I. Тогда |(Д) = <~.
2. Q ФI. Без ограничения общности будем считать, что Q = 0, т. е. значение каждой из функций Ф(0 Z0 в некоторый момент не принадлежит шару D(Z0, 2е). Докажем, что |(Д) =
В силу предположения 1 функции Ф(0 Z0 являются почти периодическими. Откуда с учетом равенства Ф(^) Z0 = Z0 следует, что существует число T(e) > 0, при котором для каждого к = 0, 1, 2,..., найдется момент тк е [t0 + Т(е)к, t0 + Т(е)(к + 1)), обладающий свойством
Ф(тк) Z0 е IntD( Z0, е) для всех i.
Пусть
Д = {t : t е +1 ),Ф( t)Z0 е D(Z0, 2е) для всех i}, к = 0, 1, 2, ..., dist(D1, D2) = inf \\d1- d2\\.
d1 е D1 d2 е D2
Из предположения 1 получаем, что функции d- (Ф(0 Z0) равномерно ограничены, т. е. имеется такое положительное число M, что
max
t е [io,-)
-т:(Ф( t) Z°)
< M для всех i.
Следовательно, для всех Ь > 0 справедливы неравенства:
если ¿2 > ¿1 > ¿0 и ||ф( ¿2)Z0- Ф(¿1)Z0| > Ь, то ¿2 > t, + 7- для всех 7.
2 1 м
Из них и того, что
^(дБ(Z0, е), дБ(Z0, 2е)) = е,
)Z0 е 1пШ(Z0, е) для всех 7, следует включение
% Tk + -
M
с Ok для всех k = 0, 1, 2,
а это означает, что
ц(О) > U^k) = '
k = 0
Для любого
= (Иъ Нъ ..., hn) е D = D(Zj, 2е)х х D(Z2, 2е) х ... х D(Z0, 2е),
учитывая условие 2, значение
р(d) = minmaxv, hi)> 0.
ve VieI
Лемма 1.3.13 из [4] подтверждает непрерывность функции X, поэтому
lim р(d*) = lim minmaxX( v, h*) =
d * ^ d d * ^ d v e Vi e I
= minmaxX( v, hi) = p(d),
v e Vi e I
следовательно, и функция p является непрерывной. Учитывая еще, что множество D - компакт, получим
r = minminmaxX( v, hi) = minp(d)> 0.
d e D v e Vi e I d e D
Таким образом, величина
5 = min min maxX( v, Ф( t)Z0) >
t e Q v e V i e I
> min min maxX( v, hi) = r > 0.
d е D v е V i е I
Далее
max Ji (t) = max I Ä,( v(5),Ф(5)Z0)ds >
i е I i е I J
t0
> max I Ä,( v(s), Ф(s)Z0)ds >
i е I J
[to, t] n О
> j J v(s)'Ф(s)Z0)ds >
[to, t] n Оi е 1
> 1 J 5ds = -t0, t] n О). n J n
[to, t] n Q
Отметим, что
lim|i([to, t] n Q) = -,
t ^ —
так как ^(Q) = —. Тогда для момента T, определяемого из условия
5ц([to, T] n Q)> 1,
п
и некоторого а e I имеем Ja(T) > 1. Лемма доказана. Если
T0 = min{ t > t0 : infmaxJ(t) > 1},
v (■) i e I
то в силу леммы 1 T0 < —.
Теорема 1. Пусть выполнены предположение 1 и условие 1. Тогда в игре Г возможна поимка.
Доказательство. По формуле Коши решение задачи (1.4) при любых допустимых управлениях имеет вид
t) = Ф( t)
' + |ф-1 (s)(ut(s) - v(s))ds
для всех t > t0.
0
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОНФЛИКТНО УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ
85
Предположим , что у(т), ¿0 < т < Т0 - произвольное допустимое управление убегающего Е и ¿1 > ¿0 -наименьший корень функции Е вида
t
Е( t) = 1-шах|\( V (5 ),Ф( 5) Z0) Ж.
г е I
tо
Отметим, что в силу определения Т0, момент tl < То.
Задаем управление преследователей Рг следующим образом:
и(t) = V(t) - Ц V(t),Ф(t)^)Ф(t)Z0
для всех t е [ 10, Т0 ]. Тогда с учетом формулы Коши
z( ti) = Ф( ti) Z0
1 -
Ja,( V(5), Ф(5)Zj)ds
В силу определения для некоторого а е I выражение в скобках обращается в ноль, поэтому = 0. Теорема доказана.
Пример 1. В Я2 рассмотрим игру Г четырех лиц: трех преследователей Р1, Р2, Р3 и убегающего Е. Пусть система (1.4) имеет вид
= A (t) z¡ + u, - v, u u v e V, z( 0) = Z.
где
A (t) =
sin t 0 cos t sin t
Z1 =
z 2 =
Z 3 =
Тогда
0
1 - cos t
1 - cos t
ф(t) = (1-coest., .
V e sin t e и все условия теоремы 1 выполнены.
Утверждение 1. В игре Г возможна поимка. 2. Поимка заданного числа убегающих. В Rv
(v > 2) определена игра Г n + m лиц: n преследователей Ръ P2, ..., Pn и m убегающих Еъ E2, ..., Em. Движение любого преследователя Pi описывается системой (1.1), закон движения каждого убегающего Ej имеет вид
yj = A (t )yj + Vj, Vj e V.
Здесь и далее y, Vj e Rv, j e J = {1, 2, .. заданы начальные условия
, ml
(2.1) При t = t0
хг (to) = X0, yj (to) = , причем Xo Ф Yj для всех i, j.
(2.2)
Цель группы преследователей - "поймать" не менее г (1 < г < т) убегающих, при условии, что сначала преследуемые выбирают свои управления сразу на <»), а затем догоняющие на основе информации об управлениях убегающих формируют свои управления, и, кроме того, каждый
преследователь может "поймать" не более одного убегающего. Считаем, что п > г.
Вместо (1.1), (2.1), (2.2) рассмотрим систему
= А (t)+ и 7 - v], и7, Vj е V,
(2 3)
гг]( t0) = 4 = х0- г0.
Определение 3. В игре Г возможна поимка
г убегающих, если существует момент Т0 = Т0( Z(0j), при котором для любой совокупности допустимых управлений Vj(t) найдутся допустимые управления
и() = и^, Z0j, ^(5), s е [tо, <~)),
обладающие следующим свойством: существуют множества
N с I, М с /, N = М = г, такие, что каждый убегающий Ер, в е М, ловится не позднее момента Т0 некоторым преследователем Ро, а е N, причем если это происходит, то остальные убегающие считаются им не пойманными. Выражение "преследователь Ро ловит убегающего Ер" означает, что для некоторого т е Т0] выполнено гор(т) = 0.
Условие 3. Для каждого к е {0, 1, ..., г - 1} верно следующее: для любого множества N с I, N = п - к, найдется такое множество Мс /, |М| = = г - к, что для всех р е М
0 е 1йсо{ Z0р, а е Щ.
Теорема 2. Пусть выполнены предположение 1 и условие 3. Тогда в игре Г возможна поимка г убегающих.
Доказательство. Докажем, что любые п - к преследователей ловят не менее г - к убегающих, где к е {0, 1, ..., г - 1}. При к = 0 получим утверждение теоремы.
Пусть к = г - 1 и N с I, N = п - к. В силу условия 3
по N существует р е /, такое, что 0 е 1Псо{ ZОр, а е Щ. Из теоремы 1 следует, что преследователи РО, а е N ловят убегающего Ер.
Предположим, что утверждение справедливо для всех к > к0 + 1.
Докажем его при к = к0. Пусть N с I, N = п - к0. Тогда существует М с /, |М| = г - к0, такое, что
0 е Мсо{ ZОр , а £N1 для любого р е М. Для всех р е М определим множества
/р = {а е N : преследователь Ра ловит убегающего Ер}. Без ограничения общности будем считать, что М = {1, 2, ..., г - к0} и /1 < / < ... < /г-к\ .
В силу теоремы 1 /р Ф 0 для всех р е М. Возможны два случая.
0
1.
U J
ß =1
БЛАГОДАТСКИХ > n1 для любого n1 = 1, 2, ..., r- k0. То-
гда по теореме Холла [6] для множеств Тр существует система различных представителей, т. е. имеются попарно различные ар е А, в е М, такие, что ар е Тр. Таким образом, доказано, что преследователь Рар ловит убегающего Ер, р е М, и утверждение в этом случае справедливо.
2. Найдется п1 е {1, 2, ..., г - к0}, при котором
< n1. Пусть n1 - наименьшее из натураль-
U J ß
ß=1
ных чисел, удовлетворяющих данному свойству. Отметим, что
n1 > 1 и
U Jß
ß = 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.