МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 539.375
© 2008 г. А.Ю. ЗЕМЛЯНОВА, В.В. СИЛЬВЕСТРОВ
ПОДКРЕПЛЕНИЕ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ ВЫРЕЗОМ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКОЙ КРУГЛОЙ НАКЛАДКОЙ
Рассматривается усиление бесконечной упругой пластины с круговым вырезом посредством эксцентрической круглой накладки большего размера, полностью покрывающей вырез и присоединенной к пластине жестко вдоль всей своей границы. Предполагается, что пластина и накладка находятся в обобщенном плоском напряженном состоянии, порожденном действием заданных нагрузок, приложенных к пластине на бесконечности и к границе выреза. Методом степенных рядов в сочетании с методом конформных отображений находятся комплексные потенциалы Мусхелишвили. Исследуется напряженное состояние на границе выреза и на линии соединения. Приводятся примеры, изучается зависимость напряжений от геометрических и упругих параметров, дается сравнение со случаем пластины с круговым вырезом при отсутствии накладки.
В научной литературе рассматривались различные способы усиления пластины с вырезами, в частности, и круговыми. В монографиях [1, 2] решается задача о подкреплении края отверстия ребрами жесткости. В работах [3, 4] изучаются способы усиления круглого отверстия при помощи двумерных накладок, приклеенных к пластине по всей своей поверхности. Случай пластины с круговым вырезом, усиленной концентрической круглой накладкой, присоединенной к пластине вдоль своей границы или вдоль иной окружности, изучается в работах [5, 6]. Подкрепление эллиптического выреза конфокальной эллиптической накладкой рассматривается в работе [7].
1. Постановка задачи. Пусть на тонкую упругую бесконечную пластину S толщины h с вырезом круговой формы наложена и жестко присоединена вдоль всей своей границы тонкая упругая круглая накладка S0 толщины h0, полностью покрывающая вырез и расположенная так, что центры выреза и накладки, вообще говоря, не совпадают (фиг. 1). В плоскости комплексной переменной z = x + iy пластина S занимает внешность окружности l: |z - z0| = r, а накладка S0 - внутренность окружности l0: |z| = R0 (R0 > r + |z0|). Без ограничения общности можно считать, что центр выреза z = z0 расположен на действительной оси, причем z0 > 0. Пластина и накладка являются однородными, изотропными и имеют модули сдвига и коэффициенты Пуассона ц, v и ц0, v0 соответственно.
На бесконечности пластины приложены растягивающие главные напряжения о1 и о2, расположенные в плоскости пластины и действующие в направлениях, составляющих с положительным направлением действительной оси углы а и а + п/2 соответственно; вращение на бесконечности пластины отсутствует. На границе выреза действуют заданные внешние усилия
h(Xn + iYn)(t) = hp(t), t e l (1.1)
где Xn и Yn - горизонтальная и вертикальная компоненты вектора внешних напряжений, действующих на касательную площадку к линии l в точке t. Все напряжения здесь и далее берутся в расчете на единицу толщины пластины или накладки.
Поверхности пластины и накладки касаются друг друга без трения, передача усилий от пластины к накладке происходит только через линию их соединения /0, на которой выполняются условия равенства смещений точек пластины и накладки и условие равновесия
(и + гь)0(г) = (и + ¡и)1 (г) = (и + ги)2(г), г & 10 (1.2)
к0(Хп + ип)0(г) + н(Хп + ггп)1 (г) = н(Хп + 1Уп)2(г), г & /0 (1.3)
где (и + ги)(г) - вектор смещения точки г & 10 пластины или накладки, индексы 0, 1 и 2, здесь и далее, соответствуют значениям того или иного параметра со стороны накладки 50, кольцевой части пластины, расположенной между окружностями 1,10 и части 52 пластины, расположенной вне окружности 10. Считаем, что изгиб и другие пространственные эффекты концентрации напряжений на линии соединения, а также в остальных точках пластины и накладки пренебрежимо малы и в системе "пластина -накладка" реализуется обобщенное плоское напряженное состояние, которое и требуется определить.
2. Решение задачи. Путем введения вспомогательной переменной и представления комплексных потенциалов в виде степенных рядов по этой переменной задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов, доказывается ее квазирегулярность и приводится достаточное условие существования единственного ограниченного решения системы.
2.1. Конформное отображение концентрического кольца на эксцентрическое. С помощью дробно-линейной функции ^ = w(z) отобразим эксцентрическое кольцо на концентрическое так, чтобы окружность 10 перешла в себя. Пусть некоторая точка z1 = с, расположенная внутри окружности I, переходит при отображении ^ = w(z) в начало координат с, = 0. Тогда симметричная ей точка z2 = я0 /С относительно окружности 10 перейдет в точку с = Окружность I при данном отображении перейдет в окружность с центром в начале координат, если точки z1 и z2 являются симметричными и относительно окружности I, откуда, учитывая неотрицательность значения z0, находим
_11 2 2 2 / 2 2 22 2 2 I
С = Zo I я0+ Zo_ г _ д/ (Ло+ Zo_ Г ) _ 4ЛоZo I/2 при Zo Ф 0 (2.1)
с = 0 при г0 = 0
Фиг. 2
Таким образом, конформное отображение эксцентрического кольца 51 на концентрическое имеет вид ? = w(z) = Я^ ^ - с)/(Я^ - cz), а обратное ему отображение имеет вид
z = ю(?) = Я0 (? + с) / (Я0 + с?) (2.2)
Функция z = ю(?) отображает конформно круг S* : |?| < Я0 на круг 50: |z| < Я0, концентрическое кольцо : Я < |?| < Я0 (Я = Я0 (с - z0)/(rc)) на эксцентрическое кольцо :
^ - z0| > г, |z| < Я0 и область 5* : |?| > Я0 на область 52 : |z| > Я0 (фиг. 2). При этом окружности 10: |z| = Я0 соответствует окружность Ь0: |?| = Я0, а окружности /0: |z - z0| = г -окружность Ь: |?| = Я.
2.2. Вид комплексных потенциалов. В каждой из областей Бк (к = 0, 1, 2) напряжения и смещения выражаются через две аналитические в 5к функции фк^), ук^) по известным формулам Колосова-Мусхелишвили [8]. Функции ф0^), у0^) аналитичны и однозначны в области 50, а остальные функции можно представить в виде
ф1 ^) = - б 1п(z - с) + ф10(z), у! (z) = Кб 1п(z - с) + у10(z), z 6 ^
ф2(^) = Гz - б 1п(z - с) + ф20(z), у2(z) = Г^ + Кб 1п(z - с) + у20(z), z 6 52 ^д)
Г = ^1+^2 Г, = °2 - ° 1 -2га б = X + IУ к = 3 - V 4 ' 2 е ' б 2 п ( 1 + к) ' 1 + V
где функции фk0(z), у^) аналитичны и однозначны в области 5к и X + гУ = |р (^ё^ -
I
главный вектор внешних напряжений, действующих на границе выреза. Вектор смещений (и + 1и)к^) в точке z 6 5к и главный вектор (X + 1У)гг напряжений, действующих справа на дугу zzk с 5к - фиксированная точка), выражаются через комплексные потенциалы ф* (?) = фк(ю(?)) = фk(z), у* (?) = ук(ю(?)) = ук^) в новой переменной ? по формулам
2Цк(и + 1и)к(z) = Ккф* (?) - ШфП?) - у*(?)
ю' (?)
(X + 1У)гч = -1 Гф* (?) + ЮрШ?) + у*?)]?, z 6 5к (к = 0, 1, 2) (2.4)
к V ю' (?) )
я
q = w (z), qk = w (zk), Kq = (3- Vq )/(1+ Vq ), К = к2 = к, ^ = ц2 = ц
Аналитические в 5* функции ф* (с), у* (с) будем искать с учетом (2.2), (2.3) в виде рядов
ф* (с) = X ^ у* (С) = I dnoCn, с& 5*
п = 0 п = 0
ф*(с) = _ ё 1пс + I Сп1сп, у*(с) = Кё 1пс + I йпХс\ с&
2 п = _~ + п = _~ (2.5)
ф* (с) = ЕМ^ _ е 1п Г +1 С_п2с_п
Л2 + с с Г1+ с с/RoJ п 0
У*(с) = ^^^ + Ке 1пГ—^ + 5 d_n2с_п, с & 5* Л2 + с с Г1+ с с/Щ/ п 0
2.3. Система уравнений для коэффициентов рядов. На основании формул (2.4) условия (1.2) можно записать в виде
КоФо*(q) - $§ф**'(?) - v?(q) = Ц*(кф?(q) - ¿ЩфГсо - v**(q)) (2.6)
ц* = Цо/Ц, L0, k = 1 2
Аналогично, из условий (1.1) и (1.3), интегрируя первое по дуге окружности l от точки z1 = z0 + r до точки z e l против часовой стрелки, а второе - по дуге окружности l0 от z0 = R0 до z e l0 получим
Ф* (?) + ^ Ф*'(?) + ¥ *(?) = Л?) + Cl
_ q (2.7)
f(q) = iJp(M(^))|M'(^)41, qe L
Л* (ф? (q) + ¿Щ Фо' (?) + V ?(q)) -
2 -
- X(-1)+ ф*'(q) + V*(q)j = C2, qe L0
k = 1
(2.8)
где Н* = Н0/Н, интеграл берется по дуге окружности Ь от точки с1 = Л до точки с & Ь против часовой стрелки, а С1 и С2 есть значения левых частей первого и второго ра-
венств в точках R и R0 соответственно.
Запишем функцию /(с) как функцию угловой координаты 0 точки с = Ле'в (с & Ь): е
до = ^, ш(0) = Р (®(Кег' е))|ю' (Яег е)| (2.9)
R
о
и, разложив подынтегральную функцию §(п) в ряд Фурье на отрезке [0, 2п], получим /(д) = £ Лпвгпв - ¡ЯБ~0д (д = Яг1", 0 < 9 < 2п)
И =
(2.10)
An = -R¡B-n, п = ±1, ± 2, ..., Ao = - X(A„ + A-„)
И = 1
где коэффициенты Бп ряда Фурье функции §(9) находятся по формулам
2п
Бп = 2П 1 §(9) г-П9 ^' п = 0,±1,... (2.11)
0
e , q = Re е Z
Множитель ю(д) /ю'(д) в условиях (2.6)-(2.8) при д 6 Ь и д 6 Ь0 представим в виде
,2. 19 . ,3,2 219ч
- к2) г + к1к2 г )
5(1+ к-,к2г~'в) '
_ ,9 2 ,9 1 29 (2.12)
(О ( д) = Я о ( г ' + 3 к 1 + 3 к2г ' + к1 г 2 1 ) _ п ¿9
( д 1 5( 1 + к 1 г - 9 )
—-, q = R0e Е Zo
1 2 t , „2 , ч ,, „2 ч , ,, ,„2 ,
где к1 = с/Я0, к2 = Я/Я0, 5 = 1 - к1. Аналогично функции Я0 (д + с)/(Я0 + сд) и 1п(1 + сд/Я0), участвующие в представлениях (2.5), разложим в степенные ряды
2/_ i / i \П - 1_п7п -1 ^ / 1\п-1_п7_п
(2.13)
T-i 2 / , ч ! Nn - 1 п 1 п - 1 + го . 1\П - 1 п 7 И
Ro(q+с) = с+sX(-1) J, 1 , 41 + ^1 = X 1 ) „q 1
я2 + сд п = 1 яП-1 ' ^ я2у п = 1 пЯП
2
сходящиеся равномерно в области |д| < Я0 /с, в том числе и на окружности Ь0.
Предположим, что ряды (2.5) сходятся равномерно в соответствующих областях вплоть до их границ и допускают почленное дифференцирование, причем полученные при этом ряды также сходятся равномерно. Достаточные условия на исходную функцию я(9), обеспечивающие правомерность разложения ее в равномерно сходящийся ряд Фурье и выполнение наложенных на ряды (2.5) условий, будут приведены позже. При выполнении этих условий, подставив ряды (2.5) и (2.10) в условия (2.6)-(2.8) и учитывая представления (2.12), (2.13), получим для нахождения неизвестных коэффициентов спк, ёпк рядов, кроме свободных членов с0к, ё0к, бесконечную систему линейных алгебраических уравнений, первые из которых имеют вид
5(Яс11 - к2к2Я 1 с11) - 2к1к2Я2с21 + (1- к1 (1+ 2к2))Яс11 -
- к1 (2 + к2 - к1 к2)Я 1с-11-2к\к2Я 2с-21 + 5(Я 1ё-и- к1 к^Я0ё11) = = 5(Л-1 - к 1 к2Л1) + Qk1k2 (1 + 2к2 - к^к2(2 + к2))
ц*1(К05Я0сш + 2к1 Я
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.