АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 5, с. 459-465
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 534.222
ПОГЛОЩЕНИЕ ИНТЕНСИВНЫХ РЕГУЛЯРНЫХ И ШУМОВЫХ ВОЛН
В РЕДАКТИРУЮЩИХ СРЕДАХ
© 2014 г. О. В. Руденко1' 2, 3, 4, 5, С. Н. Гурбатов1, И. Ю. Демин1
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского E-mail: demin@rf.unn.ru, gurbatov@rf.unn.ru 2Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru 3Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН 4Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН 5Blekinge Institute of Technology, Karlskrona, Sweden Поступила в редакцию 21.04.2014 г.
Выписано интегро-дифференциальное уравнение, содержащее члены, ответственные за нелинейное поглощение, вязко-теплопроводную диссипацию и релаксационные процессы в среде. Получено общее интегральное выражение для расчета потерь энергии волны с произвольными характеристиками — интенсивностью, профилем (частотным спектром) и ядром, описывающим внутреннюю динамику среды. Показано, что для слабых волн общий интеграл приводит к известным результатам линейного приближения. Построены профили стационарных решений как для экспоненциального релаксационного ядра, так и для других форм ядер. Рассчитаны потери энергии на фронте слабых ударных волн. Получены общие интегральные формулы для потерь энергии интенсивного шума, определяемых формой ядра, структурой корреляционной функции шума и средним от квадрата производной реализации случайного процесса.
Ключевые слова: нелинейность, интенсивный шум, интегро-дифференциальные уравнения, релаксация, ядро, поглощение, ударная волна.
Б01: 10.7868/80320791914050116
ВВЕДЕНИЕ
Поглощение регулярных и шумовых волн большой интенсивности может происходить за счет нескольких физических механизмов. Это, прежде всего, обычные вязкость и теплопроводность среды; неравновесные релаксационные процессы, связанные с ее внутренней динамикой; нелинейные потери энергии на ударных фронтах, зависящие от интенсивности волны. Поглощение необходимо правильно описывать как для расчета поля и спектра волнового процесса, так и для оценки воздействия волны на среду, в частности, с целью ее нагревания, создания радиационных сил и акустических течений.
Основные механизмы поглощения описываются следующей моделью для плоских волн (см. обзорную статью [1] и приведенный в ней список литературы):
др
dz с^ро" дт дт2
s р dp = д
3 _2
j[а) + к2(tС1)
Ядро под интегралом (1) разделено здесь на два слагаемых:
кi(У = Нл-s(у, к2© = mкI м.
со3Ро
(2)
2С0 ^ ¿0;
Первое, содержащее дельта-функцию, описывает "мгновенную" реакцию среды на акустическое воздействие, второе — запаздывающую реакцию, связанную с внутренней динамикой релаксационного типа. Подставляя (2) в (1), придем к уравнению, которое будет служить основной моделью для рассматриваемых ниже процессов:
др
др b д р
dz с0р0 дт 2с0р0 дт
то _д_
2со дт2
> (А} (,
(3)
Здесь р — акустическое давление, е, Ь — нелинейный и диссипативный параметры среды, г — координата вдоль оси пучка, т = ? - г/с0 — время в системе координат, сопровождающей волну со скоростью звука с0. Параметры т0, ?0 — это "сила" и характерное время для релаксационного процесса, описываемого ядром К. Заметим, что модель (3) конкретизирует интегро-дифференци-
альные уравнения, предложенные для акустических задач в начале 1970-х годов [2, 3]. Интерес к таким моделям с точки зрения математической физики заметно вырос в последние годы (см., например, [4] и комментарии в работе [1]). Решен ряд статистических задач, в которых рассмотрены поля интенсивного шума [5, 6]. Эти задачи важны, например, для приложений к расчету полей в мягких биологических тканях [7, 8].
ПОГЛОЩЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛН
Чтобы рассчитать изменение энергии бегущей волны, умножим уравнение (3) на 2р и проинтегрируем его в бесконечных пределах по переменной т. Если сигнал периодический, достаточно провести усреднение по периоду. В результате получим
д p
dz
1
CopQ дт\ 3
д /28 pi
bp
dp) =__(dp
дт/ c°pQ \дт.
"o
CQ
iKI t0 J# *
(4)
Здесь черта сверху означает одну из двух указанных процедур: интегрирование либо усреднение. Второй член в левой части уравнения есть интеграл от производной. Поэтому он равен нулю, причем как для периодического сигнала, так и для импульса, исчезающего на бесконечности.
Обозначим р2 = Е; эта величина пропорциональна плотности энергии или интенсивности волны. Следовательно, изменение энергии с расстоянием г описывается формулой
дЕ dz
Ь О + ^ \К{т}&Й^М^Г^ (5)
дт/ Cq J {tq Jdt,
CqPq WtI c
Как показано в работе [1], выражение под интегралом равно
-2 _ " яи-2 i»
^ p (т) p (х-^) = у (-i)» A— p ^ = д%2 У) У ' ' (»- 2) дт»
(6)
= у (-1)"
- 2m-2
Поэтому
дЕ = dz Здесь
m=1
(2m - 2)!
dm
p
Р () + m У Am (z)pm-2K
cqPq
m=1
v tq j
d% (7)
Am (Z) =
^m Л2 д p
(2m - 2)
m
дт
• Al H!)
A2 =;
2
д p
.дт2 j
Ao =-
24
t^o Л д p
дт j
(8)
Зная решение p (z, т), по формулам (5) или (7) можно рассчитать убыль энергии с расстоянием для заданного ядра K. В частности, для экспоненциального ядра K = exp (t0) и монохроматической волны p = A (z) sin (ют) получим очевидный результат
дЕ dz
CqPq
1 \2 " ^m Л2
() + " у (-i)mt02m[dmp
dJ w ' 0 I dTm
c0t 0
и=1
= -aE,
a
Ью coPo
+■
"q
2,2 Ю to
(9)
2,2 '
c0t0 1 + Ю to
Видно, что в линейном приближении волна затухает по экспоненциальному закону, причем коэффициент затухания а равен сумме коэффициентов, описывающих вязко-теплопроводные и релаксационные потери. Чтобы учесть также и нелинейные потери, нужно подставить в формулы (5) или (7) решение p (z, т) нелинейной задачи.
Отметим, что тривиальным для уравнения (3) является закон сохранения количества движения (линейного момента) в процессе распространения волны: p = const, который выводится аналогично интегралу (5).
Перейдем теперь к анализу нелинейных задач. Запишем уравнение (3) в безразмерном виде, чтобы упростить запись последующих формул, которые в исходных обозначениях были бы весьма громоздкими:
ЁЕ - V 2L -r^V = D ^ Í K (s )V (е- s )ds.
dz де де2 se2 J
o
Здесь
(10)
z =
г =
sPo z
o i '
copot o b
2stoPo
■ = -, V = -,
D — moco po
(11)
2sPo
Формула (5) в новых обозначениях примет следующий вид:
=- 2г(1е) +2в \к (* ^ V (0) V (е - * у*. (12)
0
Решения нелинейных задач, описывающих форму ударного фронта, известны как для дельта-образного ядра (случай Г Ф 0, Б = 0):
V = A (Z )th (A (Z )|),
(13)
так и для экспоненциального ядра (при значениях Г = 0, Б > 1):
эу
ЗО
XI
ю
-1.0-0.8
Рис. 1. Фазовая плоскость (14) для стационарной волны в релаксирующей среде для значений Б = 1; 1.08; 1.2; 1.5 (кривые 1—4 соответственно).
-СО/А -1)
= 1п |~1 + 1 (О/А -1) 1 V
А (?)
У(в)
1.0
0.8
0.4
0
0.4
0.8 1.0
12
- 3
в
3 / >' 2/ 1 —" 1 У 1 | |
0
5
15
(14) = 1А2 ^) - V2 й 0 2 О + V '
Заметим, что модель внутренней динамики, приводящая к экспоненциальной релаксации, была сформулирована Мандельштамом и Леон-товичем (см., например, [9]). Для решения нелинейных задач она впервые использована авторами работ [10, 11].
В формулах (13), (14) функция А описывает изменение с расстоянием "амплитуды" (скачка на фронте) ударной волны. Эта функция зависит от формы профиля волны непосредственно перед фронтом и сразу за ним.
Для постоянного значения А = 1 фазовая плоскость V(V) изображена на рис. 1. Видно, что при О > 1 переход V (0) от значения V = -1 до V = +1 должен быть симметричным относительно нулевого значения. При стремлении О ^ 1 крутизна функции V (0) растет в отрицательной области. Наконец, при О = 1 формируется крутой фронт — скачок от V = -1 до некоторого положительного значения. Максимум производной достигается в точке
У^ и рявен К"тах, где Vm¡¡x = -О + VО2 -1, = = О -\1О2 - 1.
Форма стационарной волны V (0) и ее производной ¥(&), определяющей скорость диссипа-
Рис. 2. Форма стационарной волны в релаксирующей среде для значений Б = 1; 1.5; 3 (кривые 1—3 соответственно).
ции энергии, изображены на рис. 2 и 3. Подчеркнем еще раз, что здесь рассмотрен случай О > 1, когда форма волны, описываемая формулой (14), представляется однозначной функцией времени.
Простые формулы получаются при больших значениях числа Б (это случай, когда релаксационные процессы доминируют над нелинейными). При этом решение (14) для А = 1 принимает вид
1 + V
- = 1п -О 1 - V
V
=* (А).
\2О/
(15)
Это решение имеет вид симметричной "ступеньки", как и стационарная волна для обычного
ау/ав 1.0
10
20 в
Рис. 3. Форма импульса ускорения на фронте ударной волны в релаксирующей среде для значений Б = 1; 1.1; 1.4; 2 (кривые 1—4 соответственно).
0
5
V(9) 1.0
0.8
0.4
-0.4
-0.8 -1.0
0
5
Рис. 4. Форма стационарной волны в релаксирующей среде для значений Б = 0.01; 0.3; 0.8; 1; 1.5; 2 (кривые 1—6 соответственно).
уравнения Бюргерса. Для предельного числа О = 1 получаем аналитическое представление кривой 1 на рис. 2:
V =
-1,
< -2ln2,
1 - exp (-0/2), 0>-2ln2.
(16)
Неоднозначный профиль стационарной волны удобно строить, записав решение (14) в параметрической форме:
V = th(t), 0 = 2Dt + Inch2(t).
(17)
-1, -да<0<0* V = |м, 0 = 0*, (18)
К+(0), 0* < 0 < да. В силу однородности уравнения (10) здесь можно положить 0* = 0, то есть считать, что фронт проходит через начало координат. Таким образом, при значениях О < 1 в профиле появляется разрыв — скачок величиной \М + 1|. За скачком фронт описывается функцией Р+(9), плавно возрастающей от значения V = М до значения V = 1. Число Мдолжно зависеть от параметра Б. Функция М (О) в области 0 < О < 1 принимает значения М (0) = +1 М (1) = -1.
Итак, в области значений О < 1 точное решение (14), (17) становится неоднозначным. Как показано в работе [1], для анализа структуры фронта при малых числах О < 1, когда нелинейные искажения выражены сильно, можно использовать метод итераций. Этот метод применим для любой формы релаксационного ядра.
Запишем уравнение для стационарной волны, получающееся из (10) после приравнивания нулю производной по
1 - V2 =
2D [к(s)—V(9- ^)
J w—e v ;
ds.
(19)
В нулевом приближе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.