АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 3, с. 227-229
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.26
ПОГЛОЩЕНИЕ ИЗГИБНЫХ ВОЛН ПАРОЙ ЦЕПОЧЕК МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРОВ, УСТАНОВЛЕННЫХ НА ПЛАСТИНЕ
© 2014 г. А. Д. Лапин
Акустический институт им. академика Н.Н. Андреева 117036 Москва, ул. Шверника, 4
E-mail: lapin1932@yandex.ru Поступила в редакцию 05.09.2013 г.
Рассмотрена задача о рассеянии изгибной волны от двух цепочек из механических резонаторов, характеризуемых эффективной проводимостью. Эта проводимость реактивная для резонаторов первой (нижней) цепочки и комплексная для резонаторов второй (верхней) цепочки. Пространственные периоды обеих решеток одинаковы. На верхнюю цепочку наклонно падает плоская гармоническая изгибная волна, рассеянное поле от цепочек получено в виде суперпозиции однородных и неоднородных брэгговских спектров. Интенсивное рассеяние волны происходит только при взаимной компенсации реактивных компонент эффективной проводимости резонаторов и комплексной проводимости излучения. Пара цепочек с периодами, не превышающими половину длины изгибной волны, является эффективным изолятором изгибной волны. В полупространстве за первой цепочкой нулевая спектральная компонента рассеянного поля полностью компенсирует падающую изгибную волну резонансной частоты. Пусть вторая цепочка расположена в одной из пучностей смещения суммарного поля падающей волны и нулевого рассеянного спектра. Тогда при равенстве активных компонент эффективной проводимости резонаторов второй решетки и комплексной проводимости излучения падающая изгибная волна полностью поглощается этими резонаторами.
Ключевые слова: механический резонатор, дифракционная решетка, метод самосогласованного поля, волноводный изолятор.
DOI: 10.7868/S0320791914030113
На практике для создания виброизоляции из-гибных волн в стержнях и пластинах применяют механические резонаторы [1—4]. Простейшим резонатором является пружина с грузом [5]. Эффективным устройством изоляции изгибных волн является волноводный изолятор [6—9]. Он представляет собой сетку одинаковых резонаторов, прикрепленных к пластине на малом расстоянии друг от друга.
В работе [10] было исследовано рассеяние плоской изгибной волны в пластине от цепочки одинаковых механических резонаторов (пружин с грузами) при наклонном падении. Рассеянное поле представлено в виде суперпозиции однородных и неоднородных брэгговских спектров. Рассчитаны амплитуды рассеянных спектральных компонент на резонансной частоте. При периоде
цепочки, меньшем + sin 9)-1, где 9 — угол падения, X — длина изгибной волны, только "нулевые" рассеянные спектральные компоненты являются однородными. Тогда при отсутствии дис-сипативных потерь в резонаторах падающая изгибная волна полностью отражается от цепочки. При резонансной частоте сумма падающей и отраженной волн дает стоячее поле, его узлы и
пучности смещения расположены на соответствующих линиях, параллельных цепочке. Поместим в одной из пучностей смещения вторую цепочку, отличающуюся от первой наличием трения в ее резонаторах. Можно ожидать, что при определенном трении в резонаторах второй цепочки эта пара цепочек будет эффективным поглотителем изгибных волн резонансной частоты. Ниже рассчитана виброизоляция пары параллельных цепочек из механических резонаторов, характеризуемых эффективной проводимостью. Эта
проводимость равна У0(1) = /Х0 для резонаторов первой (нижней) цепочки и равна У0(1) = Я0 + Х0, где Е0 > 0, для резонаторов второй (верхней) цепочки. Пространственные периоды обеих цепочек одинаковы. Пусть пластина лежит в плоскости ху, первая и вторая цепочки совпадают соответственно с линиями у = 0 и у = -Н. На этих линиях резонаторы расположены в точках х = х5 = где Ь — период цепочки, ж — любое целое число. Из полупространства у < -Н на резонаторы падает гармоническая изгибная волна
Wo (х, у) = А exp [1(к°х х + к°у у)], (1)
228
ЛАПИН
л (0,0
где А — амплитуда смещения, кх и ку — соответственно проекции волнового вектора падающей волны на оси х и у, временной множитель ехр(-'ю г) опускаем. Под действием этой волны резонаторы колеблются и создают на пластине точечные нормальные силы. Обозначим через wl(x, у) и ^2(х, у) поля смещений в пластине, создаваемые цепочками точечных нормальных сил, действующих на линиях у = 0 и у = - Н. Полное поле в пластине равно w = + wl + Структура рассеянного поля определяется периодом цепочек резонаторов и величина м>(х, у)ехр(-1к{°х) является периодической функцией х с периодом Ь. Обозначим через и амплитуды нормальных сил в точках (х = 0, у = 0) и (х = 0, у = -Н) соответственно. Тогда амплитуды нормальных сил в точках
(х = х,, у = 0) и (х = х,, у = -Н) будут ехр(/к:° х,) и
Г2 ехр(/к-°х,). Поля w1 и удовлетворяют уравнениям
Дw - kV = Dexp(ikx0x)5(y) X S(x - x),
Д^ - к V = ^ехр(/кх°х)5(у + Н) ^ 5(х - х,),
где к = (ю2 р/В)1^4 — волновое число изгибной волны, А = V — оператор Лапласа, р и Б — соответственно поверхностная плотность и изгибная жесткость пластины. Решения этих уравнений находятся методом Фурье и имеют вид
Wi(x, y) = X
F
4k 2LD
Х\~Ъехр[i(kx"x + ky |y|)] + "Texp\_iknxx - an|y|] \,
I ky a I
(2)
w2(x, У) = X
/F2
4kZLD [ky,
П У y
rexp
[i(knxx + k"y\H + y|)]■
(3)
+ — exP
а
\jknxx - аn\H + y|] j>,
а =
площади контакта пластины и резонатора. Тогда для смещений wl и получим выражения
w,
w
(x, y) = E 4kFD-(n)(x' y),
!(x'y) = E 4kLDwr(x>y)'
(4)
где
V(B) = ^ JJj k, ехр [ikx"(x - x') + ik"y |y - y'] +
(5)
+ -0, ехр ^ikx,(x - x') - аn |y - y '|J > dx' dy',
а
¥ f = ^ Ujk1, exp [iK(x - x) + ikП \H + y - y\] +
а ^ y
+ exp ^ik_n(x - x') - an |H + y - y\jj j dx'dy',
(6)
а — площадь контакта пластины и резонатора.
Величины F1 и F2 получим методом самосогласованного поля. Резонатор, присоединенный к пластине в точке (0,0), действует на нее с силой F1, пластина же действует на этот резонатор с силой (-F,). Смещение точки контакта пластины и
резонатора равно w(0,0) = (-F1)70(1Y(-i®), где Y0(1) — эффективная проводимость резонаторов первой цепочки. Аналогично получим, что смещение пластины в точке (0, -H) равно w(0, -H) = (-F2)Y0(2) /(-¿ю),
где Y0(2) — эффективная проводимость резонаторов второй цепочки. При учете формул (1) и (4)—(6) эти соотношения можно представить в виде
w(0,0) = A + F1Y/(-i&) + F2Y*/(-/ю) =
= (-ВД(1)/(-/ю), w(0, -H) = A exp(-iky°H) + F1Y*/(-¿ю) + + F2YI (-¿ю) = (-F2)Y0S2) I(-¿ю),
где
Y = -ifflw1(0,0V F1 = -tow2(0, -H)l F2 =
где К = кх + п2п/Ь, кпу = -у/к2 - (кпх)2,
= у] к2 + (кП)2, суммирование производится по всем целым п. В фигурн^тх скобках первое слагаемое есть однородная плоская волна при |кП| < к и
неоднородная плоская волна при |кП| > к, второе
слагаемое всегда является неоднородной волной.
Для улучшения сходимости рядов, дающих рассеянные поля, точечную нормальную силу, создаваемую каждым резонатором, "размажем" по
= E юу(п)(0,0)
4k UD
n
Y* = -ifflw1(0, -H)/F1 = -¿®w2(0,0V F2 =
= E
'rny(n)(0, -H)
(7)
4к ^ЬБ
п
Величина У есть комплексная проводимость излучения резонатора, вещественная часть этой проводимости равна
' (8)
R = ReY = E (4k 2LDky),
n
n
a
n
n
ПОГЛОЩЕНИЕ ИЗГИБНЫХ ВОЛН ПАРОЙ ЦЕПОЧЕК
229
где суммирование производится по всем п, при которых кП — вещественное. Величина У* есть взаимная проводимость резонаторов первой и второй цепочек.
В результате получим систему уравнений для сил и /2:
(70(1) + У)Г1 + 7*/2 = /юА, 7*Г1 + (70(2) + 7) Г2 = тА ехр(-/куН). Решения этих уравнений имеют вид = тА Т1/ Т, /2 = тАТ2/ Т, где
Т = 772 - (7*)2, Т1 = 72 - 7* ехр(/к°Н), Т2 = 71 ехр(-/к°Н) - 7*,
71 = Я + /(X0 + X), 72 = (Я + + /(X0 + X), X = 1ш 7.
Подставляя силы и в формулы (2) и (3), получим рассеянные поля w1 и Полное рассеянное поле равно w1 + w2.
Пусть пространственные периоды цепочек не превышают половину длины изгибной волны. Тогда все рассеянные спектральные компоненты, кроме "нулевых" при п = 0, будут неоднородными. Согласно формуле (8) для таких цепочек
Я = ю/ (4к2 ЬВку). Полагая, что рассеянные неоднородные спектральные компоненты существенно затухают на расстоянии Н, из формулы (7) получим приближенно
7* - ехр(/куН) ю/(4к2 ЬОк°) = ехр(/к°Н)Я.
Интенсивное рассеяние изгибной волны происходит только при взаимной компенсации реактивных компонент эффективной проводимости резонаторов и комплексной проводимости излучения, т.е. при выполнении соотношения X!) + X = 0. При частоте ю, удовлетворяющей этому соотношению, амплитуды нулевых спектральных компонент полного рассеянного поля + w2) будут равны Ау>0 = -А,
.0 _ „ Яр - /2Я81п(к;Н) ехр(-гкуН)
Ау <-Н = А 0 0 . (9)
у Я0 - /2Я8т(куН) ехр(/куН)
В полупространстве у > 0 нулевая спектральная компонента рассеянного поля полностью компенсирует падающую волну (1).
Пусть вторая цепочка расположена в одной из пучностей смещения суммарного поля падающей волны и нулевого рассеянного спектра от первой
цепочки. Тогда к°уН = М я/2, где М — нечетное число, и формула (9) дает
Я - 2Я
Ay<-H = -A-
(10)
Я0 + 2Я
При выполнении соотношения Я0 = 2Я эта амплитуда равна нулю и падающая изгибная волна (1)
полностью поглощается резонаторами. Величина 2R есть вещественная компонента проводимости излучения в пучности смещения.
Отражение рэлеевской волны и волн Лэмба в твердом слое решеткой механических резонаторов было исследовано в работах [11, 12]. Новые эффективные способы создания виброизоляции на основе механических резонаторов предложены в работах [13, 14]. Обзор современных конструкций вибропоглотителей дан в работе [15].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Клюкин И.И. Об ослаблении волн изгиба в стержнях и пластинах при помощи резонансных колебательных систем // Акуст. журн. 1960. Т. 6. № 2. С. 213-219.
2. Клюкин И.И, Сергеев Ю.Д. О рассеянии изгибных волн антивибраторами, установленными на пластине // Акуст. журн. 1964. Т. 10. № 1. С. 60-65.
3. Тютекин В.В., Шкварников А.П. Синтез и исследование поглотителей изгибных волн в стержнях и пластинах // Акуст. журн. 1972. Т. 18. № 3. С. 441-447.
4. Лапин А.Д. Влияние диссипативных потерь на эффективность работы резонатора для изгибных вол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.