АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 3, с. 347-350
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ^^^^^^
ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.26
ПОГЛОЩЕНИЕ НУЛЕВЫХ ВОЛН ЛЭМБА В УПРУГОМ СЛОЕ МЕХАНИЧЕСКИМИ РЕЗОНАТОРАМИ С ТРЕНИЕМ
© 2008 г. Ä. Д. Лапин
Акустический институт им. Н.Н. Андреева 117036 Москва, ул. Шверника 4 Тел.(495) 126-9004; Факс: (495) 126-8411 E-mail: mironov@akin.ru Поступила в редакцию 20.12.06 г.
Исследовано распространение нулевых волн Лэмба в пластине с механическими резонаторами на стенках. Показано, что в пластине, являющейся одномодовой для симметричных (антисимметричных) волн, при помощи механических резонаторов с определенным трением можно полностью поглотить нулевую симметричную (антисимметричную) волну Лэмба. Одномодовая (для симметричных или антисимметричных волн) пластина может быть не тонкой по сравнению с длиной поперечной волны.
РДСБ: 43.20.Hq
Нормальные волны вертикальной поляризации в горизонтальной пластине со свободными границами называют волнами Лэмба [1]. Все волны Лэмба, кроме нулевых, имеют критические частоты. Нулевая симметричная и нулевая антисимметричная волны Лэмба распространяются при любой частоте. В тонкой (по сравнению с длиной поперечной волны) пластине они представляют собой соответственно продольную и из-гибную волны. Затухание изгибных волн в тонкой пластине, обусловленное присоединенными к ней резонансными системами с трением, исследовали многие авторы [2-4]. При помощи комбинации механических резонаторов, реагирующих на смещение и наклон границы, удается полностью поглотить гармоническую изгибную волну в тонкой пластине [5]. Возникает вопрос: можно ли при помощи механических резонаторов полностью поглотить нулевые волны Лэмба в пластине с толщиной, не малой по сравнению с длиной поперечной волны. Исследование дает положительный ответ на этот вопрос. В пластине, являющейся одномодовой для симметричных (антисимметричных) волн, при помощи механических резонаторов с определенным трением всегда можно полностью поглотить нулевую симметричную (антисимметричную) волну Лэмба. Одномодовая (для симметричных или антисимметричных волн) пластина может быть не тонкой по сравнению с длиной поперечной волны.
Рассмотрим пластину со свободными поверхностями, заданными в декартовой системе координат уравнениями г = Н и г = -Л. К ней на пересе-
чении ее верхней и нижней поверхностей с плоскостью х = 0 присоединены одинаковые близко расположенные друг от друга механические резонаторы, реагирующие на нормальное и тангенциальное смещения границы. Простейшим таким резонатором является конструкция из двух пружин с грузами, имеющих общее соединение с пластиной. Одна из этих пружин расположена перпендикулярно поверхности пластины и реагирует на ее нормальное смещение, другая пружина ориентирована по направлению распространения волны и реагирует на тангенциальное смещение границы. "Размажем" эти резонаторы по линии их присоединения к пластине и будем характеризовать резонансную систему параметрами, отнесенными к единице длины по оси у. Погонные коэффициенты упругости вертикальной и горизонтальной пружин обозначим через к1(1 - ге1) и к2(1 - ге2), где е1 и е2 - погонные коэффициенты диссипации, погонные массы вертикального и горизонтального резонаторов обозначим через т1 и т2. Поле в пластине будем характеризовать скалярным и векторным потенциалами ф и у. В двумерной задаче, когда движение не зависит от координаты у, у векторного потенциала будет отлична от нуля только компонента по оси у; эту компоненту обозначим просто через у. Пусть слева на резонаторы падает гармоническая нулевая симметричная волна Лэмба с частотой ю, меньшей критической частоты первой симметричной моды, и пусть скалярный и векторный потенциалы этой волны соответственно равны
фо(х, z, г) = еИ(qsz)ехр[г(Ъ,х - юг)],
у о (х, z, г) =
2 ( qsh)
(Ъ2 + г]) (г^)
(1)
уравнения
О, (£)г 4 Ъ?г (qh) еИ (гh) -- (Ъ2 + г2 )2еИ (qh) (гh) = 0,
(2)
/!(г) = к! (1- г е1)[ ^' (г) - щ г)],
(4)
— 2 2 ф1( х, z, г) / |«(Ъ)^ х
х (гsz)ехр[г(Ъ,х - юг)], где Ъ, - единственный положительный корень
22 - + г -
рс, — О(Ъ) х (г^еИ(qz)ехр(гЪх)йЪ,
У1( х, *г) = -г 2 /3 I ^(Ъ) Окх
Р Сг
,(Ъ)
(6)
х (qh)(гz)ехр(гЪх)йЪ,
q = 7Ъ2- , г = 7Ъ2- к2 и к; = ю/с;, Сг = ю/Сг, qs и г. - значения величин q и г при Ъ = Ъ,, с; и сг - скорости продольной и поперечной волн. Под действием падающей моды (1) резонаторы, расположенные сверху и снизу пластины, колеблются синфазно и создают в ней симметричное рассеянное поле (ф, у), полное поле в пластине равно {(ф+ фо), (у + Уо)}.
Обозначим через w '(г) смещение груза т1 по оси z от положения равновесия и через и'(г) - смещение груза т2 по оси х от положения равновесия. Уравнения движения грузов, расположенных над пластиной, имеют вид
т1 (г) = -/1 (г), т2и'(г) = /г), (3) где силы /1(г) и /2(г) определяются по формулам
ф2 (х, z, г) = -2(Щ | g(Ъ) О^г^х
Ъг
Р с,
,(Ъ)
(7)
х еИ(г^ еИ(qz) ехр(гЪх)йЪ,
У2 (х, z, г) =
/ 2 (г)
| g (Ъ)
(Ъ2 + г2)
р с, 1 О, (Ъ)
х еИ(qh)(гz)ехр(гЪх)йЪ,
х
(8)
/2(г) = К2(1- ¿82)[и'(г) - и(г)], и(х, z, г) и Щ(х, z, г) - смещения частиц среды по осям х и z в полном поле (ф0 + ф), (у0 + у), и (г) =
р - плотность среды. Величина g(Ъ) определяется по формуле g(Ъ) = Р (х)ехр(-гЪх)йх = 2^. При (Ъй) < 1 она равна приближенно 1/(2п).
Смещения по осям х и z в полном поле получим сложением соответственных смещений в падающем и рассеянных полях: и = и0 + и1 + и2, Щ = w0 + w1 + w2. Смещения (и0, w0), (и1, w1) и (и2, w2) рассчитаем на основе формул (1), (5)-(8). Усредненные по площадке |х | < й, z = h смещения равны ио (г) = В2ехр(-гюг), W0 (г) = 5хехр(-г'юг), и (г) = (г) = 0, й>1 (г) = /1(г)711/(-гю), и2 (г) =
= — Iй и (х, h, г)йх и Щ (г) = — Iй щ (х, h, г)йх -2 йЛ -й 2йЛ -й
усредненные смещения на площадке соединения пружин с пластиной ^ = 0, |х | < й < 1/к,, 2й - ширина площадки). Силы/1(г) и/2(г) "размазаны" по площадке |х | < й границы. При гармонической падающей волне эти силы можно представить в виде /1 2(г) = 2ехр(-гюг) где 2 - комплексные амплитуды сил.
Симметричное рассеянное поле в пластине удовлетворяет уравнениям Дф + к] ф = 0, Ау + + к2 у = 0 и граничным условиям {стгг}г = h = = {стгг}г = -Ъ = Р(x)/1(г), {^хг}г = h = -{^хг}г = -h =
= р(х)/2(г), где ск - компоненты тензора напряжений, величина р(х) равна 1/(2й) при |х| < й и равна нулю при |х| > й. Это поле получим методом Фурье [1]. Оно равно сумме рассеянных полей, создаваемых вертикальными и горизонтальными механическими резонаторами ф = ф1 + ф2, у = у1 + у2, где
=М)Ут2К-т, где В1 = -
ktqs (qsh)
, В2 =
(Ъ,+ г,)
гк 2 к з 2 (Ъ)
^еИ (qsh), 7П = -г ^ ^ ^Ъqsh(qh) sh(гh) йЪ,
= ^ г- ¿(Ъ)_г "22 = г р с г1-- О,( Ъ )
еИ (qh) еИ (г^ йй,.
При кгй < 1 вещественные компоненты прово-димостей 711 и 722 практически не зависят от ширины площадки соединения пружин с пластиной и равны приближенно
Ие У11 =
, 3
ktqs
р с,О. (Ъ,)
Ие У22 =
sh (qsh) sh (г^),
еИ (qsh) еИ (г^),
рс,о;(Ъ,) О,(Ъ,) = О О,/ЭЪ)^,.
ПОГЛОЩЕНИЕ НУЛЕВЫХ ВОЛН ЛЭМБА
349
Амплитуды сил ^ и подберем таким образом, чтобы удовлетворялись соотношения (4). Согласно уравнениям (3) смещения грузов будут ™'(0 = /1(г)/(ш1ю2), ы'(г) = /2(г)/(т2ю2). Подставляя
величины [/ (г), (г), ы'(г), ^'(г) в соотношения (4), получим искомые амплитуды ^ = г'юВ1/(710 + 7П),
1 ю
F = mB^Yo + F22) где Уш = i
шт.
K(1- iEl).
Y20 = i
ш
шт,
K2(1- iE,).
- проводимости верти-
(фо + Ф1 + Ф,)s = \ exp(idsx) -
Re Y11
.(Y10+ Y11)
+
+ sign x
Re Y
,,
(Y 20 + Y 22)-
где |x| > d, signx = +1 при x > 0, signx = -1 при x < 0. Коэффициенты отражения и прохождения нулевой симметричной моды соответственно равны
V (ш) = -
Re Y11
ReY
22
(Y10+ Y11) (Y,o + Y ,2)'
T (ш) = 1 -
Re Y11
ReY
(9)
22
(Y10+ Y11) (Y20 + Y„)
V = -[ 1 + Re Y 10/ReY 11 ]-1 +
+ [ 1 + Re Y 20/ReY „ ]-1, T = 1- [ 1 + ReY10/ReY11 ]-1 -- [ 1 + ReY20/ReY22]Л
(10)
кального и горизонтального механических резонаторов.
Рассеянные поля от вертикальных и горизонтальных резонаторов получим соответственно по формулам (5), (6) и (7), (8) при подстановке сил /1(г) = ^1ехр(-г'юг) и /2(г) = ^2ехр(-г'юг) в них. Эти поля ортогональны и уносят мощности Q1s = = (1/2)Ие Гц^!2, Q2s = (1/2)Ие 12. Мощности, поглощаемые вертикальными и горизонтальными резонаторами, будут Q1d = (1/2)Яе 710|^1|2, Q2d = = (1/2)Яе |2.
В формулах (5) - (8) выделим нулевые рассеянные моды, даваемые вычетами в полюсах Е = Скалярный потенциал нулевых мод в полном поле получим по формуле
Пусть выполняются соотношения Яе 711 = Яе 710, Яе 722 = Яе 720. Это означает равенство мощностей излучения и поглощения: Q1s = Q1d, Q2s = Q2d. Тогда коэффициенты отражения и прохождения одновременно обращаются в нуль. Резонаторы не отражают и не пропускают нулевую симметричную моду. Энергия этой моды полностью переходит в тепло.
Аналогичным способом рассчитаем коэффициенты отражения и прохождения нулевой антисимметричной волны Лэмба при ее падении на резонаторы. Под действием этой волны резонаторы, расположенные сверху и снизу пластины, колеблются противофазно и создают антисимметричное рассеянное поле. При частоте ю, меньшей критической частоты первой антисимметричной моды, оно состоит из нулевой моды и бесконечного числа неоднородных (затухающих) мод. Формулы для коэффициентов отражения и прохождения нулевой антисимметричной моды получим из формул (9) для коэффициентов отражения и прохождения нулевой симметричной моды при замене в них проводимо-
стей 711 и 722 соответственно на проводимости 7 Ц
и Y22 , где Y11 = -i
( a)
2пk3 f- ¿(1)4
Da (S)
Р c
7 i
ch(qh)ch(rh)dd,
exp (i SJx|) ¡> ch (qsz) exp (-i ш t), Y2a2)
2пК f- g2(S)r
sh(qh) sh(rh) dd, Da(S) =
pCt J - Da(S)
= 4d2qrch(qh)sin(rh) - (S2 + r2)2sh(qh)ch(rh) = 0.
Резонансные частоты (для вертикальных
резонаторов) и ш2а) (для горизонтальных резонаторов) являются решениями уравнений Im(Y10 +
+ Y а) = 0 и Im(Y20 + Y 22)) = 0. При ш = = ш2а) коэффициенты отражения и прохождения нулевой антисимметричной моды получим по формулам (10) при замене в них величин Re Y11 и Re Y22
Резонанс вертикальных резонаторов происх
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.