УДК 521.131
ПОИСК ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ В ОБЛАСТИ АГЕКЯНА-АНОСОВОЙ ДЛЯ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
© 2015 г. П. П. Ясько, В. В. Орлов*
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук,
Санкт-Петербург, Россия Поступила в редакцию 07.10.2014 г.; принята в печать 21.11.2014 г.
Цель данного исследования — поиск близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевыми начальными скоростями. Поиск проводился при помощи сканирования области D всех возможных конфигураций тройных систем, задаваемых координатами В области D опре-
делялись точки, окрестности которых могут содержать начальные условия для точных периодических орбит. Для этих точек требовалось выполнение двух условий: минимум функционала, равного сумме квадратов разностей начальных и текущих значений координат и скоростей тел, был меньше заданного фиксированного значения; момент времени Т достижения этого минимума не превышал 10т, где т — среднее время пересечения. Обнаружены 22 области начальных координат каждая из
которых соответствует определенной периодической орбите. Построены траектории движения тел с начальными условиями в обнаруженных областях. Описаны некоторые свойства структуры найденных орбит.
DOI: 10.7868/80004629915050084
1. ВВЕДЕНИЕ
Поискам и изучению периодических орбит в общей задаче трех тел уделяется значительное внимание (см., например, книги Маршаля [1], Валтонена и Карттунена [2], Мартыновой и др. [3]). В общей задаче трех тел известно несколько семейств периодических орбит. Эти семейства включают в себя орбиты тел в тройных системах с компонентами равных масс и нулевым моментом вращения [4— 7]. Еще несколько периодических орбит в рассматриваемой задаче были найдены Шуваковым и Дмитрашиновичем [8]. В нашей предыдущей работе [9] и независимо в [10] был предложен новый метод поиска орбит, близких к периодическим, с помощью которого было найдено 23 орбиты в [9] и 11 орбит в [10].
В 1967 г. Агекяном и Аносовой [11] была определена ограниченная двумерная область Э (рис. 1), содержащая все возможные конфигурации тройных систем. Первое тело А находится в точке с координатами (—0.5,0), второе тело В находится в точке с координатами (+0.5,0), а третье тело С располагается в точке с координатами ((, п) в замкнутой области Э, ограниченной осями координат и дугой окружности единичного радиуса с центром в точке А.
E-mail: astromex@yandex.ru
В [11] было показано, что для любого треугольника найдется подобный ему треугольник в области Э. Следовательно, множество начальных условий всех возможных тройных систем с компонентами равных масс при нулевых начальных скоростях ограничивается областью Э. Разумеется, это справедливо с точностью до масштабного фактора, зависящего от принятых единиц длины и времени. Таким образом, в общей задаче трех тел равных масс с нулевыми начальными скоростями координаты (£,п) однозначно определяют начальные условия всех возможных траекторий.
В настоящей работе проведен поиск точек ((, п), в окрестности которых могут находиться начальные условия для точных периодических орбит.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим тройную систему с компонентами равных масс с нулевыми начальными скоростями. Начальные условия определяются координатами (£, п). Движения тел происходят в плоскости хОу конфигурационного треугольника, где начало координат О находится в центре масс тройной системы.
При вычислениях использовалась динамическая система единиц, применявшаяся в [7, 9]:
1) единица расстояния — средний размер тройной системы
СЕ < т тз
d =
\E |
где С — гравитационная постоянная, т£ (г = = 1, 2,3) — массы тел;
2) единица времени — среднее время пересечения компонентом тройной системы
С(Е3=1 т^ )5/2
Т =
(2\E |)3/2
Мы полагаем, что С =1, массы тел также принимаем равными единице.
Для каждой из рассмотренных нами тройных систем вычисления проводились до момента времени £ = 10т, где т — среднее время пересечения (время, необходимое одному из тел для прохождения расстояния, равного среднему размеру ^ тройной системы).
Поиск близких к периодическим орбит осуществлялся при помощи сканирования области начальных условий (£,п) с использованием минимизации следующего безразмерного функционала:
3 г|го - г |2 \тю - г £ |2"
Ф2 = £
i=1
d2
+
(d/т)
2
где rio и ri — начальный и текущим радиус-векторы положения г-го тела (г = 1, 2,3); ri0 и ri — начальный и текущий радиус-векторы скорости г-го тела (г = 1, 2, 3). Значения функционала Ф определялись на каждом шаге численного интегрирования и в 19 промежуточных точках с помощью квадратичной интерполяции. В качестве близких к периодическим рассматривались траектории, для которых значение функционала Ф в какой-то момент времени не превышало некоторое критическое значение Фсгц = 0.03. Сканирование области % Е
е (0,0.5], г/ е (0, проводилось с шагами = = An = 0.0001.
Как и в [9], уравнения движения общей задачи трех тел численно интегрировались методом Булирша—Штера [12] с использованием регуляризации Арсета—Заре [13]. Все вычисления проводились по программе TRIPLE, составленной Ар-сетом [14]. При вычислениях использовался параметр точности г = 1 х 10-15.
П 1.0
A
B
-0.4 -0.2 0 0.2
0.4 %
Рис. 1. Область D всех возможных конфигураций тройных систем.
П 1.0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
В результате сканирования были обнаружены 22 области, в которых могут находиться искомые (близкие к периодическим) орбиты (рис. 2). Вблизи геометрического центра каждой из выявленных
Рис. 2. Начальные условия (£, п) для близких к периодическим орбит в области Э.
областей, не примыкающих к оси абсцисс, была выбрана точка (£,п), затем строилась орбита с
Рис. 3. Орбита 1 с начальными условиями (£, п) = = (0.0154, 0) в течение одного периода Т = 5.05т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 5. Орбита 3 с начальными условиями (£, п) = = (0.0257, 0) в течение одного периода Т = 8.32т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 4. Орбита 2 с начальными условиями (£, п) = = (0.0256, 0) в течение одного периода Т = 4.35т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 6. Орбита 4 с начальными условиями (£, п) = = (0.0406, 0) в течение одного периода Т = 3.98т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
начальными условиями в этой точке. Для областей, примыкающих к оси абсцисс, соответствующая точка выбиралась на оси О% (как проекция геометрического центра области на ось). Построенные траектории представлены на рис. 3—24. При
построении траекторий использовался параметр точности г = 2 х 10-16. На рисунках представлены траектории движения тел в системе координат, связанной с центром масс тройной системы, в течение одного периода. Для систем с начальными
Рис. 7. Орбита 5 с начальными условиями (£, п) = = (0.0649, 0) в течение одного периода Т = 5.80т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 9. Орбита 7 с начальными условиями (£, п) = = (0.1477, 0) в течение одного периода Т = 5.84т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 8. Орбита 6 с начальными условиями (£, п) = = (0.0886, 0) в течение одного периода Т = 3.59т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 10. Орбита 8 с начальными условиями (£, п) = = (0.1528, 0) в течение одного периода Т = 4.03т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
условиями на оси О% вместо траекторий, которые представляют собой отрезки прямых, для наглядности приведены зависимости от времени координат х всех трех тел (в этих случаях координаты у равны нулю). В таблице и в подписях к рисункам
указаны начальные условия п) и приближенные значения периодов Т в единицах т.
Вблизи оси абсцисс было обнаружено 15 областей, в которых могут находиться начальные
Рис. 11. Орбита 9 с начальными условиями (£, п) = = (0.1662, 0) в течение одного периода Т = 2.21т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 13. Орбита 11 с начальными условиями (£, п) = = (0.2020, 0) в течение одного периода Т = 5.85т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 12. Орбита 10 с начальными условиями (£, п) = = (0.1984, 0) в течение одного периода Т = 6.20т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 14. Орбита 12 с начальными условиями (£, п) = = (0.2073, 0) в течение одного периода Т = 5.49т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
условия для точных периодических орбит (рис. 3— 17). Мы предполагаем, что начальные условия для периодических орбит находятся на оси абсцисс О%, т.е. эти орбиты относятся к прямолинейной задаче трех тел. В этих случаях центральное тело
С испытывает двойные соударения с каждым из крайних тел А и В. Различным периодическим орбитам соответствуют разные последовательности соударений.
Рис. 15. Орбита 13 с начальными условиями (£, п) = = (0.2152, 0) в течение одного периода Т = 5.13т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 17. Орбита 15 с начальными условиями (£, п) = = (0.3497, 0) в течение одного периода Т = 9.62т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 16. Орбита 14 с начальными условиями (£, п) = = (0.2226, 0) в течение одного периода Т = 4.75т. Зависимости от времени координат х каждого из тел.
Рис. 18. Орбита 16 с начальными условиями (£, п) = = (0.2062,0.1988) в течение одного периода Т = = 3.64т. Траектории движения тел в барицентрических координатах.
Для описания траекторий будем использовать методы символической динамики (см., например, [15, 16]). Введем символы А и В, обозначающие двойные соударения тела С с телами А и В,
соответственно. Тогда каждую из периодических орбит в течение одного периода представим в виде базовой последовательности символов (пятый столбец в таблице). Динамическая эволюция пе-
Рис. 19. Орбита 17 с начальными условиями (£,п) = = (0.0274,0.3411) в течение одного периода Т = = 3.63т. Траектории движения тел в барицентрических координатах.
Рис. 21. Орбита 19 с начальными условиями (£,п) = = (0.3420,0.6858) в течение одного периода Т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.