УДК 521.131
ПОИСК ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
© 2014 г. П. П. Ясько*, В. В. Орлов
Санкт-Петербургский государственный университет, С.-Петербург, Россия Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук, С.-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 17.02.2014 г.; принята в печать 21.05.2014 г.
В рамках общей задачи трех тел с компонентами равных масс и нулевым моментом вращения разработан оригинальный метод нахождения областей начальных условий для орбит, близких к периодическим. В данной задаче до недавнего времени были известны три устойчивые периодические орбиты: орбита Шубарта в прямолинейной задаче, орбита Брука в равнобедренной задаче и орбита Мура или "восьмерка", а последние исследования привели к обнаружению новых периодических орбит в этой задаче. Разработанный в данной работе метод основан на минимизации функционала, равного сумме квадратов разностей начальных и текущих значений координат и скоростей тел. Поиск проводился для короткопериодических орбит с периодами Т < 10т, где т — среднее время пересечения компонентом тройной системы. Обнаружена 21 область начальных параметров, каждая из которых соответствует определенной периодической орбите. Критерием достоверности полученных результатов служит то, что начальные условия для известных устойчивых периодических орбит содержатся внутри найденных областей. Представлены траектории движения тел в обнаруженных областях. Описаны динамические и геометрические свойства исследованных орбит.
DOI: 10.7868/80004629914110085
1. ВВЕДЕНИЕ
Периодические орбиты являются важным звеном теоретических и численных исследований в естественных науках. Изучение периодических орбит и их окрестностей позволяет выявлять закономерности движений, проводить классификацию траекторий, находить области ограниченных движений и т.д. С помощью периодических орбит можно определять области устойчивости, а также зоны хаотических и регулярных движений. Анри Пуанкаре в своей знаменитой книге "Новые методы небесной механики" [1, с. 75] утверждает, что "особая ценность ... периодических решений заключается в том, что они являются единственной брешью, через которую мы могли бы попытаться проникнуть в область, считавшуюся недоступной".
Периодические орбиты исследовались и продолжают изучаться в гравитационной задаче трех тел (см., например, книги Маршаля [2], Валтонена и Карттунена [3], Мартыновой и др. [4]). Особое место среди периодических орбит занимают устойчивые орбиты, поскольку они порождают множества траекторий с ограниченными движениями, на качественном уровне повторяющими исходную периодическую орбиту. В общей задаче трех тел известно несколько семейств устойчивых периодических орбит. Эти семейства включают в себя
E-mail: astromex@yandex.ru
орбиты тел в тройных системах с компонентами равных масс и нулевым моментом вращения (см. работы Шубарта [5], Брука [6], Мура [7], Мартыновой и др. [8]). Еще несколько периодических орбит в рассматриваемой задаче были найдены Шуваковым и Дмитрашиновичем [9]. Устойчивость 7 из этих орбит была проверена в работе [10], где было показано, что все рассмотренные орбиты, вероятно, неустойчивы, либо начальные условия для этих орбит найдены с недостаточной точностью. В [11] было обнаружено еще 11 периодических решений в окрестности орбиты Мура.
В настоящей работе проведен поиск новых близких к периодическим орбит в тройных системах при условиях, что массы тел равны и момент вращения системы равен нулю. При поиске используется численное интегрирование уравнений движения в общей задаче трех тел.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим тройную систему с компонентами равных масс и нулевым угловым моментом. Используем способ задания начальных условий, предложенный в [8, 12]. В начальный момент времени все три тела располагаются на одной прямой (имеет место сизигия1 ), одно из тел находится в
центре масс системы. Вектор скорости центрального тела противоположно направлен относительно векторов скоростей двух крайних тел, которые равны по величине и направлению. Для выполнения закона сохранения импульса модуль вектора скорости центрального тела полагается в 2 раза больше, чем модули векторов скорости крайних тел. Полная энергия тройной системы принимается равной Е = —1.
Начальные скорости и координаты тел определяются через два параметра: вириальный коэффициент к, равный отношению кинетической энергии к модулю потенциальной энергии тройной системы; угол р между вектором скорости центрального тела и прямой, на которой лежат три тела. Параметры к и р меняются в следующих интервалах: к € (0,1);
р е ^0, ^. Выражения для начальных координат
и скоростей компонентов тройной системы в барицентрической системе отсчета через параметры к и р имеют следующий вид:
5 5
хг = --(1-к), х2 = 0, жз = -(1 — к);
У1 = У2 = Уз = 0; ¿1 = ¿2 = ¿з = 0;
1
%1 =--W
3 V 1 -к
3k . 2
COS р, Х2 = -
3 к 1 -к
cos р,
%3 = 77
3 к
3 V 1^к
У1 = -77
3 к
3 V
У з
cos р;
2
Sin р, 2/2 = 77
3 к
3 V 1^к
sin р,
1
3k
3 V 1 - k
sin р;
¿¡1 = ,¿2 = -¿3 = 0.
При вычислениях использовалась динамическая система единиц, применявшаяся в [8, 12]. Для каждой из рассмотренных нами тройных систем вычисления проводились до момента времени £ = = 10т, где т — среднее время пересечения (время, за которое компонент тройной системы, двигаясь со средней скоростью, проходит расстояние, равное среднему размеру тройной системы).
Поиск близких к периодическим орбит осуществлялся в несколько этапов сканированием области начальных условий (к, р) с использованием минимизации следующего безразмерного функционала:
з 2 2
Ф
£
i=1
|ri0 - ri I2 |ri0 - ri|
d2
+
(d/т )2
1 Как было показано Монтгомери [13], состояние сизигии свойственно всем тройным системам с нулевым угловым моментом, кроме треугольного решения, полученного Ла-гранжем.
где d — средний размер тройной системы, ri0 и ri — начальный и текущий радиус-векторы положения i-го тела (i = 1,2,3), ri0 и r — начальный и текущий радиус-векторы скорости i-го тела (i = = 1,2,3). Значения функционала Ф определялись на каждом шаге численного интегрирования и в 19 промежуточных точках с помощью квадратичной интерполяции. Для дальнейшего изучения отбирались траектории, для которых значение функционала Ф в какой-то момент времени не превышало некоторое критическое значение Фсги. Вначале проводилось сканирование всей рассматриваемой
области к G (0,1), р G ^0, с шагами А к = Ар =
= 0.001 со значениями Фсги = 0.03 и Фсги = 0.01. Это сканирование выявило несколько областей, в которых могут находиться искомые (близкие к периодическим) орбиты. Эти области были сканированы с более мелкими шагами Дк = Ар = = 0.0001 и значением Фсгй = 0.003.
Как и в [8], нами проводилось численное интегрирование уравнений движения общей задачи трех тел методом Булирша—Штера [14] с использованием регуляризации Арсета—Заре [15]. Все вычисления проводились по программе TRIPLE, составленной Арсетом [16]. При вычислениях использовался параметр точности е = 1 х 10_14.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
В [8, рис. 2] была построена карта областей устойчивости в координатах к и р при t > 10 000т. На рис. 2 в цитированной работе выделяются три большие области устойчивости, связанные с периодическими орбитами Шубарта, Мура и Брука. Впервые отмеченная в [8] новая периодическая
Л 12 Ч
S-орбита I кй-и^й - I находится в верхней
части области устойчивости, связанной с орбитой Шубарта.
В нашей работе в результате описанного выше сканирования области (к, р) была построена карта с зонами (рис. 1), в которых выполняются следующие условия:
1) Ф < Фсги = 0.03 (светло-серые области),
2) Ф < Фсги = 0.01 (темно-серые области),
3) Ф < Фсга = 0.003 (черные области).
На рисунке выделяется около 20 светло-серых зон, и внутри некоторых из них располагаются компактные вложенные друг в друга множества темно-серых и черных точек. Можно предположить, что внутри черных областей находятся точки (к,р), соответствующие периодическим орбитам.
Вблизи геометрического центра каждой из выявленных областей, не примыкающих к оси абсцисс, была выбрана точка (к,р), затем строилась
Значения к, ф и периодов для найденных периодических орбит
Номер орбиты к Т к' Т' Примечания
1 2 3 4 5 6 7 8
1 0.484 1.000 1.68 0.485142 0.993316 1.675739 Орбита Мура
2 0.133 0.393 3.62 0.131922 0.388207 3.617188 -
3 0.196 0.245 3.62 0.196722 0.243398 3.616516 -
4 0.424 1.435 6.67 0.423866 1.434788 6.671516 -
5 - - - 0.027953 0.993475 7.194441 -
6 0.447 0.706 4.39 0.447087 0.706094 4.391826 -
7 - - - 0.477656 0.800868 7.762814 -
8 0.347 0.780 9.77 0.347319 0.777407 9.772517 -
9 0.261 0.516 6.31 0.261291 0.515817 6.314014 -
10 0.418 0.545 5.37 0.428396 0.535214 5.370972 -
И 0.224 0.857 5.37 0.224381 0.858247 5.370773 -
12 0.020 0.000 5.39 - - - -
13 0.102 0.000 1.81 - - - -
14 0.203 0.000 0.90 - - - Орбита Шубарта
15 0.312 0.000 1.81 - - - -
16 0.462 0.000 3.60 - - - -
17 0.526 0.000 4.38 - - - -
18 0.238 0.454 9.93 - - - -
19 0.284 0.565 9.00 - - - -
20 0.333 0.656 2.68 - - - S-орбита
21 0.162 0.845 9.01 - - - -
22 0.532 1.053 6.70 - - - -
23 0.418 1.571 1.67 - - - Орбита Брука
орбита с начальными условиями в этой точке. Для областей, примыкающих к оси абсцисс, соответствующая точка выбиралась на оси ф = 0 (как проекция геометрического центра области на ось). Построенные траектории представлены на рис. 224. На этих рисунках представлены траектории движения тел в системе координат, связанной с центром масс тройной системы, в течение одного периода. Для систем с начальными условиями на оси ф = 0 для наглядности приведены зависимости от времени координат х каждого из трех тел (в этих случаях координата у = 0). Среди найденных орбит оказались четыре известные ранее орбиты Шубарта (рис. 4), Мура (рис. 21), Брука (рис. 23) и Б-орбита (рис. 13). В работе [9] был обнаружен ряд периодических орбит. В таблице представлены
начальные условия (к,ф) и значения периодов Т для близких к периодическим орбит, найденных в данной работе и в работе [9]. Нами были вычислены значения (к', ф') по начальным
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.