ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 12, с. 1988-1997
УДК 519.614
ПОИСК ПОЛНОГО НАБОРА РЕШЕНИЙ ИЛИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МАТРИЧНЫХ МНОГОЧЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С КОММУТИРУЮЩИМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
© 2007 г. Б. 3. Шаваровский
(79060 Львов, ул. Научная, 3-Б, ИППММ НАН Украины) e-mail: shavarb@iapmm.lviv.ua Поступила в редакцию 02.03.2007 г.
Для одного класса матричных многочленных уравнений с коммутирующими коэффициентами обосновано существование полных наборов решений, а для другого - отсутствие решений вообще. В первом случае описывается метод нахождения таких наборов решений. Библ. 13.
Ключевые слова: матричное многочленное уравнение, полный набор решений, многочленная матрица, разложение матрицы на множители.
ВВЕДЕНИЕ
В предлагаемой работе рассматривается задача существования решений матричных многочленных уравнений с коммутирующими коэффициентами, а также построение для таких уравнений наборов решений, обладающих некоторыми свойствами полноты.
Матричные уравнения возникают в различных областях фундаментальной и прикладной математики. Так, например, в [1], [2] при решении классической задачи о гироскопической стабилизации возникает необходимость решения квадратичных матричных одно- и двусторонних уравнений. Значительная часть этих работ посвящена решению таких уравнений с некоторыми свойствами симметричности, положительной определенности и регулярности их коэффициентов. Помимо применений и прикладных аспектов задача о решении матричных многочленных уравнений представляет также самостоятельный интерес. Она включает в себя вопросы существования и практического построения отдельных решений и полных (в определенном смысле) наборов решений, задачу о числе решений и их классификации, а также поиск специальных видов решений и многие другие вопросы. Указанная задача тесно связана с решением уравнения Сильвестра
AXG + FXB = C и отдельного его случая - уравнения Ляпунова
AX+Х4т = C, а также с решением квадратичного уравнения
AX+XB + XFX + C = 0,
содержащего, в частности, известное алгебраическое уравнение Риккати, которое часто возникает во многих приложениях, особенно в задачах управления и автоматического регулирования. В настоящее время имеется обширная библиография, посвященная этим уравнениям, особенно последнему из них (см., например, [3]-[5] и цитированную там литературу). Известно, что в случае неособенности старшего коэффициента в уравнении Риккати оно сводится к квадратичному матричному уравнению
2
Y + MY + N = 0.
Задача о решении последнего обсуждалась в [6], а некоторые ее частные случаи рассматривались в [7]. Установлению числа треугольных решений уравнения X2 = 0 над конечными полями посвящена работа [8].
Замечание 1. Для алгебраических уравнений и многочленов степени 2 мы предпочитаем термин "квадратичные" вместо часто употребляемого "квадратные", резервируя последний термин для матричных
1988
уравнений и матричных многочленов, в которых в качестве коэффициентов фигурируют квадратные матрицы.
1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНЫХ МНОГОЧЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим матричные многочленные уравнения вида
X5 + X5-1 А1+ X-2А2 + ... + Л5 = 0, (1)
X5 + А1X-1 + Л2Х-2 + ... + Л5 = 0, (2)
где А, е М(п, С), 0 - нулевая и X- неизвестная (п х п)-матрицы. Поставим в соответствие уравнениям (1), (2) матричный многочлен
А(х) = Ех + А1 х -1 + Л2х -2 + ... + Л5, (3)
где Е - единичная матрица порядка п и х - скалярная переменная. Очевидно, каждый матричный многочлен можно записать в виде многочленной матрицы, т.е. матрицы с элементами из кольца многочленов С[х]. Поэтому все характеристики многочленной матрицы будем относить к матричному многочлену и наоборот. В частности, произвольную многочленную матрицу G(x) будем называть регулярной (униталъной), если ее старший коэффициент является неособенной (единичной) матрицей. Многочлен detG(x) называется характеристическим многочленом, а его корни - характеристическими корнями матричного многочлена G(x).
Между уравнениями (1), (2) и матричным многочленом (3) существует тесная связь. В частности, посредством обобщенной теоремы Безу можно убедиться, что разрешимость уравнения (1) (или (2)) эквивалентна выделяемости влево (или вправо) линейного унитального множителя из матричного многочлена А(х) из (3). Следовательно, собственные значения произвольного решения уравнений (1), (2) являются характеристическими корнями многочленной матрицы А(х).
В настоящей работе ставится вопрос не только о существовании и нахождении решений уравнений (1), (2), но и о наборах таких решений, которые в некотором смысле можно считать полными. Понятие полноты набора решений уравнения (1) или (2) в различных задачах трактуют по-разному. Так, например, в [9] оно тесно связано со свойствами обратимости оператора, специальным образом составленного по компонентам набора решений. Однако мы будем применять это понятие в смысле следующего определения.
Определение 1 (см. [10]). Набор решений (А^,X20, ..., Xs0) уравнения (1) или (2) называется полным, если объединение систем собственных значений (с учетом кратностей) матриц этого набора совпадает с системой характеристических корней многочленной матрицы (3), т.е. если выполняется условие
П¿й(Ех - X10) = аегА (х).
1 = 1
Далее будем предполагать, что коэффициенты уравнений (1), (2) удовлетворяют одному из следующих условий:
а) все коэффициенты А, 1 = 1, 2, ..., 5, попарно коммутируют и каждый нелинейный элементарный делитель каждой матрицы А, взаимно прост со всеми другими ее элементарными делителями;
б) некоторая матрица-коэффициент А{ имеет лишь попарно взаимно простые элементарные делители и коммутирует со всеми остальными матрицами-коэффициентами;
в) некоторая матрица-коэффициент А{ имеет лишь один элементарный делитель и коммутирует со всеми остальными матрицами-коэффициентами.
Одним из основных результатов данной статьи является
Теорема. Если коэффициенты уравнений (1), (2) удовлетворяют условию а) или б) и степени всех элементарных делителей соответствующей этим уравнениям многочленной матрицы А(х) не превышают трех, то каждое из этих уравнений обладает полным набором решений. Если коэффициенты уравнений (1), (2) удовлетворяют условию в) и многочленная матрица А(х) имеет лишъ один элементарный делителъ, то каждое из этих уравнений неразрешимо.
Для доказательства теоремы установим сначала вспомогательные факты.
Лемма 1. Если выполняется одно из условий а), б) или в), то многочленная матрица А(х) преобразованием подобия приводится к прямой сумме (быть может, одного слагаемого) треугольных одинакового наименования тёплицевых матриц.
Доказательство проведем отдельно для случая выполнения условия а) и случая условий б) или в).
Если выполняется условие а) и все коэффициенты многочленной матрицы А(х) имеют простую структуру, то, согласно [11, следствие 3, § 2, гл. VIII], все они одним преобразованием подобия приводятся к диагональному виду. Если же не все матрицы-коэффициенты многочленной матрицы А(х) имеют простую структуру, то зафиксируем один из них, содержащий нелинейный элементарный делитель минимальной степени. Пусть это будет матрица Ау (1 <у < 5). Приведем
многочленную матрицу А(х) к виду ТА(х)Т— при помощи матрицы Т такой, что ТАуТ-1 = 3 © А у, где 3 - верхняя (нижняя) клетка Жордана, соответствующая нелинейному элементарному делителю минимальной степени. Заметим, что в качестве матрицы Т можно взять преобразующую к жордановой форме матрицы Ау. Метод построения такой матрицы указан в [11, § 9, гл. VI]. Поскольку (единственное) собственное значение клетки 3 не является собственным значением матрицы А у (см. условие а) и работу [11, теорема 5, §3, гл. VI]), то, согласно [11, теорема 3, § 2, гл. VIII], все остальные матрицы-коэффициенты под действием указанного преобразования подобия приобретут блочно-диагональный вид, аналогичный виду матрицы ТАуТ1. Очевидно, такой же вид
примет в целом и многочленная матрица ТА(х)Т-1, т.е. ТА(х)Т-1 = В1(х) © В1 (х). При этом блок В^х) имеет верхнюю (нижнюю) треугольную форму с одинаковыми элементами на главной диагонали и одинаковыми элементами на каждой наддиагонали (поддиагонали), т.е. является, кроме всего, тёплицевой матрицей. Нетрудно видеть, что все коэффициенты многочленной матрицы
В1 (х) удовлетворяют условию а) и все ее элементарные делители имеют степени не выше трех, поскольку, согласно [11, теорема 5, § 3, гл. VI], система элементарных делителей блочно-диаго-нальной матрицы является объединением систем элементарных делителей ее диагональных блоков. Следовательно, на втором шаге применением трансформации подобием мы можем либо
привести блок В1 (х) к диагональному виду, либо выделить из него прямое слагаемое порядка не ниже, чем порядок первого слагаемого В1(х) матрицы ТА(х)Т-1. Таким образом, не нарушая блока В1(х), из многочленной матрицы А(х) выделим уже два прямых слагаемых верхнего (нижнего) треугольного и тёплицевого вида одновременно. Продолжая так и далее, мы в конце концов "исчерпаем" порядок матрицы А(х) и покажем возможность приведения ее преобразованиями подобия к прямой сумме треугольных одинакового наименования тёплицевых слагаемых.
Пусть теперь выполняется условие б) или в). Приведем матричный коэффициент А, о котором идет речь в этих условиях, к верхней (нижней) форме Жордана 3 с числом жордановых клеток к > 1. Очевидно, в случае в) будет к = 1. Под действием идентичного преобразования подобия все остальные матрицы-коэффициенты многочленной матрицы А(х), как нетрудно убедиться на основании [11, теорема 3, § 2, гл. VIII], приобретут блочно-диагональный вид, согласованный с блочно-диагональным видом жордановой матрицы При этом в приведенных матрицах все диагональные блоки будут иметь верхнюю (нижнюю) треугольную форму с одинаковыми элементами на главной диагонали, а также одинаковыми элементами на каждой наддиагонали (поддиагонали). Этим лемма доказана.
Замечание 2. Из доказательства леммы 1 следует, что при выполнении условия б) или условия в) все коэффициенты уравнений (1), (2) попарно коммутируют.
Лемм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.