АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 90, № 6, с. 472-482
УДК 521.1+524.388
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА В ДИНАМИКЕ ТРОЙНЫХ
ЗВЕЗДНЫХ СИСТЕМ
© 2013 г. А. В. Мельников1*, В.В.Орлов1'2, И.И.Шевченко1
1Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук,
Санкт-Петербург, Россия
2Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия Поступила в редакцию 19.06.2012 г.; принята в печать 07.12.2012 г.
Рассмотрена динамика слабо-иерархических тройных звезд равных масс. Путем численного интегрирования орбит найдены полные спектры показателей Ляпунова для различных исходных конфигураций системы в плоской задаче с начальными условиями в окрестности резонанса 2 : 1 (начальное отношение периодов обращения внешней и внутренней двойных близко к 2:1). Для начальных условий вблизи резонанса и вдали от него построены зависимости "ляпуновское время-время распада" системы. Показано, что вблизи резонанса и вдали от него характер этих зависимостей разный: он соответствует двум разным типам гамильтоновой перемежаемости. Вблизи резонанса проявляется эффект прилипания траекторий к регулярной компоненте фазового пространства, а вдали от него он не является доминирующим. Анализ распределений времен распада тройной системы для начальных условий вблизи резонанса и вдали от него подтверждает эти выводы.
001: 10.7868/80004629913060042
с показателем степени ^2 в рамках резонансной теории Б.В. Чирикова для критических явлений как следствие эффекта прилипания траекторий к регулярной компоненте фазового пространства в долговременной динамике.
Зависимости "ляпуновское время-время распада" для различных вариантов задачи трех тел построены в работах [8, 9]. Эти исследования выявили новый — квазилинейный — тип соотношения между ляпуновскими временами и временами распада. Миккола и Таникава [8] исследовали корреляцию ляпуновских времен ТI и времен распада Т в задаче трех тел равных масс. В массовых численных экспериментах они вычислили ляпуновские времена и времена распада для системы с рандомизированными начальными условиями и показали, что время жизни системы как связанной тройной и ее ляпуновское время коррелируют, причем статистическая зависимость "Т^—Т^" в долговременной динамике близка к линейной. Урминский и Хегги [9] исследовали корреляцию ляпуновских времен Т^ и времен распада Т в иерархической задаче трех тел в постановке, отличной от принятой в [8], но получили схожие результаты. А именно, они рассмотрели задачу Ситникова [10] и в итоге массовых численных экспериментов получили двух-компонентную степенную зависимость, где вторая компонента (хвост) близка к линейному закону,
1. ВВЕДЕНИЕ
Характеристические показатели Ляпунова (ХПЛ) являются важным инструментом исследования хаотического движения. Особенно важным является определение максимального ХПЛ (МХПЛ), поскольку величина, обратная МХПЛ, — ляпуновское время — представляет собой характерное время предсказуемой динамики.
Сопер и др. [1], Лекар и др. [2], Мьюрисон и др. [3] провели ряд численных экспериментов по динамике объектов Солнечной системы и пришли к выводу, что времена "резких изменений" в орбитальном поведении можно статистически предсказывать с помощью вычисления МХПЛ. Они установили, что между временем Тг резкого орбитального изменения и ляпуновским временем Т^ существует простая степенная статистическая зависимость Тг ж Т^ с универсальным значением показателя степени ^ ^ 2. Аналогичную степенную зависимость нашли Левинсон и Дункан [4] при моделировании динамики внешней Солнечной системы, а именно пояса Койпера—Эджворта. Ферраз-Мелло [5] выявил подобную зависимость в хаотическом поведении астероидов в резонансе средних движений 2/1 с Юпитером. Шевченко [6, 7] объяснил универсальный характер зависимости
E-mail: melnikov@gao.spb.ru
аналогично результату [8] в задаче трех тел равных масс.
Если взглянуть на зависимости "ляпуновское время—время распада", построенные в работах [8, 9], то можно заметить, что в области больших Т в них присутствуют две (слабая и сильная) компоненты: на рис. 3 в [8] и на рис. 3 в [9] видно наличие двух "рукавов" — своеобразной "V-структуры". Один из рукавов (сильная компонента) приблизительно следует линейной зависимости, другой (слабая компонента) — квадратичной, что четко видно в логарифмических координатах по обоим осям. Наличие V-структуры согласуется с теорией: действительно, теоретическая зависимость Т^-Т^ для первого типа перемежаемости должна быть линейной [11], а для второго — квадратичной [6, 7].
Шевченко [11] рассмотрел статистику времен распада и ляпуновских времен в иерархической задаче трех тел. Анализ выполнен путем применения общей теории сепаратрисных отображений. Показано, что асимптотика времен распада является практически универсальной (степенной с показателем степени а = -2/3 для интегрального распределения), в то время как асимптотическое соотношение между ляпуновским временем и временем распада квазилинейно. Резкое различие между двумя видами гамильтоновой перемежаемости, в отношении значений показателей степени асимптотических алгебраических распределений возвратов Пуанкаре, позволяет объяснить наблюдаемое различие в показателях степени законов распределения, установленных для аналогичных характеристик динамики малых тел Солнечной системы. Доунс и др. [12] нашли, что алгебраические хвосты распределений имеют показатель степени а, равный -0.8 ± 0.2, в то время как Шевченко и Шолл [13, 14] нашли, что а ^ — 1.5. В статье Доунса и др. [12] времена жизни вычислены в задаче о хаотической динамике комет на орбитах с высокими эксцентриситетами (учтены возмущения со стороны четырех планет-гигантов), тогда как предметом исследования Шевченко и Шолла [13, 14] была статистика интервалов времени между скачками эксцентриситета в хаотической астероидной динамике (в ограниченной задаче трех тел Солнце—Юпитер—астероид). Судя по значениям показателя степени в хвостах распределений, первая статистика соответствует гамильтоновой перемежаемости первого типа, а вторая — второго. Предсказываемые показатели степени а равны -2/3 и 3/2, соответственно. Таким образом в работе [11] в задаче трех тел получена универсальная степенная "кеплерова" асимптотика для времени распада тройной системы гравитирующих тел. Справедливость теории подтверждена численно-экспериментально как в задаче трех тел равных
масс [15], так и в ограниченной задаче трех тел [11, 15]. В работе [11] также показано, что зависимость между ляпуновским временем для связанной системы и временем распада, в отсутствие эффекта прилипания траекторий к границе хаоса, является на больших интервалах времени квазилинейной.
Орлов и др. [15] показали, что хвост интегрального распределения времен распада в широком диапазоне начальных значений вириального коэффициента в задаче трех тел равных масс хорошо аппроксимируется степенной функцией T" с показателем степени а ^ —2/3.
Статистику времен распада в тройных системах с неравными массами компонент изучили Богомолов и др. [16]. Согласно их численным результатам для широкого спектра отношений масс компонент интегральное распределение времен распада аппроксимируется степенной функцией с показателем от —1.2 до —0.8. При этом изменение отношения масс компонент в широком диапазоне слабо влияет на величину показателя. Павлюченко [17] в численном исследовании задачи трех тел равных масс показал, что интегральное распределение времени распада может быть аппроксимировано суммой степенных функций с показателями —2/3 и —3/2, соответствующими двум разным типам гамильтоновой перемежаемости.
Мартынова и др. [18] провели исследование динамики тройных систем с компонентами равных масс с начальными условиями в окрестности резонанса 2 : 1. (Резонанс 2 : 1 означает, что отношение периодов невозмущенных орбит внешней и внутренней пар равно 2:1.) Они выявили области устойчивых и неустойчивых движений и рассмотрели динамику различных устойчивых конфигураций системы.
Цель нашей работы состоит в определении характера зависимостей "ляпуновское время—время распада", обобщенных для всех элементов ляпу-новского спектра, из численного моделирования динамики тройных систем. Мы рассматриваем слабоиерархические тройные системы с компонентами равных масс и вычисляем полные спектры показателей Ляпунова. Начальные условия находятся в окрестности резонанса 2:1. Также мы изучаем распределения времен распада при данной околорезонансной постановке задачи.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Уравнения движения имеют вид dU
mi
d2ri
dt2 dri
i = 1, 2, 3,
(1)
Y Ш m2 • V V
W m X
•
mi
Рис. 1. Начальная конфигурация системы.
где тг — массы звезд, гг — вектор положения г-го тела, £ — время, и — потенциал:
у _ q (mim2 minis т2тЛ
V Г12
Г13
Г23 7
Ж1 = — ^ sinc^>, i/i = i COS (p + 6 2/3,
= ^ sin p, y2 = -^COS(^ + 6"2/3, ж'з = 0,
y 3 = -2 X 6"2/3,
скую систему координат, в которой и проводится численное интегрирование.
Как и в [18], момент распада тройной системы мы фиксируем, когда выполняется условие
Гтах > 5d. (4)
Здесь гтах — максимальное расстояние между любыми двумя из звезд, а
d = -^(mim2 + тггпз + m2m3), \Ь |
где полная энергия тройной системы
E =
3 3
i=1
mj,v.
2
2
— G
3
ГПгГП
i,j=1,i = j
j
T,
(5)
(6)
ij
где rij — расстояние между телами i и j. Далее полагаем, что гравитационная постоянная G = 1, массы звезд m1 = m2 = m3 = 1, первоначальный радиус круговой орбиты внутренней пары относительно своего барицентра равен единице. Используется прямоугольная система координат XYZ с началом в центре масс тройной системы. На рис. 1 представлена первоначальная конфигурация системы, аналогичная принятой в работе Марты-новой и др. [18]. Точка A — положение центра масс системы, состоящей из m1 и m2, т.е. внутренней двойной, в начальный момент времени.
Мы рассматриваем орбиты внешнего тела m3, ретроградные относительно обращения внутренней пары. Начальные значения координат и скоростей звезд в окрестности резонанса 2 : 1, согласно [18], записываем в виде
x1 = xa — cos p, y1 = — sin p,
X2 = XA +COS p, У2 = Sin p, (2)
X = XA — 2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.