АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 4, с. 484-489
АКУСТИКА ОКЕАНА. ^^^^^^^^^^^^ ГИДРОАКУСТИКА
УДК 534.231
ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА В НЕОДНОРОДНОМ ГИДРОАКУСТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ С ПЛАВАЮЩИМ НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛОМ © 2015 г. Ю. И. Папкова
Севастопольский национальный технический университет 299053 Севастополь, ул. Университетская 33 E-mail: yulia.papkova@gmail.com Поступила в редакцию 13.10.2014 г.
Построено трехмерное аналитическое решение для модели неоднородного гидроакустического волновода с плавающим на поверхности телом цилиндрической формы. Предложен численно-аналитический метод нахождения потенциала скоростей, при котором неопределенные коэффициенты при нормальных модах определяются из соответствующей бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Исследуются амплитудно-частотные характеристики волновода в зависимости от параметров модели.
Ключевые слова: трехмерное аналитическое решение, неоднородный гидроакустический волновод, бесконечная система линейных алгебраических уравнений, звуковое поле в морской среде.
DOI: 10.7868/S0320791915040073
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время существуют различные методы наблюдения за процессами, происходящими в океане, в частности, акустическое зондирование с кораблей или плавающих платформ. В первом приближении данные объекты при моделировании можно представить в виде плавающего на поверхности акустически жесткого тела. При этом детализация и сложность используемой модели в основном определяются возможностями численной реализации и степенью влияния данного фактора на исследуемые характеристики звукового поля.
На современном этапе развития гидроакустики предложено множество моделей волноводов разной степени сложности и с различными областями применимости, их обзор содержится в работах [1, 2]. Для теоретического объяснения экспериментальных результатов используются следующие подходы: метод нормальных волн, лучевой метод и его модификации, параболические приближения волнового уравнения, метод эталонных интегралов, метод поперечных сечений. Особенное внимание уделяется влиянию профиля скорости звука и структуры донных слоев, например, в статье [3] рассмотрены изменения скорости звука, формирующие нижнюю границу Черноморского подводного звукового канала (ПЗК). Для исследования общих закономерностей распространения упругих волн в слоистых средах предложен подход, основанный на аналитическом анализе дисперсионных зависимостей для этих волн [4]. Имеется большое количество работ, в которых для определения звукового поля в сложных и неоднородных
по трассам волноводах используются численные методы.
В статьях [5, 6] дан обзор теоретических подходов для расчета звуковых полей в трехмерных моделях волноводов в зависимости от рельефа дна, но в них не учитывается влияние на звуковое поле локальной неоднородности в виде акустически жесткого тела на поверхности. В представленной статье предлагается аналитический подход к решению указанной проблемы на основе метода нормальных мод.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим модель гидроакустического волновода, в которой водный слой расположен на абсолютно жестком основании, на поверхности волновода помещен абсолютно жесткий цилиндр радиуса Я и высоты й0. Начало цилиндрической системы координат положим в центре верхнего основания цилиндра, ось 01 направлена вниз. Разобьем область волновода на две цилиндрические области: (А) — под цилиндром и (В) — вне цилиндра (рис. 1). Точечный гармонический источник звука, излучающий волну круговой частоты ю = 2я/, расположен в произвольной точке волновода. Рассмотрим вначале случай, когда гармонический точечный источник звука находится в точке (г0, z0, ф0) области (А) волновода.
Уравнение Гельмгольца для звукового поля в области под цилиндром имеет вид
ДФ^ + ф^ = _5(г - Гс)5(г - г„Жф-фо) ш
с2(г) г
где ДФ = II. (r ^ rdr\ dr
I д 2Ф r дф
dz2
— оператор Ла-
пласа; ФА(г, г, ф) — амплитуда потенциала скоростей в области (А); 8 — дельта-функция Дирака; с(г) — распределение скорости звука. Звуковое поле в области (В) будет полностью определено, если известна амплитуда потенциала скоростей ФВ(г, г, ф), удовлетворяющая уравнению Гельмгольца
ДФв +
ю
с 2(z)
Фв = 0.
(2)
Поверхность воды и дно рассматриваются как абсолютно мягкая и абсолютно жесткая границы волновода соответственно:
ф =о = 0(r > R); дФ
dz
= 0;
z=h
дф
dz
дФ
(3)
= 0(0 < z < ho).
= 0(0 < г < Я);
с=Ьо дг г=Я
Кроме того, должны выполняться условия непрерывности звукового поля на стыке областей (А) и (В), т.е. при г = Я:
|0(0 < с < к),
! дФ (4)
дФ
в _
dr
dr
-h < z < h);
Ф a = Ф в, h < z < h.
(5)
РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИСТОЧНИКА, РАСПОЛОЖЕННОГО ПОД ЦИЛИНДРОМ
В случае, когда источник звука находится во внутренней области (А) (рис. 1), общее решение ФВ(г, г, ф) уравнения Гельмгольца (2) для внешней области (В), удовлетворяющее как граничным условиям (3), так и условию излучения, строится на основе разделения переменных в виде суммы нормальных мод [8]:
да да
Фв (г, с, ф) = XX ЯтНУ (В,КГ) VВ.п^Мф), (6)
п=0 n=1
И
где Бтп — неизвестные коэффициенты; {2,Вп}п=1
{уВи(г)}"=1 — собственные числа и собственные функции следующей краевой задачи:
,2
d у в dz2
2
ю
C2(z) '
2
у в = 0, у в(0) = 0, у B(h) = 0,
(7)
где H(,nl(z) = Jm(z) + iYm(z) — функция Ханкеля 1-го рода порядка m, Jm(z) и Ym(z) — функции Бесселя первого и второго рода соответственно.
Азимутальные собственные функции {0т(ф)}П=0 выбираются как четные в силу симметрии задачи относительно плоскости, содержащей вертикальную ось координат и точку источника (рис. 1). Тогда
0т(ф) = em cosтф, т = 0,1,..., где нормирующие множители имеют вид
г
>о
R
(A)
Фо)
(B)
шшшшш
Рис. 1. Сечение гидроакустического волновода с плавающим на поверхности цилиндрическим телом в азимутальной плоскости, содержащей источник под цилиндрическим телом.
_ Г1/Т2П , т _ 0,
т |д/л/Л, т Ф 0.
Очевидно, что при таком выборе ет азимутальные собственные функции являются ортонормиро-ванными:
п
| 0 т(ф)0„(фМ ф = 8 тп,
-п
где 8т„ — символ Кронекера.
Общее решение Ф^(г, г, ф) уравнения (1) в области под цилиндром, удовлетворяющее граничным условиям и условию в источнике, также строится в виде суммы нормальных мод:
Ф A (r, z, ф) = XX^mn(r)V A,n(z)0m(9),
(8)
n=0 n=1
где {^ и {ул,п(с)}}=1 - собственные числа и собственные функции следующей краевой задачи:
d У a dz2
ю
C2(z)
Va = 0,
(9)
vA(h>) = 0, vA(h) = 0.
Алгоритм построения собственных функций и чисел краевых задач (7), (9) на основе аппроксимации квадрата волнового числа к2 = ю2/с2(г) для заданной системы опорных точек с(с,-) = с подробно описывается в статье [7].
После подстановки выражения (8) в неоднородное уравнение Гельмгольца (1), с учетом ортогональности собственных функций {| лп(с)\1=1 в пространстве интегрируемых с квадратом функций Ь2[к0, к] и ортогональности собственных функций
(0т(ф)} ^=0, получим уравнение для Ят> „(г):
0
h
о
h
% (^)- т ] _
_ 5(г - г„) ¥л,„(го) л (т ) ----Ут^о^
Г Ул,«
(10)
фл (г,Ф) = XX
п/ V л,«(г о)ет(фо)Нт ( л,«г„)
и=0 «=1
л
+ с.
где у л,« = IV л,«(г)^г. Решение Ятв(г) в области (А), при го < г < Л
2 Ул,«
■т (Л,«г) л,«(г)ет(Ф),
описывающее уходящую от излучателя волну и имеющее достаточный произвол для сопряжения с решением во внешней области (В), будем искать в виде:
(а) для 0 < г < г0,
&л«г), (11)
(б) для г0 < г < Я,
Втп1т (л,«го )Нт (А,«Г)
Лт«(г) =
Нт (2,л,«го)
' + Стп1т (2л,«г), (12)
^Ятп(г)
йг
го +о
1 р(го)¥ л,«(го)
6т(Фо).
(14)
)=- нт+1 (х),
х
■т (х) = т ( ) - ■т+1 (х) .
Воспользовавшись (13) и соотношением для цилиндрических функций
Нт (л,пго )Ут (л,пго ) —
— Нт (л,пго )Ут (л,пго ) = ,
л,«го
можно выразить искомые коэффициенты в виде т, п/ ¥ л (го)е т Ы „Ш /V \
Бтп — ^ нт (л,пго /.
2 У л,«
Таким образом, получаем аналитическое представление для потенциала в области (А). В частности, при г < го
Фл (г, г, ф) =
_ XX ¥ л,п(г о)6т(фо)1 т ( л,«го ) Нп! ( л,«г) + (16) т=о п=1 V 2 Ул,«
+ Стп1 т (л,«г)
¥ л,«(г)б т(ф).
где Атп, Бтп, и Стп — неопределенные коэффициенты. Используя условие непрерывности решения Ятп(г) при г = г0, получим следующее равенство:
лтп = Втп + Ст«. (13)
Согласно [6], для нахождения неопределенных коэффициентов проинтегрируем уравнение (10) в малой окрестности г0:
Неопределенные коэффициенты Стп и Бтп в формулах (6), (15), (16) определяются из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, которая возникает из условий непрерывности звукового поля (4), (5) на стыке областей г = Я. При выводе бесконечной системы [7] важно, чтобы функции, стоящие в обеих частях равенств, были из одного класса функций. В связи с этим доопределим второе равенство (5) следующим образом:
Ф в =
Ф(о < г < ко), Ф л (ко < г < к).
(17)
го -о го у л,« Подставляя выражения (11), (12) в (14), получим уравнение относительно неизвестных коэффициентов:
Вт«2л,пНт (л,«го )Ут (л,«гр ) + Нт (л,«го )
+ ((Стп — лтп))л,пУт (л,«го) = , бт(фо),
го Ул,«
где производные определяются равенством
Тогда система функций {| в,п(г)}«=1 является полной и ортогональной для функций, стоящих в обеих частях равенств. Из равенства коэффициентов разложения по системе функций 0т(ф) уВ,«(г) в функциональном уравнении (17) получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Стп и Бтп:
да
—X 1к,пСтп■ А,пЛ) + УВ,к^ткНгп(^Б,к-«=1
да да
— X 1к,п-&тпНт>((ъБ,«В) = X Втп1к,пН<т (л,пЛ),
«=1 «=1
да
-X Тк,«^л,«1 т (л,пЛ) Стп + УВ,к%В,кН1) (В,кЛ)^тк =
«=1
да
= XВ1«1\АА,«Нш(л,«Л), (т = о, 1,...; к = 1,2,...),
«=1
где
п/¥л,«(го)бт(фо)тт(1)(% ,и № ,-4
Нт (л,«го )■ т(Чл,«г) ,
В =
У л,«
Т2 -1 к п —
Т1,п — л,«Ш В,к (г)йг;
ко
— В,«(г)¥ в,к (г)йг; у в,к — 2 (г)йг.
к
о
В частном случае, когда гармонический точечный источник звука находится на продолжении осевой линии цилиндра в точке (0, звуковое поле, возбуждаемое в волноводе, является осесимметричным. В этом случае в формулах потенциалов (6) и (15), (16) остаются только слагаемые с индексами т = 0.
РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИСТОЧНИКА, РАСПОЛОЖЕННОГО ВО ВНЕШНЕЙ ОБЛАСТИ
Если гармонический точечный источ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.